知識(shí)講解_集合全章復(fù)習(xí)及鞏固

1、-. z.集合全章復(fù)習(xí)穩(wěn)固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；2理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集；3理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；4能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：集合的根本概念1集合的概念一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，如110內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，包括2，3，5，7，則3是我們所要研究的對(duì)象，它是其中的一個(gè)元素，把一些元素組成的總體叫做集合，如上述2，3，5，7就組成了一個(gè)集合。2元素與集合的關(guān)系1屬于： 如果是集合A的元素，就說(shuō)A，記作A

2、。要注意的方向，不能把A顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě).2不屬于：如果不是集合A的元素，就說(shuō)集合A，記作。3集合中元素的特征1確定性：集合中的元素必須是確定的。任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為*個(gè)集合的元素；2互異性：集合中的任意兩個(gè)元素都是不同的，也就是同一個(gè)元素在集合中不能重復(fù)出現(xiàn)。3無(wú)序性：集合與組成它的元素的順序無(wú)關(guān)。如集合1，2，3與3，1，2是同一個(gè)集合。4集合的分類(lèi)集合可根據(jù)它含有的元素個(gè)數(shù)的多少分為兩類(lèi)：有限集：含有有限個(gè)元素的集合。無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合。要點(diǎn)詮釋?zhuān)喊巡缓腥魏卧氐募辖凶隹占?，記作，空集歸入有限集。要點(diǎn)二：集合間的關(guān)系1(1)子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何

3、一個(gè)元素都是集合B的元素，則集合A叫做集合B的子集，記作AB，對(duì)于任何集合A規(guī)定。(2) 如果A是集合B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，則集合A叫做集合B的真子集，記做.兩個(gè)集合A與B之間的關(guān)系如下：其中記號(hào)或表示集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A。2子集具有以下性質(zhì)：1AA，即任何一個(gè)集合都是它本身的子集。2如果，則A=B。3如果，則。3包含的定義也可以表述成：如果由任一*A，可以推出*B，則或。不包含的定義也可以表述成：兩個(gè)集合A與B，如果集合A中存在至少一個(gè)元素不是集合B的元素，則或。4有限集合的子集個(gè)數(shù)：1n個(gè)元素的集合有個(gè)子集。2n個(gè)元素的集合有個(gè)真子集。3n個(gè)元素的集

4、合有個(gè)非空子集。4n個(gè)元素的集合有個(gè)非空真子集。要點(diǎn)詮釋?zhuān)嚎占侨魏渭系模侨魏畏强占系膿Q言之，任何集合至少有一個(gè)子集要點(diǎn)三：集合的根本運(yùn)算1用定義求兩個(gè)集合的交集與并集時(shí)，要注意或且的意義，或是兩個(gè)皆可的意思，且是兩者都有的意思，在使用時(shí)不要混淆。2用維恩圖表示交集與并集。集合A與B，用陰影局部表示AB，AB，如以下圖所示。3關(guān)于交集、并集的有關(guān)性質(zhì)及結(jié)論歸結(jié)如下：1AA=A，A=，AB=(BA)A或B；AA=A，A=A，AB=(BA)A或B。,德摩根定律：,4；。4全集與補(bǔ)集1它們是相互依存不可別離的兩個(gè)概念。把我們所研究的各個(gè)集合的全部元素看成是一個(gè)集合，則稱(chēng)之為全集。而補(bǔ)集則是在時(shí)

5、，由所有不屬于A但屬于U的元素組成的集合，記作。數(shù)學(xué)表達(dá)式：假設(shè)，則U中子集A的補(bǔ)集為2補(bǔ)集與全集的性質(zhì)，,。5空集的性質(zhì)空集的特殊屬性，即空集雖空，但空有所用。對(duì)任意集合A，有，；?！镜湫屠}】類(lèi)型一：集合的含義與表示例1選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎疽韵录稀?mathematics中字母構(gòu)成的集合；2不等式的解集；3函數(shù)的自變量的取值*圍?！舅悸伏c(diǎn)撥】集合的表示有兩種形式，我們必須了解每種方法的特點(diǎn)，選擇最正確的表達(dá)形式。【解析】1；2或3或【總結(jié)升華】正確選擇、運(yùn)用列舉法或描述法表示集合，關(guān)鍵是確定集合中的元素。然后根據(jù)元素的數(shù)量和特性來(lái)選用恰當(dāng)?shù)谋硎拘问?。舉一反三：【變式1】將集合表示成列舉法，

