理論力學綜合問題

1、理論力學綜合問題綜合問題習題綜-1 滑塊M的質(zhì)量為m，在半徑為R的光滑圓周上無摩擦地滑動。此圓周在鉛直面內(nèi)，如圖所示?；瑝KM上系有一剛性系數(shù)為k的彈性繩MOA，此繩穿過光滑的固定環(huán)O，并固結在點A。已知當滑塊在點O時線的張力為零。開始時滑塊在點B，處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；當它受到微小振動時，即沿圓周滑下。試求下滑速度v與角的關系和圓環(huán)的支反力。解：滑塊M在下降至任意位置時的運動分析及受力分析如圖（a）所示?；瑝KM在下降過程中v與的關系可由動能定理確定：解得 （1）滑塊M的法向運動微分方程為把式（1）代入上式，化簡得 綜-3 一小球質(zhì)量為m，用不可伸長的線拉住，在光滑的水平面上運動，如圖所示。線的

2、另一端穿過一孔以等速v向下拉動。設開始時球與孔間的距離為R，孔與球間的線段是直的，而球在初瞬時速度v0垂直于此線段。試求小球的運動方程和線的張力F（提示：解題時宜采有極坐標）解：設小球在任意瞬時的速度為v1，由于作用于小球的力對小孔O之矩為零，故小球在運動過程中對點O的動量矩守恒。即 由題意 r = R - vt得小球在任意瞬時繞小孔O轉動的角速度為 即 兩邊求積分得 故小球的運動方程為 r = R - vt而線的張力為 綜-5 圖示三棱柱A沿三棱柱B光滑斜面滑動，A和B的質(zhì)量各為m1與m2，三棱柱B的斜面與水平面成角。如開始時物系靜止，忽略摩擦，求運動時三棱柱B的加速度。解：1）以A及B為系

3、統(tǒng)，由于作用于該系統(tǒng)上的外力無水平分量，因此該系統(tǒng)在水平方向動量守恒。即 兩邊求導得： （1）2)以B為動系分析A的運動。如圖（a）。根據(jù) aA = ae + ar = aB + ar （2） （3）3）對A進行受力分析及運動分析，如圖（b），建立質(zhì)點運動微分方程由式（2）、（3）消去ar得 把式（1）代入上式得，再把該式與式（1）代入式（4）、（5）中消去FN，解得 （方向向左）綜-7 圖示圓環(huán)以角速度繞鉛直軸AC自由轉動。此圓環(huán)半徑為R，對軸的轉動慣量為J。在圓環(huán)中的點A放一質(zhì)量為m的小球。設由于微小的干擾小球離開點A。圓環(huán)中的摩擦忽略不計，試求小球到達點B和點C時，圓環(huán)的角速度和小球的速

4、度。解：整個系統(tǒng)在運動過程中對轉動軸動量矩守恒，機械能也守恒。 設小球至B位置時圓環(huán)繞AC軸轉動角速度為，小球至C位置時圓環(huán)角速度為，又設小球在最低位置為零勢能點。1）A至B過程動量矩守恒： （1）機械能守恒（2）把式（1）代入式（2）解得 2）A至C過程動量矩守恒 機械能守恒 如果確定小球在位置B時相對于圓環(huán)的速度vBr，則從速度分析知vBr垂直向下，vBe垂直于圖面向里，且vBe故 綜-9 圖示為曲柄滑槽機構，均質(zhì)曲柄OA繞水平軸O作勻角速度轉動。已知曲柄OA的質(zhì)量為m1，OA = r，滑槽BC的質(zhì)量為m2（重心在點D）?；瑝KA的重量和各處摩擦不計。求當曲柄轉至圖示位置時，滑槽BC的加速度

