信號與系統(tǒng)-3章傅里葉變換課件

1、1.傅里葉級數(shù)定義及適用條件2.常見周期信號的頻譜,非周期性信號的頻譜3.傅里葉變換的定義及適用條件及性質(zhì)4.周期信號的傅里葉變換5.抽樣定理6.功率頻譜與能量頻譜7.系統(tǒng)頻域分析法8.希爾伯特變換第3章 傅里葉變換 重點： 傅里葉1768年生于法國,1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”, 1822年在“熱的分析理論”一書中再次提出。1829年狄里赫利給出傅里葉變換收斂條件。傅里葉變換得到大規(guī)模的應(yīng)用，則是到了上世紀(jì)60年代之后。3.1 傅里葉變換的產(chǎn)生傅里葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)：（1）“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”;（2）“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表

2、示”.三角函數(shù)就是一個標(biāo)準(zhǔn)的兩兩正交的函數(shù)空間。它滿足下列完備正交函數(shù)的三個條件：3.2 周期信號的傅里葉分析1. 歸一化：2. 歸一正交化：3. 歸一化完備性：可以用其線性組合表示任意信號周期的終點 設(shè)三角函數(shù)的完備函數(shù)集為：其中三角函數(shù)集也可表示為：3.2.1 傅里葉級數(shù)的三角形式基頻 周期 周期的起點 時，有（2）“單位”常數(shù)性，即當(dāng) 滿足： （1）正交性：函數(shù)集中的任意函數(shù)兩兩相正交，有 可以將“任意”周期函數(shù) 在這個正交函數(shù)集中展開為系數(shù)稱為傅里葉級數(shù) 同上式 傅里葉級數(shù)的三角展開式 另一種形式 直流分量 n=0n=0基波分量 n次諧波分量 可展開為傅里葉級數(shù)的條件：（2） 在區(qū)間內(nèi)

3、有有限個間斷點；（1） 絕對可積，即：（3） 在區(qū)間內(nèi)有有限個極值點。Direchlet條件傅里葉級數(shù)存在的充要條件式中， 為n次諧波振幅。 為n次諧波初始相位。！并非任意周期信號都能進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開！ 1. 從三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)推導(dǎo)3.2.2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式利用歐拉公式:式中幅度 相位 復(fù)指數(shù) 幅度 的具體求法如下：2. 直接從復(fù)變正交函數(shù)集推導(dǎo)中展開，有在復(fù)變正交函數(shù)空間將原函數(shù)式中例求 的指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)。已知沖激序列-T0 O T0 2T0 t的三角傅里葉級數(shù)為：又解求下圖中三角波的三角傅里葉級數(shù)。則為的周期延拓，即 將去除直流分量，則僅剩交流分量在內(nèi)的函

4、數(shù)記為（1）將周期函數(shù)例解A-T0 O T0 2T0 t 故（2）利用直接法求解故 常稱為f(t)的截斷傅里葉級數(shù)表示式。用MATLAB的符號積分函數(shù)int()可表示上式。格式為：（1）intf=int(f,v) ； 給出符號表達(dá)式f對指定變量v的（不帶積分常數(shù)）不定積分；（2）intf=int(f,v,a,b) ； 給出符號表達(dá)式f對指定變量v的定積分。3.2.3 傅里葉級數(shù)的MATLAB仿真實現(xiàn)3.3 周期信號的對稱性 1縱軸對稱性 （1）如果原函數(shù)是偶函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)中只有直流和余弦分量（即偶函數(shù)之和仍然是偶函數(shù)）。 （2）如果原函數(shù)是奇函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)中只有正弦分量（即奇函數(shù)之

5、和仍然是奇函數(shù)）。滿足 的周期為T 的函數(shù)；即平移半個周期后的信號與原信號關(guān)于橫軸對稱。定義： 奇諧函數(shù) 偶諧函數(shù)滿足 的周期為T 的函數(shù)；即平移半個周期后信號與原信號重合。2橫軸對稱性（2）偶諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只有偶次諧波分量。（1）奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只有奇次諧波分量。 如果原信號既不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)，那么其傅里葉級數(shù)展開式中就會既包含有奇次諧波分量也包含有偶次諧波分量。！利用奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)性質(zhì)的時候，最好將其直流分量去掉，以免發(fā)生誤判。已知奇諧函數(shù)：例解3.4 常見周期信號的頻譜3.4.1 頻譜的概念頻譜圖表示信號含有的各個頻率分量的幅度值。其橫坐標(biāo)為頻率 （單位為赫茲）

6、，縱坐標(biāo)對應(yīng)各頻率分量的幅度值 。 振幅頻譜（幅頻特性圖）表示信號含有的各個頻率分量的相位。其橫坐標(biāo)為頻率；縱坐標(biāo)對應(yīng)各頻率分量的相位 （單位常用度或弧度）。 相位頻譜（相頻特性圖）例，求頻譜解（1）單邊頻譜： （2）雙邊頻譜： 包絡(luò)線 頻譜圖隨參數(shù)的變化規(guī)律： 1）周期T不變，脈沖寬度變化第一個過零點：譜線間隔情況1：第一個過零點為n =4 。 在 有值（譜線） 第一個過零點n=8 情況2：脈沖寬度縮小一倍第一個過零點增加一倍譜線間隔不變幅值減小一倍第一個過零點為n =16。情況3：脈沖寬度再縮小一倍示意圖 第一個過零點再增加一倍譜線間隔不變幅值再減小一倍 由大變小，F(xiàn)n 第一過零點頻率增大

