3.1導數(shù)的概念教案

1、3.1導數(shù)的概念教案3.1導數(shù)的概念教案3.1導數(shù)的概念教案山東理工職業(yè)學院教案首頁 2017-2018 學年 第一學期課程名稱 高等數(shù)學任課教師授課班級授課時間第周第周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題3.1導數(shù)的概念教學目的1.理解導數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義與基本物理意義。2.理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系，即連續(xù)是可導的必要面非充分條件教學重點導數(shù)的概念及其幾何意義教學難點導數(shù)的幾何意義教學用具備 注復習檢查引入新課新授課幾何學中的切線斜率和力學中變速直線運動物體的瞬時速度，

2、這都是我們已學過的知識，這里，我們將用函數(shù)極限的概念來精確描述它們.切線斜率 問題：已知曲線方程為，要確定過曲線上點處的切線斜率. 解 建立直角坐標系，在曲線上取兩點，過兩點的直線叫做曲線的割線，當時，點沿著曲線趨向于點，割線繞點轉(zhuǎn)動并趨向于極限位置直線，直線叫做曲線 在點的切線，割線的傾角為，切線傾角為，割線的斜率為 (1)當時，割線的斜率的極限就為切線的斜率 (2)圖3-1-1變速直線運動物體的速度問題：已知物體作變速直線運動，運動方程為，要確定該物體在時刻的運動速度. 解 可取鄰近于時刻的時刻，在時間內(nèi)，物體走過的路程為物體運動的平均速度為 若時間間隔較短，比值可用來說明動點在時刻的近似

3、速度，顯然，越小，近似程度越好，令，平均速度的極限就是動點在時刻的速度 極限值叫做動點在時刻的（瞬時）速度.導數(shù)的定義由以上討論知，變速直線運動的速度和曲線切線的斜率都歸為一個數(shù)學形式 （3）由它們在數(shù)量關(guān)系上的共性，就得出函數(shù)的導數(shù)的概念.定義 設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，當在處有增量時，相應的函數(shù)有增量，如果極限存在，則稱此極限值為在處的導數(shù)，記作，即 （4）如果極限不存在，就說函數(shù)在點處不可導.若令，則（4）式又可記作 （5）如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可導，就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導.對任意都對應著的一個確定的導數(shù)值，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，這個函數(shù)叫做函數(shù)的導函數(shù)，記作由式（4）得 （

4、6）導函數(shù)簡稱導數(shù)，而是在處的導數(shù)或?qū)?shù)在點處的值.例1 求函數(shù)在處的導數(shù)解 例2 求函數(shù)在處的導數(shù) 解 將換成得 即 冪函數(shù)的導數(shù)公式 例3 求函數(shù)的導數(shù)解 類似可以得出.左導數(shù)，右導數(shù) .定理3-1-1 函數(shù)在點處可導的充分必要條件是左導數(shù)和右導數(shù)都存在且相等. 即若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，且、都存在，則在閉區(qū)間上可導. 例4 設(shè)函數(shù)試確定、的值，使在點處可導.解 因為可導一定連續(xù)，所以在處也是連續(xù)的.由于 要使在點處連續(xù)，必須有或又 要使在點處可導，必須，即.故當時，在點處可導.可導與連續(xù)的關(guān)系定理3-1-2 如果函數(shù)在點處可導，則函數(shù)在該點必連續(xù).若函數(shù)在點處有導數(shù)，則有所以，函數(shù)在點處連

5、續(xù). 故可導的函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù).例5 求函數(shù)在處的導數(shù).解 因為 所以不存在. 即函數(shù)在處不可導，但是連續(xù). 故連續(xù)函數(shù)不一定是可導的.導數(shù)的幾何意義由切線問題的討論知（見圖3-1-1），函數(shù)在點處的導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率，即，曲線在點處的切線方程為 曲線在點處的法線方程為 (1)如果，則曲線在點處有垂直于軸的切線；(2)如果，則曲線在點處有平行于軸的切線. 例6 求等邊雙曲線在點處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程. 解 根據(jù)導數(shù)的幾何意義，得切線的斜率為 切線方程為 即法線的斜率為 法線方程為 即練習1求函數(shù)在處的導數(shù)2求拋物線在點處的切線方程和法線方程.3. 討論函數(shù)在處是否可導.三、小結(jié)理解導數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義與基本物理意義，理