高中數(shù)學題型全面歸納（教師版）：12.4 二項式定理52

1、 二項式定理考綱解讀能用計數(shù)原理證明二項式定理.會用二項式定理解決與二項式展開式有關的簡單問題.命題趨勢探究高考對本節(jié)內容的考查常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，并且高于中等偏易試題.主要考查內容是： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 利用通項求解展開式中的某指定項； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 利用二項式特別是的展開式求解系數(shù)或求某些類似于二項展開式的式子的值； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 二項式系數(shù)的有關問題.知識點精講一、二項式定理 .展開式具有以下特點：（1）項數(shù)：共項.（2）二項式系數(shù)：依次為組合數(shù).（3）每一項的次數(shù)是一樣的，都為次

2、，展開式依的降冪、的升冪排列展開.特別地，.二、二項式展開式的通項（第項） 二項式展開的通項為.其中的二項式系數(shù).令變量（常用）取1，可得的系數(shù).注 通項公式主要用于求二項式展開式的指數(shù)、滿足條件的項數(shù)或系數(shù)、展開式的某一項或系數(shù).在應用通項公式時要注意以下幾點： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 分清是第項，而不是第項； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 在通項公式中，含這6個參數(shù)，只有是獨立的，在未知的情況下利用通項公式解題，一般都需要先將通項公式轉化為方程組求和.二項式展開式中的系數(shù) （1）二項式系數(shù)與項的系數(shù) 二項式系數(shù)僅指而言，不包括字母所表示的式子中的系

3、數(shù).例如：的展開式中，含有的項應該是，其中叫做該項的二項式系數(shù)，而的系數(shù)應該是（即含項的系數(shù)）.二項式系數(shù)的性質 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 在二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即，. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大. 如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項是第項，其二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間項有兩項，即為第項和第項，它們的二項式系數(shù)和相等并且最大.（3）二項式系數(shù)和與系數(shù)和 = 1 * GB3 二項式系數(shù)和 .奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和， . = 2 * GB3 系數(shù)和

4、求所有項系數(shù)和，令；求變號系數(shù)和，令；求常數(shù)項，令。題型歸納及思路提示題型172 二項式定理展開式的應用思路提示 對二項展開式的認識不僅要關注展開式中對各項的特點，更重要的是要理解等式兩邊的關系，右邊是左邊個因式積的結果，而左邊是右邊各項和的結果，這就為此類問題的解決提供了思考的方向和解決的思路。例12.30 用計數(shù)原理證明： .解析: ，其展開式的通項為，是由個中的個中每一個取，個中每一個取相乘取得的，這樣的取法（只需從個中取，自然剩余個中?。┕灿蟹N，即 .故 變式1 在的展開式中，的系數(shù)為（ ）A. B. C. D. 解析 展開x項系數(shù)為1x2x3x4+2x3x4x5+1x3x4x6+1x

5、2x3x5+1x2x4x5=274.故選D.變式2 在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）.解析 將多項式看作，通項公式為，因為,時都不含有x的項，故要求x的系數(shù)，r只能等于1，x的系數(shù)為.評注 本題也可把二項式定理進行推廣，原式看成5個相同的因式相乘，要得到只含x的項，只要從其中一個因式取出4x，另外四個因式全取2，即只含x的項為：，即含x的項的系數(shù)為320.變式3 的展開式中整理后的常數(shù)項為_（用數(shù)字作答）.解析 解法一 將看做整體，則展開式中的常數(shù)項，當5-r=0時，即r=5, ,當5-r=2時，即r=3, ,當5-r=4時，即r=1, ,則展開式中的常數(shù)項為.解法二 .則展開式中的常數(shù)