6、正確的選項(xiàng)是 A.2，3 B.2，3 C.*=2，y=3 D.2，3【答案】B【變式2】集合為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為 0123【答案】例2假設(shè)含有三個(gè)元素的集合可表示為，也可以表示為，求的值?！舅悸伏c(diǎn)撥】由集合中元素確實(shí)定性和互異性可解得?！敬鸢浮俊窘馕觥坑桑傻们遥瑒t有或解得或舍去故【總結(jié)升華】利用集合中元素特性來(lái)解題，既要用元素確實(shí)定性，又要利用互異性檢驗(yàn)解的正確與否，初學(xué)者在解題時(shí)容易無(wú)視元素的互異性。必須在學(xué)習(xí)中高度重視。另外，本類(lèi)問(wèn)題往往涉及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。舉一反三：【變式1】假設(shè)。*數(shù)的值?！敬鸢浮俊窘馕觥坑?，可知或或，且。1假設(shè)，則，此時(shí)，與集合中元素的互異性相

7、矛盾，故舍去。2假設(shè)，則，此時(shí)，符合集合的特性。3假設(shè)，則方程無(wú)解。綜上可得的值為。例3集合1假設(shè)A是空集，求的取值*圍。2假設(shè)A中只有一個(gè)元素，求的值。3假設(shè)A中至多只有一個(gè)元素，求的取值*圍?！敬鸢浮? 20， 3或者m=0【解析】1當(dāng)時(shí)，A不為空集，則不滿足題意。當(dāng)m0時(shí)，假設(shè)A為空集，則一元二次方程實(shí)數(shù)*圍內(nèi)無(wú)解，即,。綜上假設(shè)A為空集，則。2由集合中只含有一個(gè)元素可得，方程有一解，由于本方程并沒(méi)有注明是一個(gè)二次方程，故也可以是一次方程，應(yīng)分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，可得是一次方程，故滿足題意.當(dāng)m0時(shí)，則為一元二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即判別式為0時(shí)的值，可求得為.故的

8、取值為0，.3A中元素至多只有一個(gè) ，有以下兩種情況存在：集合A是空集；集合A是只有一個(gè)元素 綜合(1)(2)知,假設(shè)A中元素至多只有一個(gè),或者m=0.【總結(jié)升華】 集合A是方程m*2-2*+3=0在實(shí)數(shù)*圍內(nèi)的解集，所以此題實(shí)際上是討論方程m*2-2*+3=0解的個(gè)數(shù)問(wèn)題。類(lèi)型二：集合的根本關(guān)系 例4設(shè)集合A=*1*3，B=*a0，假設(shè)A真包含于B，則a的取值*圍是_?！舅悸伏c(diǎn)撥】 此題考察判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系。由于題中所給集合為含不等式的描述法形式，可以借助數(shù)軸進(jìn)展直觀的分析?！窘馕觥緼B=*a，利用數(shù)軸作圖如下：由此可知：a1?！究偨Y(jié)升華】 要確定一個(gè)集合的方法之一是：明確集合中元素的

9、*圍及其滿足的性質(zhì)，借助Venn圖來(lái)分析，直觀性強(qiáng)。集合是由元素構(gòu)成的，要確定一個(gè)集合的方法之二是：把集合中的元素一一找出來(lái)，用列舉法表示。要確定一個(gè)集合的方法之三是：明確集合中元素的*圍及其滿足的性質(zhì)。用特征性質(zhì)描述法表示的集合，可借助數(shù)軸來(lái)分析，直觀性強(qiáng)。舉一反三：【變式1】 集合A=*1或*1，B=*2a*a+1，假設(shè)BA，求a的取值*圍?！窘馕觥?當(dāng)B是空集，需要2aa+1，得到a12當(dāng)B不是空集且B的上限小于等于-1，即a1且a+1-1，得到a-23當(dāng)B不是空集且B的下限大于等于1，即a1且2a1，得到1/2a1綜上，a-2或a1/2【變式2】假設(shè)集合B=1，2，3，4，5，C=小于