7、，即 所以 稱為信號的帶寬， 確定了帶寬。 由大變小，頻譜的幅度變小。由于 T 不變，譜線間隔不變，即 不變。結(jié) 論 第一個過零點情況 1：時，譜線間隔2）脈沖寬度不變, 周期T變化 示意圖 第一個過零點譜線間隔幅值: 第一個過零點 情況 2：時，譜線間隔周期T擴(kuò)展一倍示意圖 譜線間隔減小一倍第一個過零點不變幅值減小一倍 第一個過零點 情況 3：時，譜線間隔周期T再擴(kuò)展一倍示意圖 譜線間隔再減小一倍幅值再減小一倍 第一個過零點不變 不變，F(xiàn)n 的第一個過零點頻率不變，即 帶寬不變。T 由小變大，諧波頻率成分豐富，且頻譜幅度變小。 T 時，譜線間隔 0 ，這時： 周期信號 非周期信號；離散頻譜

8、連續(xù)頻譜結(jié) 論典型周期信號的頻譜分析，可利用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換。典型周期信號如下： 1. 周期矩形脈沖信號 2. 周期對稱方波信號 3. 周期鋸齒脈沖信號 4. 周期三角脈沖信號 5. 周期半波余弦信號 6. 周期全波余弦信號3.4.2 常見周期信號的頻譜1. 周期矩形脈沖信號 (1) 周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解設(shè)周期矩形脈沖：脈寬為，脈沖幅度為E，周期為T1（2）周期矩形脈沖信號的幅度、相位譜相位譜幅度譜復(fù)數(shù)頻實數(shù)頻譜幅度譜與相位譜合并 周期對稱方波信號是周期矩形信號的一種特殊情況，對稱方波信號有兩個特點：(1)是正負(fù)交替的信號，其直流分量a0等于零；(2)它的脈寬恰等于周期的一半

9、，即t =T1/2。2. 周期對稱方波信號的傅里葉級數(shù)幅度譜相位譜3. 周期鋸齒脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號，是奇函數(shù)故 ，可求出傅里葉級數(shù)系數(shù)bn。如何求bn留作思考！其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：此信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。4. 周期三角脈沖信號的傅里葉級數(shù)求解周期三角脈沖信號，是偶函數(shù)，故 ，可求出傅里葉級數(shù)系數(shù)a0 、an。如何求bn留作思考！此信號的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：5. 周期半波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期半波余弦信號，是偶函數(shù)，故 ，可求出傅里葉級數(shù)系數(shù)a0 、an。如何求b

10、n留作思考！此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：6. 周期全波余弦信號的傅里葉級數(shù)求解周期全波余弦信號，是偶函數(shù)。令余弦信號為則，全波余弦信號為：此信號的頻譜只包含直流、基波及偶次諧波分量，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。其傅里葉級數(shù)表達(dá)式為：如果用有限傅里葉級數(shù)代替無窮傅里葉級數(shù)表示信號，必然引進(jìn)一個誤差。如果完全逼近，則 n= .實際中，n=N, N是有限整數(shù)。如果 N愈接近 n ，則 其均方誤差愈小若用2N1項逼近，則3.4.3 吉布斯效應(yīng)誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)均方誤差對稱方波, 是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)。所以其只有奇次諧波的余

11、弦項。例-E/2T1/4-T1/4tE/2o對稱方波有限項的傅里葉級數(shù) （N=1、2、3時的逼近波形）（3）N=3:（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81有限項的N越大，誤差越小例如: N=9-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81N越大，越接近方波快變信號，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，波形將會失真；有吉伯斯

12、現(xiàn)象發(fā)生。結(jié)論以周期矩形脈沖為例：只需修改上面程序(3.2.3節(jié))中函數(shù)CTFShchsym.m的內(nèi)容，需注意：因周期信號頻譜是離散的，故在繪制頻譜時采用stem而非plot命令。諧波階數(shù)取還需用到MATLAB的反褶函數(shù)fliplr來實現(xiàn)頻譜的反褶。 上機(jī)練習(xí)！3.4.4 周期信號的MATLAB仿真實現(xiàn)對周期矩形脈沖信號，有3.5 非周期性信號的頻譜3.5.1 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換譜線間隔譜線間隔0 從物理概念考慮：信號的能量存在，其頻譜分布的規(guī)律就存在。由于1從周期信號到非周期信號 從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換信號的頻譜分布是不會隨著信號的周期的無限增大而消失的。T 時，信號的頻譜分布仍然存

13、在。 結(jié)論無限多個無窮小量之和仍可等于一個有限量。 從數(shù)學(xué)角度來看：所以，傅里葉級數(shù)展開為：為頻譜密度函數(shù)。定義周期信號：頻譜是離散的，且各頻率分量的復(fù)振幅 為有限值。非周期信號：頻譜是連續(xù)的，且各頻率分量的復(fù)振幅 為無限小量。 所以，對非周期信號來說，僅僅去研究那無限小量是沒有意義的，其頻譜不能直接引用復(fù)振幅的概念。！2傅里葉逆變換怎樣用計算3. 正、逆傅里葉變換反變換正變換!傅里葉變換對的形式并不唯一傅里葉變換存在的充分條件:用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅里葉變換。4傅里葉變換的另外幾種形式 本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號的頻譜。1.