6、項為.評注 在解法二中不妨設，常數(shù)項為，此解法更簡捷.題型173 二項展開式通項的應用思路提示二項展開式的通項從微觀角度反映了二項展開式的全貌，是展開式的縮影，它可以用于求二項展開式的任意指定項及其系數(shù)等。例12.31 （1）的展開式的常數(shù)項是（ ）A. B. C. D. (2)展開式中的系數(shù)為（ ） A. B. C. D. 解析：（1）利用計數(shù)原理求解，當左邊因式取2，所得常數(shù)項為，當左邊因式取， 所得常數(shù)項為，故展開式中常數(shù)項為 ，故選. .故展開式中含的項 .故選.變式1 展開式中的系數(shù)為_。解析 將展開式中項為，所以項的系數(shù)為變式2 展開式中的常數(shù)項為_。解析 兩個二項式的通項分別為，

7、當時，即4i = 3j，有3種情況：i = j = 0；i = 3，j = 4；i = 6，j = 8；因此常數(shù)項為.變式3 已知的展開式中沒有常數(shù)項，且，=_.解析 的通項公式為，要使多項式展開后沒有常數(shù)項，則的展開式中，則，n被4整除不能余0,2,3，所以n被4整除只能余1，又，故n = 5.例12.32 （1）求證： .（2）求證：.解析 （1）因為，又，所以展開式至少有4項，即 .證畢.（2）首先，顯然有 ；同時 （至少有3項），故有.變式1 ，.求證：.解析 設a = x + y，b = x y，則，于是：=變式2 求證： .解析 ，所以變式3 對于，求證：. 解析 展開式的通項 展

8、開式的通項 因為，所以，當r = 0時，；當時，由二項式展開的通項可知例12.33 (1)展開式中的系數(shù)為，=_.(2) （2017新課標理數(shù)）(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A-80B-40C40D80解析 （1），令x=1得系數(shù)為，的冪，由展開式中的 QUOTE 的系數(shù)為，得， 。22x-y5展開式中 Tr+1=C5r2x5-r-yr 因此只需展開式中的含x3y2與x2y3的系數(shù)之和。C5223(-1)2+C5322(-1)3=40 選c變式1 的展開式中含的項的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)。解析 二項展開式的通項為，令18 = 15，解得r = 2，所以含的項的系數(shù)為17變式 2 設二項

9、式()的展開式中的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若B=4A，則的值為_。解析 二項式展開的通項，令， 令，由B = 4A解得，又a 0，所以a = 2【例12.33變式3】變式 3 展開式中與的系數(shù)和為_(用數(shù)字作答)。解析 ,由題意知r = 7或3，當r = 7，；當r = 3，這兩項系數(shù)和為 240例12.34 展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有_項。解析：= QUOTE ()依題意，為4的整數(shù)倍，.故展開式中系數(shù)為有理項的項共有6項。變式1 的第三項和第二項系數(shù)之比為11：2，求展開式中有理項有多少個？解析 的系數(shù)為，的系數(shù)為，。是有理項，故展開式中有3個有理項變式2 (為有理數(shù))，則=（ ） A.

10、45 B. 55 C. 70 D. 80解析 ，故選C變式3 展開式中存在常數(shù)項，正整數(shù)的最小值為_.解析 為常數(shù)項，故，故題型174 二項展開式的系數(shù)和問題思路提示有關系數(shù)和的問題不僅要注意二項式系數(shù)和的結果，重要的是研究二項式系數(shù)所用的方法即賦值法，這里就需要讀者根據(jù)題目結合已知條件進行賦值。例12.35 已知=.求（1）；（2）；（3）；（4）.解析 令，則 = 1 * GB3 令，則. = 2 * GB3 (1)因為，所以.(2)( = 1 * GB3 - = 2 * GB3 )2得.(3) ( = 1 * GB3 + = 2 * GB3 ) QUOTE 得(4) 解法一：因為展開式中