10、10的正奇數(shù)，且集合A滿足AB，AC，則集合A的個(gè)數(shù)是_?！舅悸伏c(diǎn)撥】 由題設(shè)，C=1，3，5，7，9。因?yàn)锳B，AC，可用Venn圖發(fā)現(xiàn)集合B與C的公共元素為1，3，5，則集合A可能含有1，3，5三個(gè)數(shù)中的0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，或3個(gè)。故集合A的個(gè)數(shù)即為1，3，5的子集的個(gè)數(shù)?！窘馕觥坑勺鱒enn圖1，3，5的子集中含0個(gè)元素的有1個(gè)：；1，3，5的子集中含1個(gè)元素的有3個(gè)：1，3，5；1，3，5的子集中含2個(gè)元素的有3個(gè)：1，3，1，5，3，5；1，3，5的子集中含3個(gè)元素的有1個(gè)：1，3，5。由上述分析知集合A的個(gè)數(shù)為1，3，5的子集的個(gè)數(shù)：1+3+3+1=8個(gè)。例5設(shè)集合,假設(shè)，*數(shù)的*圍

11、。 【答案】或【解析】，或當(dāng)時(shí)，即，則是方程的兩根，代入解得當(dāng)時(shí)，分兩種情況：1假設(shè)，則，解得。2假設(shè)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。，解得，此時(shí)，滿足條件。綜上可知，所*數(shù)的*圍為或?！究偨Y(jié)升華】要解決此題，應(yīng)明確的具體含義：一是，二是。時(shí)還應(yīng)考慮能否是的情況，因此解題過(guò)程中必須分類(lèi)討論，另外還要熟練掌握一元二次方程根的討論問(wèn)題。舉一反三：【變式】2014 *期末集合1假設(shè)，求 ；2假設(shè)，*數(shù)的取值所組成的集合【答案】C【解析】1由題意， 當(dāng)時(shí)， 2由題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，類(lèi)型三：集合的根本運(yùn)算例6全集U=R，集合M=*|2*12和N=*|*=2k1，k=1，2，的關(guān)系的韋恩Venn圖如以下圖所示，

12、則陰影局部所示的集合的元素區(qū)有 A3個(gè) B2個(gè) C1個(gè) D無(wú)窮多個(gè)【答案】B【解析】 陰影局部為MN=*|2*12*|*=2k1，k=1，2，=*|1*3*|*=2k1，k=1，2，=1，3，陰影局部所示的集合的元素區(qū)有2個(gè)，應(yīng)選B項(xiàng)【總結(jié)升華】具體集合給出或可以求得元素的集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，以及集合間關(guān)系的判定、子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題是每年高考重點(diǎn)考察的對(duì)象，因而也是高考命題的熱點(diǎn)舉一反三：【變式1】全集U=R，則正確表示集合M=1，0，1和N=*關(guān)系的韋恩圖是 A B C D【答案】B【變式2】設(shè)全集為，求及 【答案】=；=.例7假設(shè)集合A=*2a*+a219=0，B=2，3，C=2，4，滿足A

13、B真包含，且AC=，則實(shí)數(shù)a的值是_。【思路點(diǎn)撥】 由題設(shè)，AB且AC=知，2，3與集合A的關(guān)系，再進(jìn)展解答。【解析】 由：3A，2A，則323a+a219=0，即a=5或a=2。當(dāng)a=5時(shí)，A=2，3，與題意矛盾；當(dāng)a=2時(shí)，A=5，3，符合題意。由上述分析知a=2。【總結(jié)升華】 集合是由元素構(gòu)成的，要確定一個(gè)集合首先明確集合中元素的*圍及其滿足的性質(zhì)，再把集合中的元素一一找出來(lái)。 例8設(shè)集合A=*a4*a+4，B=*1或*5，假設(shè)AB=R，則a的取值*圍是_。【思路點(diǎn)撥】 此題考察兩個(gè)集合并集的運(yùn)算。由于題中所給集合為含不等式的描述法形式，可以借助數(shù)軸進(jìn)展直觀的分析。【解析】 AB=R，利用數(shù)軸作圖如下：因此可知：。 即 a1a3。【總結(jié)升華】 明確集合中元素的*圍及其滿足的性質(zhì)，用特征性質(zhì)描述法表示的集合可借助數(shù)軸來(lái)分析，直觀性強(qiáng)。舉一反三：【變式1】 集合A=*2*5，B=*k+1*2k1，假設(shè)AB=，*數(shù)k的取值*圍。【解析】AB=，當(dāng)時(shí)，2k1