14、單邊指數(shù)信號 6. 符號函數(shù)2. 雙邊指數(shù)信號 7. 沖激函數(shù)傅里葉變換對 3. 奇雙邊指數(shù)信號 8. 沖激偶的傅里葉變換 4. 矩形脈沖信號 9. 階躍信號的傅里葉變換5. 鐘形脈沖信號 10. 復(fù)正弦信號 3.5.2 常見信號的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)信號的傅里葉變換 其傅里葉變換為：利用傅里葉變換定義公式時域波形單邊指數(shù)信號的頻譜如下：頻域頻譜2. 雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換 其傅里葉變換為：（正實函數(shù)）利用傅里葉變換定義公式求解過程時域波形雙邊指數(shù)信號的頻譜如下：頻域頻譜相位3. 奇雙邊指數(shù)信號的傅里葉變換頻域頻譜時域波形頻譜如下：4. 矩形脈沖信號的傅里葉變換實函數(shù)時域有限的矩形脈沖信

15、號，在頻域上是無限分布。常認(rèn)為信號占有頻率范圍（頻帶B）為5. 鐘形脈沖信號的傅里葉變換 （高斯脈沖）其傅里葉變換為：（正實函數(shù)）因為鐘形脈沖信號是一正實函數(shù)，所以其相位頻譜為零。時域波形頻域頻譜6. 符號函數(shù)的傅里葉變換其傅里葉變換為：（純虛數(shù)函數(shù)） 符號函數(shù)不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。 采用符號函數(shù)與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘，求出奇雙邊指數(shù)的頻譜，再取極限，從而求得符號函數(shù)的頻譜。7. 沖激函數(shù)傅里葉變換對直流信號的傅里葉變換是沖激函數(shù)！均勻譜或白色譜1Oto1OtO8. 沖激偶的傅里葉變換 記為 同理，有9. 階躍信號的傅里葉變換 幅頻特性 相頻特性 u(t)Ot1O10復(fù)正弦

16、信號 的傅里葉變換為一位于且強(qiáng)度為的沖激函數(shù)。 結(jié)論O升余弦脈沖信號的傅里葉變換 補(bǔ)充升余弦脈沖信號：其傅里葉變換為：（實數(shù)）其頻譜由三項構(gòu)成，均為矩形脈沖頻譜，只是有兩項沿頻率軸左、右平移了利用傅里葉變換定義公式化簡得：求解過程3.5.3 MATLAB仿真實現(xiàn)MATLAB數(shù)學(xué)工具箱Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅氏變換及逆變換的函數(shù)fourier()和ifourier()。（1）傅里葉變換調(diào)用格式1）F=fourier(f) 2）F=fourier(f,v) 3）F=fourier(f,u,v) （2）傅里葉逆變換調(diào)用格式1）f=ifourier(F) 2）f=i

17、fourier(F,u) 3）f=ifourier(F,v,u) 在調(diào)用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令對所用到的變量進(jìn)行說明，即將這些變量說明成符號變量。對fourier()中的函數(shù)f及ifourier()中的函數(shù)F也要用符號定義符syms將f或F說明為符號表達(dá)式；若f或F是MATLAB中的通用函數(shù)表達(dá)式，則不必用syms加以說明。 ！書中例題可上機(jī)練習(xí)時間函數(shù) 頻譜某種運算 變化 變 化 運算3.6 傅里葉變換的性質(zhì)1. 傅里葉變換的唯一性傅里葉變換的唯一性表明了信號的時域和頻域是一一對應(yīng)的關(guān)系。 ！2.對稱性（頻域、時域呈現(xiàn)的對應(yīng)關(guān)系）若 ，則即證明證畢如沖

18、激和直流函數(shù)的頻譜的對稱性就是一例子：！若 為偶函數(shù)，則 或 即f(t)為偶函數(shù)，則時域和頻域完全對稱。F()OOOOF(t)tt（1）沖激函數(shù)（2）直流函數(shù)1OO1OOFT對稱性t 換成f 換成F1換成例解 3. 線性（疊加性、均勻性） 相加信號頻譜各個單獨信號的頻譜之和證明推論求 f(t) 的傅里葉變換例解4. 奇偶虛實性無論 f (t) 是實函數(shù)還是復(fù)函數(shù)，下面四式均成立:時域反摺頻域也反摺時域共軛頻域共軛并且反摺更廣泛地講，函數(shù)f(t)是t的復(fù)數(shù)；令虛部實部整理上式得出：把式（2）、（3）代入式（1）整理得：性質(zhì)1 實數(shù)函數(shù) 設(shè)f(t)是t的實函數(shù),則 的實部與虛部將分別等于 f2(t

