多元函數(shù)極值典型例題

1、 多元函數(shù)極值典型例題例1求由方程x2+y2+z2一2x+2y一4z一10=0確定的函數(shù)z=f(x,y)的極值解將方程兩邊分別對x,y求偏導(dǎo)，得2x+2zz2一4z=0 xx2y+2zz-2一4z=0yy令Z=0,z=0,得x=1,y=-1-即駐點(diǎn)為P(l,1).xy又A=zxx(z-2)2+(1+y)2(2z)3PB=z=0 xypftzyy(z-2)2+(1+y)2(2-z)3p因AC一B21(2-z)20,故z=f(x,y)p取極值. # 將x=1,y=-1代入x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0得z1=-2,z2=6.z=-2時(shí)，A=0，故z=f(1,-1)=-2為極小值；2-

2、z4z=6時(shí)，A=0，故z=f(1,-1)=6為極大值-2-z4例2求函數(shù)z=x2+y2-12x+16y在有界閉域x2+y225的最大值和最小值.解函數(shù)z=x2+y2-12x+16y在有界閉域x2+y225上連續(xù)，故必在該區(qū)域上取得最大值和最小值先求函數(shù)在區(qū)域x2+y225內(nèi)的駐點(diǎn).令竺=2x-12=0,=2y+16=0,x=6,y=8.dxdy但(6,8)不在區(qū)域x2+y225內(nèi)，故函數(shù)的最大值和最小值必在邊界x2+y2=25上取得.再求z=x2+y2-12x+16y在邊界x2+y2=25上的條件極值.設(shè)F(x,y,入)=x2+y2-12x+16y一入(x2+y2-25).TOC o 1-5

3、 h zF=2x-12-2九x=0(1)人x令FF=2y+16-2入y=0(2)yF；=x2+y2-25=0(3)由、(2)得x=,y=，代入(3)式，有1九1九)2+(-81-1)2=25.得入=一1,入=3.可得駐點(diǎn)P(3,-4),P(一3,4)而z(3,-4)=-75,z(-3,4)=125.1212故z的最大值為125,z的最小值為一75.例3求內(nèi)接于半徑a的球且有最大體積的長方體.解設(shè)球面方程為x2+y2+z2=a2,(x,y,z)是它的內(nèi)接長方體在第一卦限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn).則此長方體的長、寬、高分別為2x,2y,2z.體積為V=2x-2y-2z=8xyz本題是求V在約束條件x2+y2+

4、z2=a2下的極值.作拉格朗日函數(shù)F(x,y,z)=8xyz+入(x2+y2+z2-a2)TOC o 1-5 h zF=8yz+2九x=0(1)xF=8xz+2入y=0(2)yF=8xy+2九z=0(3)zx2+y2+z2一a2=0(4)九3由、(2)、得x=y=z=-才，代入得x=y=z七a-即有唯一駐點(diǎn)a,3而由實(shí)際問題這種長方體的體積存在最大值，所以當(dāng)長方體的長、寬、高都為罟a時(shí)其體積最大.例4在橢圓x2+4y2=4上求一點(diǎn)，使其到直線2x+3y-6=0的距離最短.解設(shè)P(x,y)為橢圓上的任意一點(diǎn)，即有x2+4y2=4.到直線2x+3y一6=0的距離為djd=W也=制2x+3y一6作拉格朗日函數(shù)F(x,y,X)=(2x+3y-6)2+入(x2+4y2-4).,4F=一(2x+3y-6)+2Xx=0 x13令0,y0,z0)的最大值，并證明對任何正數(shù)a,b,c成立不等_p-(a+b+c)5式abc30,y0,z0，有l(wèi)nx+lny+3lnz