版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、微分幾何 Differential GeometryChapter 3 參數(shù)曲面第一基本形式第一基本形式設(shè) 是 中一個正則參數(shù)曲面. 則 是曲面上任意一點 處的切向量,這個向量作為 中的向量可以計算它的長度. 這三個函數(shù) 稱為曲面 的第一類基本量. 第一基本形式而矩陣 稱為切空間(關(guān)于基底 )的度量矩陣(metric matrix). 由于 的度量是正定的,這是一個正定矩陣. 事實上,它的2個順序主子式均 :(Lagrange 恒等式)第一基本形式利用第一類基本量 的定義,有 這是一個關(guān)于變量 的二次型,稱為曲面 的第一基本形式(first fundamental form),記為記參數(shù)變換
2、的Jacobi矩陣為 則第一類基本量之間的關(guān)系為 新的參數(shù) 下,第一基本形式保持不變:第一基本形式第一基本形式與參數(shù)選擇無關(guān),也與 的標(biāo)架選擇無關(guān),是一個幾何量. 其實,這一結(jié)論也可由微分形式不變性直接得到:如果 和 是 處的兩個切向量,則它們的內(nèi)積為 因此切向量 的長度為兩個切向量 和 之間的夾角 滿足 它們相互正交的充分必要條件是正交曲線網(wǎng)在參數(shù)曲面 上,參數(shù)曲線網(wǎng)是正交曲線網(wǎng) . 對于參數(shù)曲面 上的一條曲線 ,它的弧長為面積元素定義 稱 為曲面S的面積元素,稱 為曲面 的面積.曲面的幾何量曲面上曲線的弧長 ,曲面的面積元素 以及曲面的面積 都是幾何量. 證明 假設(shè)參數(shù)變換為 ,其中 則在
3、新參數(shù) 下, 的參數(shù)方程 與原參數(shù)方程 之間滿足曲線的參數(shù)方程由 變成了 所以由(3.12)可見,在新參數(shù) 下,第一類基本量 滿足 其中 是 的逆映射 的Jacobi行列式. 另一方面根據(jù)二重積分的變量代換公式, 所以在新參數(shù) 下的面積元素根據(jù)二重積分的變量代換公式,有EXAMPLES例1 求旋轉(zhuǎn)面 的第一基本形式. 所以 這說明在旋轉(zhuǎn)面上,經(jīng)線和緯線構(gòu)成正交曲線網(wǎng). 第一基本形式為這說明在旋轉(zhuǎn)面上經(jīng)線(v-曲線)和緯線(u-曲線)構(gòu)成正交參數(shù)曲線網(wǎng). 例2 求曲面上參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線的微分方程. 解 設(shè)正則參數(shù)曲面 的第一基本形式是 再設(shè)二等分角軌線的切向量為 由題意,它與u-曲線的夾
4、角要等于它與v-曲線的夾角,而u-曲線的切方向為 ,v-曲線的切方向為 ,所以將 和 代入上式,得即由于 ,即 ,所以上式可化簡為或等價地,參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線的微分方程為注 求解一階常微分方程初值問題得到的解 是曲面 上過 點的一條曲線 ,在 的每一點 ,切方向 與該點處的兩條參數(shù)曲線的切方向夾角相等. 固定 ,讓初始條件 變動,就得到2族這樣的曲線,它們就是參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線.曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性在正交參數(shù)曲線網(wǎng)下,第一基本形式比較簡單:問題:曲面上是否存在正交參數(shù)曲線網(wǎng)?引理設(shè) 是定義在區(qū)域 上的連續(xù)可微的1次微分形式,且 處處不為零. 則對于任意一點 , 在 的某個鄰
5、域 內(nèi)存在積分因子,即有定義在 上的非零連續(xù)可微函數(shù) ,使得 是某個定義在 上的連續(xù)可微函數(shù) 的全微分:定理4.1 假定在曲面 上有兩個處處線性無關(guān)的、連續(xù)可微的切向量場 , . 則對每一點 ,必有 點的一個鄰域 ,使得在 上存在新的參數(shù) ,滿足 . 分析:設(shè) , . 則由 線性無關(guān)可知 如果這樣的可允許參數(shù)變換 存在,則應(yīng)有函數(shù) 使得 即有 在上述等式兩邊取逆矩陣得 因此逆參數(shù)變換 應(yīng)滿足定理4.1的證明:考慮兩個1次微分形式 由引理可知存在積分因子 使得 是全微分,即有函數(shù) , 使得由此可見因為 參數(shù)變換 是可允許的. 在新的參數(shù) 下, 同理有 . 注 滿足條件的新參數(shù)僅是局部存在的,并且不能使得 . 曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性定理4.2 在曲面 上每一點 ,有 點的一個鄰域 ,使得在 上存在新的參數(shù) ,滿足 .證明
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025-2030年中國MLCC行業(yè)資本規(guī)劃與股權(quán)融資戰(zhàn)略制定與實施研究報告
- 新形勢下川菜餐飲行業(yè)可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略制定與實施研究報告
- 2025-2030年中國月子中心行業(yè)全國市場開拓戰(zhàn)略制定與實施研究報告
- 2025-2030年中國酒店管理服務(wù)行業(yè)營銷創(chuàng)新戰(zhàn)略制定與實施研究報告
- 2025-2030年中國標(biāo)識設(shè)計制作行業(yè)營銷創(chuàng)新戰(zhàn)略制定與實施研究報告
- 織物設(shè)計與思考
- 關(guān)于進一步健全和完善城市社區(qū)治理體系建設(shè)的工作方案
- 2019-2025年中國養(yǎng)雞場行業(yè)市場深度分析及發(fā)展前景預(yù)測報告
- 湖北省襄陽市谷城縣石花三中2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末化學(xué)試卷
- 雪茄基礎(chǔ)知識培訓(xùn)課件
- 特種設(shè)備鍋爐日管控、周排查、月調(diào)度主要項目及內(nèi)容表
- 石碑施工方案
- 淺談如何提高小學(xué)生計算能力講座課件
- 配電網(wǎng)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)(施工驗收分冊)
- 生育服務(wù)證辦理承諾書
- IQC進料檢驗報表
- 《零基礎(chǔ)學(xué)前端(HTML+CSS+JS)課件》
- 紀(jì)檢監(jiān)察知識題庫―案例分析(20題)
- 機械通氣治療流程
- 【薦】八旗制度-課件(精心整理)
- 器樂專業(yè)課教學(xué)大綱(古箏)
評論
0/150
提交評論