19、)=0，f(t)=f1(t)，則有 特殊情況討論：從上式可以得出結(jié)論: 實信號的頻譜具有很重要的特點，正負(fù)頻率部分的頻譜是相互共軛的.特點偶函數(shù)奇函數(shù)性質(zhì)2 虛函數(shù)設(shè)f(t)是純虛函數(shù)則反之也正確.因而 是 的奇函數(shù),而 是 的偶函數(shù)。性質(zhì)3 實偶函數(shù)實偶函數(shù)的傅里葉變換仍為實偶函數(shù)結(jié)論反之，若一實函數(shù)f(t)的傅里葉積分也是實函數(shù)，則f(t)必是偶函數(shù)。推論設(shè)f(t)是t的實偶函數(shù)，則例解tOf(t)F()tO性質(zhì)4 奇實函數(shù) 設(shè)f(-t)=-f(t) ，則：反之，若一實函數(shù)f(t)付里葉積分是一純虛函數(shù)，則f(t)必是奇函數(shù)。實奇函數(shù)的傅里葉變換則為虛奇函數(shù)結(jié)論推論例解tOf(t)O|F(

20、)|OF()O()/2-/2同理可以推出：若 是虛函數(shù)且還是偶函數(shù)，則 的傅里葉變換為虛偶函數(shù)。性質(zhì)5：性質(zhì)6：若 是虛函數(shù)且還是奇函數(shù)，則 的傅里葉變換為實奇函數(shù)。讀者可以仿照性質(zhì)3、性質(zhì)4給予簡單證明如果將 按照奇偶來劃分 由此可看出，此時F()是虛函數(shù)且是的奇函數(shù)。對于f(t)為虛函數(shù)的情況，分析方法同上，結(jié)論相反。 上述討論的結(jié)果如下:f(t)F()實一般實部偶、虛部奇、幅頻偶、相頻奇偶實部偶奇虛部奇虛偶虛部偶奇實部奇5. 尺度變換特性時間波形的擴(kuò)展和壓縮,將影響頻譜的波形對于一個實常數(shù)a ，其關(guān)系為令x=at，則dx=adt ，代入上式可得則證明時域壓縮則頻域展寬；展寬時域則頻域壓縮

21、。結(jié)論時域中的壓縮（擴(kuò)展）等于頻域中的擴(kuò)展（壓縮）f(t/2)縮tO縮f(2t)縮tO縮1展展O展展O尺度變換變換后語音信號的變化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 一段語音信號(“對了”) 。抽樣頻率 =22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)例定義若高度為 的矩形與 的面積相等，則稱矩形寬度為等效頻帶寬度 。 等效頻帶寬度若高度為 的矩形與 的面積相等，則稱矩形寬度為等效脈沖寬度 。 等效脈沖寬度信號的等效

22、脈沖寬度和占有的等效頻帶寬度成反比。 結(jié)論(2) 脈寬頻寬常數(shù)(1) 函數(shù) f(at) 表示函數(shù) f(t) 在時間刻度上壓縮a倍，同樣 表示函數(shù)在頻率刻度上擴(kuò)展a倍，因此比例性表明，在時間域的壓縮等于在頻率域中的擴(kuò)展反之亦然。上述反比特性的物理意義：6. 時移特性若 則證明令則同理可推得：帶有尺度變換的時移特性令a 0時加絕對值單矩形脈沖 的頻譜為有如下三脈沖信號：其頻譜為求三脈沖信號的頻譜例解 頻移特性與時移特性對稱（這里0為實常量） 7. 頻移特性證明若則同理可得矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cos0 t 相乘后信號的頻譜函數(shù)。利用頻移特性可得寬度為 的矩形脈沖信號對應(yīng)的頻譜函數(shù)為例解0A

23、2/tt2/t-)(tfowF()F()oww0- w02/tAt2/t-t tfcos)(w08. 微分特性 （1）時域（2）頻域，則若若 ，則證明（略）9. 積分特性若（1）時域積分則, 則若(2) 頻域積分若則10 . 卷積定理（1）時域卷積定理 設(shè)有兩個時間函數(shù)f1(t)和f2(t)，它們分別對應(yīng)的頻譜函數(shù)為F1()和F2()：若則可簡記為證明式中（2）頻域卷積定理若則可簡記為1. 用頻移特性3.7 周期信號的傅里葉變換 3.7.1 正、余弦信號的傅里葉變換令 由頻移特性 oo余弦信號頻譜 正弦信號頻譜2. 用極限方法有限長余弦 看成矩形 乘以 。對 求極限即可得到無限長余弦信號。1-

24、13.7.2 一般周期信號的傅里葉變換周期信號式中 求單位沖激序列 的傅里葉變換 例解FSFTOO(1)O1O小結(jié)周期信號傅里葉變換的特點： (1) 周期信號可求取傅里葉變換和傅里葉級數(shù)，但非周期信號則只能求傅里葉變換；(2) 非周期信號的頻譜 是連續(xù)譜，它的大小是有限值；(3) 周期信號的頻譜 是離散譜，其幅值是無窮大（含譜密度概念），它的大小用沖激表示； 是 的包絡(luò)的 倍； 是單個復(fù)諧波成份的復(fù)振幅，而 是單位帶寬內(nèi)所有復(fù)諧波成分的合的復(fù)振幅值； （6） 的單位是伏特或安培，而 的單位則是(伏特/赫，安培/赫)；(7) 代表的是信號的功率分配, 而 代表了信號的能量分布。 3.8 抽樣定理

