高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：7.1不等式的性質(zhì)26()

1、第七章 不等式 本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖可行域應(yīng)用題目標(biāo)函數(shù)不等式的性質(zhì)基本不等式一元二次不等式簡單的線性規(guī)劃證明最值問題和定值,積最大；積定值,和最小應(yīng)用時(shí)注意：一正二定三相等幾何意義：是直線 QUOTE 在軸上截距的倍,在 QUOTE 軸上截距的 QUOTE 倍 QUOTE ：構(gòu)造一次函數(shù) QUOTE ：構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離 QUOTE ：歸結(jié)為一次型或點(diǎn)線距離型 QUOTE ：構(gòu)造斜率借助二次函數(shù)的圖象三個(gè)二次的關(guān)系不等式第一節(jié) 不等式的性質(zhì)考綱解讀1. 了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式（組）的實(shí)際背景.2. 掌握不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用,明確各個(gè)性質(zhì)中結(jié)論成立的前提條件,理解絕對值不等式的

2、性質(zhì).命題趨勢探究高考中單純考查不等式性質(zhì)的題目不多,但不等式知識(shí)幾乎可以滲透到高考的每一個(gè)考點(diǎn).不等式的性質(zhì)是進(jìn)行不等式變形、證明以及解不等式的依據(jù),所以它仍是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容. 主要考查一下幾點(diǎn)：依據(jù)給定的條件,利用不等式的性質(zhì)判斷不等式或與證明不等式有關(guān)的結(jié)論是否成立；利用不等式的性質(zhì)與實(shí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,進(jìn)行大小比較；判斷不等式中條件與結(jié)論之間的關(guān)系,是充分條件、必要條件還是充要條件；求參數(shù)的取值范圍；證明不等式時(shí)往往使用不等式的推出特征,而解不等式時(shí),則要求同解變形.從命題的趨勢來看,預(yù)測2019年本專題在高考中會(huì)有如下動(dòng)向：（1）對不等式性質(zhì)的考查一般不會(huì)直接命題,往往與其他

3、知識(shí)相結(jié)合,如與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、數(shù)列等結(jié)合.（2）若直接命題,則通常比較容易,會(huì)出現(xiàn)在選擇題或填空題中,若與其他知識(shí)相結(jié)合,則有可能在解答題中出現(xiàn),作為求解或證明的一個(gè)步驟,為中檔難度題.知識(shí)點(diǎn)精講一、 基本概念不等關(guān)系與等量關(guān)系一樣,也是自然界中存在的基本數(shù)量關(guān)系,他們在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在. 不等關(guān)系建立在表示數(shù)量的代數(shù)式之間,可以是常量、變量及稍復(fù)雜的代數(shù)式.用不等號（如“”,“”,“”,“”,“”等）連接的式子叫做不等式,其中“”或“”連接的不等式叫做嚴(yán)格不等式；用“”或“”連接的不等式叫做非嚴(yán)格的不等式. 不等式可分為絕對值不等式（不論用什么實(shí)數(shù)代替不等式中的字母,不等式

4、都成立）、條件不等式（只能用某些范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母,不等式才能夠成立）和矛盾不等式（不論用什么樣的實(shí)數(shù)代替不等式中的字母,不等式都不能成立）.二、基本性質(zhì)不等式的性質(zhì)是證明和解不等式的主要依據(jù).運(yùn)用時(shí),對每一條性質(zhì)要弄清條件和結(jié)論,注意條件加強(qiáng)和放寬厚條件和結(jié)論之間的變化；不僅要記住不等式運(yùn)算法則的結(jié)論形式,還要掌握法則成立的條件,避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤.1. 兩個(gè)不等式的同向合成,一律為“”（充分不必要條件）（1）（傳遞性,注意找中間量）（2）（同向可加性）（3）（同正可乘性,注意條件為正）注：如,其逆命題不成立,如但是.2. 一個(gè)不等式的等價(jià)變形,一律為“”（充

