2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)3.2　第2課時(shí)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最大(小)值

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第2課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、 最大(小)值第三章2022內(nèi)容索引0102必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值與極小值點(diǎn)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值,f(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè),右側(cè),則a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.(2)函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值,f(b)=0;而且在點(diǎn)x

2、=b附近的左側(cè),右側(cè),則b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.都小f(x)0 都大 f(x)0 f(x)g(x),即f(x)-g(x)0,構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(x)-g(x);(2)構(gòu)造“形似”函數(shù):通過(guò)等價(jià)變換把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊具有相同結(jié)構(gòu)的式子,根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù);(3)主元法:對(duì)于(或可化為)f(x1,x2)A的不等式,可選x1(或x2)為主元,構(gòu)造函數(shù)f(x,x2)(或f(x1,x);(4)放縮法:若所給不等式不易求解,可將不等式進(jìn)行放縮,然后構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)

3、函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的.()(2)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).()(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()(4)函數(shù)的最大值不一定是極大值,函數(shù)的最小值也不一定是極小值.()A.x=1B.x=-2C.x=-2和x=1D.x=1和x=2答案 D解析 由f(x)=4x2-12x+8=4(x-2)(x-1)=0得x=1或x=2,當(dāng)x0;當(dāng)1x2時(shí),f(x)2時(shí),f(x)0.可得函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為x=1和x=2.故選D.3.設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則()A.x=1為f(x)的極大值點(diǎn)B.x=1為f(x)的極小值點(diǎn)C.x=-1為f(x)的極大值點(diǎn)D.x=-1為f(x)的極小值點(diǎn)答案

4、D解析 f(x)=ex+xex=(1+x)ex.令f(x)=0,則x=-1.當(dāng)x-1時(shí),f(x)-1時(shí),f(x)0,則x=-1為f(x)的極小值點(diǎn).4.函數(shù)f(x)=ln x-x在區(qū)間(0,e上的最大值為()A.1-eB.-1C.-eD.0答案 B解析 因?yàn)?,當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(1,e時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(x1,x2)時(shí),g(x)0,則f(x)0,則f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,圖1 當(dāng)a0,可得x10,則f(x)0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(x2,+)時(shí),g(x)0,則f(x)0,f(x)單調(diào)遞減,因此,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述,當(dāng)a 時(shí),判斷函

5、數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;(2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).考點(diǎn)2求函數(shù)的極值、最大(小)值【例2】 已知函數(shù)f(x)=ln x-kx+k(kR),求f(x)在1,2上的最小值. 于是f(x)在1,2上的最小值為f(1)=0或f(2)=ln 2-k.()當(dāng)0ln 2-k,即0kln 2時(shí),f(x)min=f(1)=0.()當(dāng)0ln 2-k,即kln 2時(shí),f(x)min=f(2)=ln 2-k.綜上所述,當(dāng)k0時(shí),若k為整數(shù),且x+1(k-x)f(x)+x+1,求k的最大值.x0,h(x)=ex-10.函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+)上單調(diào)遞增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)上存

6、在唯一的零點(diǎn),故g(x)在(0,+)上存在唯一的零點(diǎn),設(shè)此零點(diǎn)為,則(1,2).當(dāng)x(0,)時(shí),g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)在(0,+)上的最小值為g(),又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3),故等價(jià)于k0.所以當(dāng)0 x2時(shí),f(x)2時(shí),f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+).(2)函數(shù)f(x)在(0,2)上存在兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于f(x)=0在(0,2)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.(方法1)f(x)=0在(0,2)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于ex-kx=0在(0,2)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.設(shè)h(x)=ex-kx,則h(x)=ex

7、-k.當(dāng)k1時(shí),h(x)0,所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,此時(shí)h(x)在(0,2)上不存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.當(dāng)k1時(shí),由h(x)0可得xln k,由h(x)0可得x2時(shí),G(x)0,函數(shù)G(x)在(2,+)上單調(diào)遞增,G(2)=3-ln 20,所以在(2,+)上,G(x)0恒成立,所以F(a)=a2-ln a-a+10,所以函數(shù)F(x)在(1,a)上存在唯一零點(diǎn)x=x0,所以f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+)上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)f(x)存在極小值.綜上,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+)上有極值,則a2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+).考點(diǎn)5利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中的最值【例5】

8、(2020江蘇,17)某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線(xiàn)MN上,橋AB與MN平行,OO為鉛垂線(xiàn)(O在A(yíng)B上).經(jīng)測(cè)量,左側(cè)曲線(xiàn)AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1(單位:米)與D到OO的距離a(單位:米)之間滿(mǎn)足關(guān)系式h1= a2;右側(cè)曲線(xiàn)BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2(單位:米)與F到OO的距離b(單位:米)之間滿(mǎn)足關(guān)系式h2=- b3+6b.已知點(diǎn)B到OO的距離為40米.(1)求橋AB的長(zhǎng)度;(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO的橋墩CD和EF,且CE為80米,其中C,E在A(yíng)B上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)k(單位:萬(wàn)元),橋墩CD每米造價(jià) k(單位:萬(wàn)元)(k0),問(wèn)OE為多少米時(shí),橋墩CD與EF的總造價(jià)最低?(2)以O(shè)為原點(diǎn),MN為x軸,OO為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示). x(0,20)20(20,40)f(x)-0+f(x)極小值所以當(dāng)x=20時(shí),f(x)取得最小值.答:(1)橋AB的長(zhǎng)度為120米; (2)當(dāng)OE為20米時(shí),橋墩CD和EF的總造價(jià)最低. 解題心得關(guān)于三角函數(shù)、幾何圖形面積、幾何體體積及實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題,最初的解題思路往往并不是用導(dǎo)數(shù)的方法求最值,但在一般方法不易求的情況下,能想到用導(dǎo)數(shù)的方法求最值,問(wèn)題就容易多了.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2020四川三臺(tái)中學(xué)期中,理12)如圖所示,四邊形AB