25、取樣目的及所遇到的問題：數(shù)字信號處理系統(tǒng)簡單框圖（1) 取樣后離散信號的頻譜是什么樣的？它與未被取樣的連續(xù)信號的頻譜有什么關(guān)系？（2)連續(xù)信號被取樣后，是否保留了原信號的所有信息？即在什么條件下，可以從取樣的信號還原成原始信號？問題:連續(xù)信號離散信號抽樣還原(有條件) 抽樣時域抽樣頻域抽樣自然抽樣(矩形抽樣)理想抽樣(沖激抽樣)平頂抽樣低通(掌握)帶通（了解)此時的抽樣脈沖p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t) 抽樣信號在抽樣期間脈沖頂部隨f(t)變化，故這種抽樣稱為“自然抽樣”。時域抽樣簡圖抽樣過程可以看成由原信號f(t)和一個開關(guān)函數(shù)p(t)的乘積來描述。抽樣信號為1矩形脈沖抽樣

26、（自然抽樣）3.8.1 時域抽樣 連續(xù)信號f(t)抽樣脈沖p(t)量化編碼數(shù)字信號抽樣信號由于p(t)是周期信號，可知p(t)的傅氏變換為:令模擬帶限信號傅氏變換為 ，即取樣脈沖序列的傅氏變換為 設(shè)取樣為均勻抽樣，周期為Ts，則取樣角頻率為（1）抽樣信號頻譜推導(dǎo)式中：由頻域卷積定理得，時域相乘的傅氏變換等于它們的頻譜在頻域里相卷積。代入上面計算出的p(t)信號在時域被抽樣后，它的頻譜 是連續(xù)信號的頻譜 以取樣角頻率 為間隔周期地重復(fù)而得到的。在重復(fù)過程 中，幅度被取樣脈沖p(t)的傅里葉系數(shù)所加權(quán)，加權(quán)系數(shù)取決于取樣脈沖序列的形狀。 ！當(dāng)抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時，幅度以Sa函數(shù)的規(guī)律變化。從

27、的頻譜圖可見，抽樣后的信號頻譜包括有原信號的頻譜以及無限個經(jīng)過平移的原信號的頻譜，平移的頻率為抽樣頻率及其各次諧波頻率。且平移后的頻譜幅值隨頻率而呈Sa函數(shù)分布。因矩形脈沖占空系數(shù)很小，故其頻譜所占的頻帶幾乎無限寬。！抽樣后頻譜o1o抽樣前頻譜(1) 如果取樣脈沖寬度與系統(tǒng)中各時間常數(shù)相比十分小的時候，這個沖激函數(shù)的假定將是一個很好的近似，它將使分析簡化。(2) 通過沖激取樣的方法來表明數(shù)字信號，在數(shù)字信號處理中有著廣泛的應(yīng)用。(點抽樣；均勻抽樣)取樣率必須選得大于信號頻譜最高頻率的兩倍。（2）抽樣頻率的選擇?。?）矩形脈沖抽樣of (t)oooo點乘卷積oP (t)2. 沖激抽樣（理想抽樣）

28、若取樣脈沖是沖激序列，此時稱為“沖激取樣”或“理想抽樣”。設(shè)Ts為取樣間隔，則取樣脈沖為因T(t)的傅氏系數(shù)為:故沖激取樣信號的頻譜為：周期單位沖激序列的FT：ooooo抽樣前信號頻譜抽樣后信號頻譜由于沖激序列的傅里葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以 是以 為周期等幅地重復(fù)，如下圖所示：（1）時域理想抽樣的傅里葉變換下面對矩形脈沖抽樣和沖激抽樣進(jìn)行比較和小結(jié)：FT相乘 相卷積FT（2）關(guān)于非理想抽樣非理想抽樣理想抽樣比較理想抽樣和非理想抽樣的對比 結(jié)論 矩形脈沖抽樣和沖激抽樣的重要差別就在于頻譜分量的性質(zhì)不同。矩形脈沖抽樣所導(dǎo)出的頻譜分量的幅度是按包絡(luò) 的變化規(guī)律隨頻率而下降的，而理想抽樣所導(dǎo)出的頻譜卻有

29、著相同的幅度，不隨頻率而減少； 是信號本身固有的； 是人為的； 稱為奈奎斯特抽樣頻率； 稱為奈奎斯特抽樣間隔； 抽樣頻率為奈奎斯特抽樣頻率的兩倍或兩倍以上時，抽樣信號的頻譜才不會發(fā)生混疊。只有這樣才能無失真地恢復(fù)出原信號。 3抽樣定理定理3.1設(shè)有一連續(xù)信號 f(t)，它的頻譜則只要取樣間隔滿足 ，連續(xù)信號f(t)就可表示為： 由于f(t)的頻帶有限,而時域取樣必導(dǎo)致頻域周期。在周期重復(fù)時，為保證 內(nèi)為 ，則重復(fù)周期應(yīng)滿足 ,將取樣信號 通過截止頻率為 的理想低通濾波器，便能從中恢復(fù) ,也就是說，能從取樣信號fs(t)中恢復(fù)出原始信號 f(t)。證明OO由時域卷積定理知：復(fù)原始信號f(t)。設(shè)