5、要條件）,這是不等式解法的理論依據(jù)（1）（2）（對稱性）（3）（乘正保號性）（4） （5）（不等量加等量）（6）（乘方保號性,注意條件為正）（7）（開方保號性,注意條件為正）（8）（同號可倒性）；.最為重要的3條不等式性質(zhì)為：；在不等式問題中都有重要的應(yīng)用,但應(yīng)注意他們的適用條件,可以用口訣“同向同正可乘；同號取倒需反向”來記憶.題型歸納及思路提示題型88 不等式的性質(zhì)思路提示應(yīng)用不等式的基本性質(zhì),不能忽視其性質(zhì)成立的條件,解題時(shí)要做到言必有據(jù),特別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時(shí),有時(shí)可用特殊值驗(yàn)證法,以提高解題的效率.例7.1 對于實(shí)數(shù),有以下命題：若,則；若,則；若則；若,則；若,則.

6、 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè) 分析： 判斷命題的真假,要緊扣不等式的性質(zhì),應(yīng)注意條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.解析：中值的正負(fù)或是否為零未知,因而判斷不等關(guān)系缺乏依據(jù),故該命題是假命題；中,由可知,則故該命題是真命題；中,不等式兩邊同乘,可得,若同乘,可得,易知成立,故該命題為真命題；中,由可知,故有,又因,由“同向同正可乘”性可知成立. 故該命題為真命題；中,由已知因?yàn)?故,又,所以,故該命題為真命題. 綜上所述,都是真命題,故選C.評注：準(zhǔn)確記憶各性質(zhì)成立的條件,是正確應(yīng)用的前提. 在不等式的判斷中,特殊值法是非常有效的方法,如變式3.變式1 設(shè),若,則

7、下列不等式中正確的是（ ）A. B. C. D. 解析 由知,所以,故選C.評注：本題考查絕對值得概念和性質(zhì),如果用特殊值法也能求解.如取,可排除A,B,D,選項(xiàng).故選C.變式2 設(shè)是非零實(shí)數(shù),若,則下列不等式中成立的是（ ） B. C. D. 解析 解法一：排除法和賦值法.令,對于選項(xiàng)A：,故錯(cuò)；對于選項(xiàng)B：令,故排除選項(xiàng)B；對于選項(xiàng)D：令,顯然錯(cuò)誤,因此排除D選項(xiàng).故選C.解法二：推演法. 對于選項(xiàng)A：,因?yàn)?但不能確定的符號,故的符號不能確定,故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B：,但的符號不確定,故的符號不能確定,故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C：.故選C變式3 若,則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. 和

8、均不成立 B. 和均不成立 C. 不等式和均不成立 D. 不等式和均不成立解析 解法一：因?yàn)?所以,所以,又因?yàn)?所以,故不成立.因?yàn)?所以,所以,故不成立.故選B.解法二：排除法.選項(xiàng)A中成立,排除選項(xiàng)A；選項(xiàng)C與D中成立,排除選項(xiàng)C,D.其證明如下：因?yàn)?所以,因?yàn)?故.故選B.評注：本題也可以用特殊值法求解.如取,則可以排除選項(xiàng)A、C、D,故選B.變式4若,且,則下列代數(shù)式中值最大的是( )A. B. C. D. 解析 解法一：特殊值法.取,則,因?yàn)?故選A.解法二：因?yàn)?所以,即,同理,從而,又因?yàn)?,由得.故選A.題型89 比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式思路提示比較數(shù)（式）的大

9、小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)性.比較法又分為作差比較法和作商比較法.作差法比較大小的步驟是：（1）作差；（2）變形； （3）判斷差式與0的大小； （4）下結(jié)論.作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大??； （4）下結(jié)論.其中變形是關(guān)鍵,變形的方法主要有通分、因式分解和配方等,變形要徹底,要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法,如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù),且是冪或者因式乘積的形式,也可考慮使用作商法,作商法比較大小的原理是：若,則;若,則;；例7.2 若且,試比較與的