11、大于零，而小于零，所以=（）（）=2187.解法二：即為展開式中各項的系數(shù)和，故只需要對中令即可得的值等于=2187.評注： 求關于展開式中的系數(shù)和問題，往往根據(jù)展開式的特點給其中字母一些特殊的數(shù)值，如1，-1等，此即賦值法。變式1 已知二項展開式，則=_.分析 ，在中，令x = 1，；令x = 1， 解析 變式2 的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為（ ）A. -40 B. -20 C. 20 D. 40解析 令x = 1得，因此展開式中的常數(shù)項即為展開式中的系數(shù)與x的系數(shù)和。展開式的通項為，令5 2r = 1，得r = 2，因此展開式中x的系數(shù)為80令5 2r = 1，得r =

12、 3，因此展開式中的系數(shù)為40，所以展開式中的常數(shù)項為40，故選D例12.36 若=（），則的值為（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. -2解析：在二項式展開式中，令，得，令得，所以，故選C.變式1 已知=.若，那么自然數(shù)的值為（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 令x = 1時，得，又，所以，即，解得n = 4，故選B變式2 若，則=_.解析 由題意可知，所求結果為x = 1時，的值，即令，則即為所求，又，所以 = 14題型175 二項展開式中系數(shù)或項的最大、最小問題思路提示 二項式系數(shù)最大（小）問題按前述“知識點精講”原理求解.系數(shù)或項的最大、最小問題需按該項大于（或小于

13、）等于相鄰兩項，列不等式組求解。例12.37 展開式中：（1）只有第7項的二項式系數(shù)最大，則=_;（2）第7項二項式系數(shù)取最大值，= _.分析：只有一項的二項式系數(shù)最大是偶數(shù)；有兩項二項式系數(shù)最大是奇數(shù)。解析：（1）=只有二項式系數(shù)最大， QUOTE 為偶數(shù)，最大值為，得. (2)當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，最大二項式系數(shù)為和或或.所以。變式1 求展開式的系數(shù)最大項和最小項。解析 ,各項系數(shù)為，在正數(shù)里找最大系數(shù)，為界，最大系數(shù)為，系數(shù)最大項為和，在負數(shù)里找最小系數(shù)，系數(shù)最小項變式2 求展開式中二項式系數(shù)最大項數(shù)和系數(shù)最大項數(shù)。解析 ，二項式系數(shù)最大為第6,7項，設系數(shù)最大項滿足（分母都大于0）

14、，即r = 7或8系數(shù)最大，即第8,9項兩項系數(shù)最大。最有效訓練題52（限時30分鐘）1.的二項展開式中，的系數(shù)為（ ）A. 10 B.-10 C.40 D. -402. (其中且)展開式中，與的系數(shù)相等，則=（ ）A. 6 B. 7 C.8 D. 93的展開式中，的系數(shù)為10，則實數(shù)等于（ ）A. B. C. 1 D. 24. （2017新課標理數(shù)）展開式中的系數(shù)為A15B20C30D355.若展開式中的所有二項式系數(shù)和為512，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）A. -84 B. 84 C. -36 D. 366. 設=，則的值為（ ）A. 2 B. -1 C. -2 D. 1 7. 若的展開式

15、中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的的系數(shù)為_8. （2017山東理）已知的展開式中含有項的系數(shù)是，則 .9. 已知，若數(shù)列（）是一個單調遞增數(shù)列，則的最大值為_.10. （2017浙江）已知多項式，則=_，=_11. 12. 。（1） 若，求的值； （2） 若，求中含的項的系數(shù)；（3） 證明： 最有效訓練題52D 解析 由，令10 3r = 1，得r = 3，代入得x的系數(shù)為40B 解析 ，由已知解得n = 7D 解析 依題意，令5 2r = 3，得r = 1，所以的系數(shù)5a = 10，得a = 21+x6展開式中 Tr+1=C6rxr因此只需展開式中的含x4與x2的系數(shù)之和。C64+C62=30選項為cB 解析 依題意，得n = 9，令18 3r = 0，得r = 6，常數(shù)項為84C 解析 令x + 2 = 1，得x = 1，代入等式得，所以56 解析 由已知得，所以n = 8，令8 2r = 2，得r = 5，所以