30、 、 ,則當(dāng) 通過截止頻率為 的理想低通濾波器時，濾波器的響應(yīng)頻譜為 ，顯然濾波器的作用等效于一個開關(guān)函數(shù) 同 的相乘。即則 (內(nèi)插公式)證畢而由傅里葉變換的對稱性可知：由于定理二是討論由離散信號恢復(fù)成連續(xù)信號，所以又稱重建定理。 設(shè)f(t)是一帶限連續(xù)信號，最高頻率為 ,根據(jù)定理一對f(t)進(jìn)行抽樣，得f(nT)，則f(nT)經(jīng)過一個頻率響應(yīng)為如圖的理想低通濾波器后便得到f(t). (自證)定理3.210頻域抽樣定理 若信號 為時限信號，它集中在 的時間范圍內(nèi)，若在頻域中，以不大于 的頻率間隔對 的頻譜 進(jìn)行抽樣，則抽樣后的頻譜 可以唯一地表示原信號。3.8.2 頻域抽樣 頻域有限時域有限時

31、域無限頻域無限但反之不一定成立如：白噪聲時域取樣與頻域取樣的對稱性f(t) 以 為周期重復(fù)f(t)以T為周期重復(fù)根據(jù)時域和頻域?qū)ΨQ性，可推出頻域抽樣定理偶函數(shù)變量置換 頻域取樣后的時間函數(shù)相乘卷積抽樣定理小結(jié)時域?qū)?取樣等效于頻域?qū)?重復(fù)時域取 樣間隔不大于 。頻域?qū)?抽樣等效于時域?qū)?重復(fù)頻域取樣間隔不大于 。滿足取樣定理，則不會產(chǎn)生混疊。3.9 功率頻譜與能量頻譜3.9.1 周期信號的功率譜 周期性信號的能量無窮大，功率有限，因此可從功率方面進(jìn)行研究。 (1) 正交分解與信號功率 對周期信號f(t)做正交分解，有： 則總功率為式中，為正交信號分量的功率 如果信號在非正交函數(shù)集中分解后，信號

32、的功率并不滿足疊加性（如泰勒級數(shù)展開）。 注意利用信號傅里葉級數(shù)分解后的信號分量，計算原信號的功率 例 因為傅里葉級數(shù)分解是正交分解 解時域求得的信號功率頻域求得的信號功率（1）周期信號的表示形式對于周期信號，在時域中求得的信號功率頻域中的信號各諧波分量功率之和。這就是 Parseval 定理在周期信號時的表示形式帕塞瓦爾定理：（2）信號有效值 與信號有著相同的功率的直流信號的大小，稱為信號的有效值。設(shè) 為某直流信號的幅度值。若信號 的功率與該直流信號的功率相等，則 式中，稱為信號的有效值。注意！信號的有效值不能疊加求標(biāo)準(zhǔn)正弦信號的有效值.例解利用信號傅里葉級數(shù)分解后的信號分量計算信號的有效值

33、。例解(1) 對于單邊功率譜，在每個不等于零（非直流）的頻率上，子信號功率 ，直流信號的功率為 將周期性信號在各個頻率上分量的功率大小，用圖的方法表示出。其橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為信號分量的功率，該圖形稱為功率譜圖。功率譜與頻譜非常相似，但有稍許不同：(2) 對于雙邊功率譜，在每個頻率點上，子信號功率為：(3) 功率譜只有大?。ǚ龋瑳]有相位。（3）周期性信號的功率譜3.9.2 能量頻譜 對于非周期信號而言，其周期為無窮，但能量有限，所以它的功率為零，故我們只可以從能量角度研究對其進(jìn)行研究。 非周期信號在各個頻率上的實際分量大小為無窮小，只能用能量密度譜 描述單位頻帶內(nèi)的信號能量。：（1）能量

34、譜信號總能量：定義 雙邊能量譜 如果信號是實數(shù)信號，則還可以得到其單邊能量譜為：單位角頻率 如果換成單位頻率 則信號總能量為 雙邊能量譜： 單邊能量譜： 能量譜和功率譜一樣，同樣只有大?。ǚ龋?，沒有相位。注意！能量信號：信號在時間區(qū)間(-,+ )內(nèi)的能量為有限值，而在時間區(qū)間(-,+ )內(nèi)的平均功率P=0，這樣的信號稱為能量信號。非周期信號當(dāng)它在有限時間范圍內(nèi)有一定的數(shù)值；而當(dāng) t 時數(shù)值為0時。即為能量信號。能量信號的能量的計算公式： 信號的總能量 ，可以推導(dǎo)出：時域求得的信號能量頻域求得的信號能量對于非周期信號，信號能量可以從時域中求得,也可以從頻域中求得。這就是 Parseval 定理