5、、軸承O的約束反力以及作用在曲柄上的力偶矩M。解：曲柄OA和滑槽BC、滑塊A的受力分析與運動分析分別如圖（a）、（b）和（c）所示，其中p ( x )表示在BC在槽上受到的分布力但我們不求這些力。建立如圖所示坐標系Oxy。1）求BCD的加速度及水平力。選取BC為動系，OA曲柄上滑塊A為動點，A點加速度分析如圖（c）所示。根據(jù)加速度合成定理 aa = ae + ar由于 故 根據(jù)質(zhì)心運動定理，由圖（b）得滑槽BC的運動微分方程 2）求軸承O的動反力及作用在曲柄OA上的力矩M曲柄OA的質(zhì)心在E點，E點加速度的方向沿曲柄OA方向，且指向O點（見圖a），其大小為 根據(jù)質(zhì)心運動定理及剛體繞定軸轉動微分方

6、程 （1） （2） (3)將 及= 0代入方程（1）、（2）、（3）中，解得軸承動反力作用在曲柄OA上的力矩 綜-11 圖示均質(zhì)桿長為2l，質(zhì)量為m，初始時位于水平位置。如A端脫落，桿可繞通過B端的軸轉動、當桿轉到鉛垂位置時，B端也脫落了。不計各種阻力，求該桿在B端脫落后的角速度及其質(zhì)心的軌跡。解：（一）B脫落前瞬時B脫落后桿以此角速度在鉛直面內(nèi)勻速轉動。（二）B脫落后瞬時 B脫落后桿質(zhì)心作拋體運動 （1） （2）式（1）、（2）消去t，得 即 此即所求脫落后質(zhì)心的運動軌跡。綜-13 圖示機構中，物塊A、B的質(zhì)量均為m，兩均質(zhì)圓輪C、D的質(zhì)量均為2m，半徑均為R。輪C鉸接于無重懸臂梁CK上，D

7、為動滑輪，梁長度為3R，繩與輪間無滑動。系統(tǒng)由靜止開始運動，求：（1）A物塊上升的加速度；（2）HE段繩的拉力；（3）固定端K處的約束反力。解：圖（a） （各自正向如圖示）重力功：即 上式求導：圖（b）：由系統(tǒng)動量矩定理圖（c）圖（d）圖（c）綜-15 均質(zhì)細桿OA可繞水平軸O轉動，另一端有一均質(zhì)圓盤，圓盤可繞A在鉛直面內(nèi)自由旋轉，如圖所示。已知桿OA長l，質(zhì)量為m1；圓盤半徑R，質(zhì)量為m2。摩擦不計，初始時桿OA水平，桿和圓盤靜止。求桿與水平線成角的瞬時，桿的角速度和角加速度。解：系統(tǒng)由水平位置轉至與水平成任意角位置的過程中機械能守恒。設水平位置OA為零勢能位置，而圓盤在運動過程中，因無外力

8、偶作用，只能作平動。因而有（1） （順）式（1）對t求導后消去，得 （與同向）綜-17 圖示質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓柱，開始時其質(zhì)心位于與OB同一高度的點C。設圓柱由靜止開始沿斜面滾動而不滑動，當它滾到半徑為R的圓弧AB上時，求在任意位置上對圓弧的正壓力和摩擦力。解：圓柱由靜止開始沿斜面然后進入圓弧軌道過程中只滾不滑，受力及運動分析見圖（a）設圓柱質(zhì)心速度為v，則由動能定理得由圖（a），根據(jù)以點D為矩心的動量矩定理有：（必須指出，這里的點D為圓柱的速度瞬心，且圓柱在運動過程中速度瞬心至質(zhì)心的距離不變，才有如下的表達式）而 由質(zhì)心運動定理：代入解得 （與原設反向）綜-19 均質(zhì)細桿AB長為l，質(zhì)量為m，起初緊靠在鉛垂墻壁上，由于微小干擾，桿繞B點傾倒如圖。不計摩擦，求：（1）B端未脫離墻時AB桿的角速度、角加速度及B處的反力；（2）B端脫離墻壁時的角；（3）桿著地時質(zhì)心的速度及桿的角速度。解：（1）圖（a） （未脫離時定軸轉