10、大小.解析：解法一：,因?yàn)榍?所以,所以.解法二：,因?yàn)榍?所以,又,所以,變式1 若,試比較與的大小分析 這兩個(gè)代數(shù)式都是多項(xiàng)式,可采用作差法比較大小.此外,由于兩式右共同的因式,也可以采用作商法.留意到,要比較的兩式均小于0,變成正再使用作商法,能降低失誤的可能性.這是易錯(cuò)點(diǎn),需引起同學(xué)們的注意.解析 解法一：.由于,所以且,故.所以.解法二：作商法. ,因?yàn)?所以,證畢.變式2 設(shè)且,試比較與的大小分析 利用作商法比較大小的步驟為：作商；變形；判斷商與1的大小；下結(jié)論.解析 ,因?yàn)?且.若,所以,故；若,所以,故,綜上所得.評注 對于與大小的比較除了利用作商法外,還可以利用引入對數(shù)運(yùn)算然

11、后作差比較.對與分別取對數(shù),則當(dāng)時(shí),所以,故當(dāng)時(shí),所以,故,綜上所得.例7.3 在銳角中,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則下列命題中正確的是（ ）A. B. C. D. 解析：因?yàn)樵阡J角中有由在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以,且,又函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,故選D.變式1 已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且在區(qū)間上是增函數(shù),令,則（ ）A. B. C. D. 分析 充分利用函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)比較大小.解析 因?yàn)槭荝上的偶函數(shù),所以,又因?yàn)?且在上是增函數(shù),故,故選A.變式2 已知函數(shù)那么的值( )A. 一定大于0 B. 一定小于0 C. 等于0 D. 確定分析 利用函數(shù)的單調(diào)性判定大小關(guān)系.解析 由函數(shù)可得在R上單調(diào)遞增

12、且為奇函數(shù),因此,即,得,同理,將三式相加得到,變形,得,故選B.題型90 已知不等式的關(guān)系,求目標(biāo)式的取值范圍思路提示在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí),不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍,否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大,而只能建立已知與未知的直接關(guān)系. 例7.4 已知且則的取值范圍是 .解析：解法一：令得,解得.即. 由得所以. 故的取值范圍是.解法二：本題還可以利用“線性規(guī)劃”的方法求解.如圖7-1所示,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取最大值,點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以；當(dāng)直線,過點(diǎn)時(shí),取最小值,當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為,所以,又本題不取邊界,因此的取值范圍是.評注：不能求出獨(dú)立的范圍內(nèi),簡單利用不等式性質(zhì)求解,可結(jié)合后面

13、線性規(guī)劃理解并求解.變式1 已知且,求的范圍.解析 ,令,得,即,得.因此,又 ,得,故,所以的范圍是.變式2 設(shè)為實(shí)數(shù),滿足,則的最大值是 .析 解法一：設(shè),且,又,所以,所以的最大值是27.解法二：,化簡得,得,所以的最大值是27.評注 本題通過恒等變換將變形為關(guān)于與的表達(dá)式,然后利用整體代換的方法求解.最有效訓(xùn)練題26（限時(shí)45分鐘）1. （2016年北京高考）已知，且，則（ ）A. B. C. D.2. 設(shè),則下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 3. 已知并且,那么一定成立的是（ ）A. B. C. D. 4. （2017山東理7）若，且，則下列不等式成立的是（ ）.A.

14、 B.C. D.5. 若，給出下列不等式 其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）； ； A. B. C. D.6. 已知下列四個(gè)條件中,使得成立的必要而不充分條件是（ ）A. B. C. D. 7. 已知四個(gè)條件：能推出成立的有 個(gè). 8. 若,則的取值范圍是 .9. 已知下列三個(gè)不等式：；,以其中兩個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,則可能成 個(gè)正確命題.10. 已知且,求的取值范圍.11. 設(shè)且求的取值范圍.12. 若實(shí)數(shù)滿足,試比較的大小.最有效訓(xùn)練題261C 解析 通過特殊值驗(yàn)證，排除后容易判斷C正確.故選C.2C 解析 因?yàn)?所以,既,選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B：,因此選項(xiàng)B不正確 ；對于選項(xiàng)C：；對于選項(xiàng)D：,所以選項(xiàng)D不正確. 故選C.3B 解析 由,且,得所以,故選B.4.B 解析 由題意知，所以，.故選B.注:本題也可采用特殊值法，如，易得結(jié)論.5. D 解析 由于，所以，故，正確.，故正確.,所以成立.故一共有個(gè)正確.故選D .6.