35、在非周期信號時的表示形式（2）Rayleigh定理 求信號 的能量。解根據(jù)對稱特性：令 =10例根據(jù)頻域卷積定理：信號的能量為：（3）脈沖信號的脈沖寬度和頻帶寬度 對于信號的能量分析，同樣可以運用等效時寬和等效頻寬的約束性。等效時寬 脈沖的絕大部分能量集中的時間區(qū)間 等效頻寬 脈沖的絕大部分能量集中的頻率區(qū)間 對于同一種信號而言 常數(shù) 3.9.3 兩個信號相似程度的描述 在信號分析中有時要比較兩個信號是否相似。 一般可以用誤差能量 來度量確定信號的相似性。 設(shè)x(t)、 y(t)為兩個確定信號， 誤差能量定義 為相關(guān)系數(shù) 式中, a為系數(shù)， 選擇合適的a使ay(t)與x(t)的誤差能量 最小，

36、 即： 得 ，此時：定義相對誤差能量為：式中, 為相關(guān)系數(shù)。 因為 所以相關(guān)系數(shù)滿足關(guān)系|xy|1 注意！xy=1，x(t)、y(t)線性相關(guān)，形狀完全相似，誤差能量xy=-1，x(t)、y(t)線性相關(guān)，形狀完全相反，誤差能量xy=0，x(t)、y(t)線性無關(guān)，形狀完全不同。 兩個無時差信號的相似性可用相關(guān)系數(shù)來表示，當(dāng)遇到兩個有時差信號，如無線接收機(jī)收到的兩個不同（電離層反射）路徑的信號，這時相似性研究就需要用相關(guān)函數(shù)表示。相關(guān)函數(shù)研究的是信號在時移過程中的相關(guān)性。 對兩個不同信號或同一個信號在時移過程中的相似性研究， 分別用互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)來表示。 相關(guān)函數(shù)1. 互相關(guān)函數(shù) 定義

37、兩個能量信號x(t)、 y(t)的互相關(guān)函數(shù)為同理若x(t)、 y(t)均為實能量信號， 則一般Rxy()Ryx() 定義兩個功率信號x(t)、 y(t)的互相關(guān)函數(shù)為若x(t)、 y(t)均為實功率信號， 則 2. 自相關(guān)函數(shù) 若x(t)=y(t)，互相關(guān)函數(shù)便成為自相關(guān)函數(shù), 此時Rxx()一般用R()表示為若x(t)為實能量信號， 自相關(guān)函數(shù)可表示為 若x(t)為功率信號， 自相關(guān)函數(shù)可表示為若x(t)為實功率信號， 自相關(guān)函數(shù)可表示為 3. 相關(guān)函數(shù)的特點(1)一般情況下(2)(3)相關(guān)與卷積的關(guān)系 h (t) h (-t)沒有反褶變量互換證明相關(guān)定理則若若有y(t)是實偶函數(shù)， 也是

38、實偶函數(shù)則此時相關(guān)定理就是卷積定理去共軛變量互換自相關(guān)函數(shù)與幅度譜的平方是一對FT：周期余弦 的自相關(guān)對功率有限信號取一個周期T例解同周期1可見周期信號的自相關(guān)仍為同周期的函數(shù)。 例求周期余弦信號x(t)=E cos1t 的自相關(guān)函數(shù)。解在時域中,卷積積分的方法可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。它是以沖激信號作為基本信號，將任意連續(xù)信號分解為無窮多個沖激函數(shù)的加權(quán)和，每個沖激函數(shù)對系統(tǒng)的響應(yīng)疊加起來，就得到的零狀態(tài)響應(yīng)。本節(jié)中,正弦信號或諧波信號作為基本信號，將信號分解為無窮多個正弦信號或虛指數(shù)的加權(quán)和。這些信號作用于系統(tǒng)時所得到的響應(yīng)之疊加即為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 3.10 系統(tǒng)頻域分析法在時域中其中：

39、H(j)=FTh(t) 稱頻域系統(tǒng)函數(shù)。則h(t)= IFTH(j) 也稱系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。稱為幅頻特性，稱相頻特性。輸入的頻譜響應(yīng)的頻譜3.10.1 周期性信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在頻域中式中 為h(t)的傅里葉變換，頻域系統(tǒng)函數(shù)可見，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)是等于激勵ejt 乘以加權(quán)函數(shù)H(j)，此加權(quán)函數(shù)H(j)即為頻域系統(tǒng)函數(shù)，亦即為h(t)的傅里葉變換。設(shè)激勵 f(t)=ejt, 則系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為即有 h(t)H(j)！周期信號激勵下的系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號激勵時的響應(yīng)設(shè)輸入信號為正弦信號，即所以設(shè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 為例 若輸入信號求系統(tǒng)響應(yīng)用疊加定理：作用于系統(tǒng)時故響應(yīng)為零。因此系統(tǒng)響應(yīng)為 對于

40、作用于系統(tǒng)時，解例 正弦波通過RC電路帶寬，求系統(tǒng)響應(yīng) 系統(tǒng)函數(shù)為幅頻特性相頻特性解 用MATLAB畫出的幅頻和相頻特性圖截止頻率當(dāng)rad/s時所以，系統(tǒng)響應(yīng)為 當(dāng)rad/s時用MATLAB畫出的輸入和輸出波形某線性非時變系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(j)|和相頻響應(yīng)()如圖所示。若激勵 , 求該系統(tǒng)的響應(yīng)y(t)。解()-220-|H(j)|2-220例非正弦周期信號激勵時的響應(yīng) 為輸出信號的頻譜 由于這類計算通常比較煩瑣，因此最適合用Matlab來計算。 該信號通過系統(tǒng)后，其響應(yīng)的頻譜為：傅里葉反變換即可得：例輸入信號的頻譜為 RC電路，若輸入信號為周期矩形脈沖波如下圖所示。求系統(tǒng)響應(yīng)。解其中，T=

41、2，基波頻率，因此，有RC電路的頻率響應(yīng)為因此，RC 電路的頻率響應(yīng)為因此，輸出信號的頻譜為 系統(tǒng)響應(yīng)為RC電路輸出的幅度頻譜 RC電路輸出的時域波形 頻域分析的方法的求解步驟為：先求出輸入信號的頻譜F(j)和頻域系統(tǒng)函數(shù)H(j)由于y(t)=h(t)f(t)，利用連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換的時域卷積性質(zhì)，有 Y(j) = H(j) F(j) ， 求出輸出信號的頻譜 將Y (j)進(jìn)行傅里葉反變換就得到 y(t)3.10.2 非周期信號通過線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)補(bǔ)充RC電路，若輸入信號為矩形脈沖波如圖所示。求系統(tǒng)響應(yīng)。矩形脈沖波輸入信號的頻譜為解RC電路的系統(tǒng)函數(shù)為因此，輸出頻譜為因為令1/R

42、C=a，可得用Matlab畫出的輸出信號的頻譜如圖所示。圖中畫出了帶寬和的兩種情況 RC電路輸出的幅度頻譜RC電路輸出的時域波形 由于RC電路的低通特性，高頻分量有較大的衰減，故輸出波形不能迅速變化。輸出波形不再是矩形脈沖信號，而是以指數(shù)規(guī)律逐漸上升和下降。當(dāng)帶寬增加時，允許更多的高頻分量通過，輸出波形的上升與下降時間縮短，和輸入信號波形相比，失真減小。結(jié)論在如圖所示系統(tǒng)中，f(t)為已知激勵 ， 。例求零狀態(tài)響應(yīng) y(t)。設(shè) f(t) F(j)即有：H(j)=F h(t)=-j sgn()故得：R(j)=H(j) F(j)= -jsgn() -j sgn() F(j) =-sgn() sg

43、n() F(j)= -F(j)所以：y(t)= -f(t) 可見此系統(tǒng)為一反相器。根據(jù)對偶性解h(t)h(t)f(t)y(t)為起始頻率，1h=freqs(b,a,w) 式中對應(yīng)于式(3-159)中的向量，對應(yīng)于式（3-159）中的向量使用形式如為終止頻率，為頻率取樣間隔。向量返回在頻率向量上的系統(tǒng)函數(shù)樣值。，w為頻率取值范圍，2h,w=freqs(b,a) 該調(diào)用格式將計算默認(rèn)頻率范圍 內(nèi)200個頻率點的系統(tǒng)函數(shù)樣值，并賦值給返回變量， 200個頻率點記錄在w中。3.10.3 MATLAB仿真實現(xiàn)右圖是常見的用RLC元件構(gòu)成的某系統(tǒng)電路。設(shè)4freqs(b,a) 該調(diào)用格式并不返回系統(tǒng)函數(shù)樣

44、值，而是以對數(shù)坐標(biāo)的方式繪出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。3h,w=freqs(b,a,n) 該調(diào)用格式將計算默認(rèn)頻率范圍內(nèi)200個頻率點的系統(tǒng)函數(shù)樣值，并賦值給返回變量，個頻率點記錄在w中。，試用MATLAB的freqs()函數(shù)求解該系統(tǒng)頻率響應(yīng)并繪圖。例 ，RLC二階低通濾波器電路圖根據(jù)原理圖，容易寫出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：式中，將R、L、C的值代入的表達(dá)式，得：解b=0 0 1; a=0.08 0.4 1; % 生成向量b，ah,w=freqs(b,a,100); % 求系統(tǒng)頻響特性h1=abs(h); % 求幅頻響應(yīng)h2=angle(h); % 求相頻響應(yīng)subplot(211); plot(w,h1);gridxlabel(角頻率(W); ylabel(幅度);title(H(jw)的幅頻特性);subplot(212); plot(w,h2*180/pi);gridxlabel(角頻率(w); ylabel(相位(度);title(H(jw)的相頻特性);MATLAB源程序為：程序運行結(jié)果如圖所示。RLC二階低通濾波器的幅頻特性及相頻特性已知符號函數(shù)的傅里葉變換 根據(jù)對稱性得到 則 若系統(tǒng)函數(shù)為 則沖激響應(yīng) 3.11 希爾伯特變換系統(tǒng)框圖: 系統(tǒng)的