簡單的線性規(guī)劃問題與基本不等式

1、簡單的線性規(guī)劃問題與基本不等式、選擇題:1.（2009福建高考）在平面直角坐標系中,x+ y- 1 0,若不等式組ix-10（a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的面積等于2,則a的值為B. 1C. 2D. 3rx+ y- 1 0,解析：不等式組X x- K0,所圍成的區(qū)域如圖所示.則 A(1,0),2,已知D71A.4ax y+ 1 0B(0,1), C(1,1 + a)1S abc=2,2(1 + a)X1 = 2,解得 a=3.是由不等式組解析：如圖,答案：Dx 2y 0i所確定的平面區(qū)域，則圓x2+y2=4在區(qū)域D內(nèi)的弧長為x+ 3y 0 11小l2的斜率分別是k1 = 1 k2= ：,不等式組

2、表示的平面區(qū)域為陰影部分.231 1一 十 一-2 3tan / AOB= 1,1、/ 11 _ x 一1 2 3. Z AOB=-,:弧長=44 2=2,答案：B3.（2009天津高考）設(shè)變量x+y 3,x、y滿足約束條件儀y 1,2x-y3,則目標函數(shù)z = 2x + 3y的 最小值為A. 6B. 7C. 8解析：約束條件3,xy 1,表不的平面區(qū)域如圖2x-y 3D . 23易知過C（2,1）時，目標函數(shù) z= 2x+3y取得最小值.Zmin=2X 2+ 3X1=7.答案：B 1,4. （2009陜西高考）若x, y滿足約束條件x y 一 1,、2xyw 2,目標函數(shù)z= ax+ 2y僅

3、在點（1,0）處取得最小值，則 a的取值范圍是(-1,2)(-4,2)(-4,0(-2,4)解析：可行域為ABC,如圖當a = 0時，顯然成立.當aa0 時，直線 ax+ 2y z= 0 的斜率 k=-akAC= - 1, a2.a當 a0 時，k= 2 4.綜口信一4Vav 2.答案：B5.（2009湖北高考）在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn).現(xiàn)有 4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機 20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機 10臺.若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為 （）A. 2 000 元B. 2

4、200 元C. 2 400 元D. 2 800 元:20 x+10y100,解析：設(shè)需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運輸費用z元，根據(jù)題意，得線性約束條件0 0 x4,I 0y 8,求線性目標函數(shù) z= 400 x + 300y的最小值.|x= 4解得當f時，2min= 2 200.答案：By=26. （2009四川高考）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用 A原料1噸、B原料3噸.銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤 3萬元.該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是12

5、萬元20萬元25萬元27萬元解析：設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為 x噸，乙產(chǎn)品為y噸，則該企業(yè)可獲得利潤為0,y0,z= 5x + 3y,且3x+ y8+24xy(當且僅當x=y時等號成立),即xy2yxy 80,可解得44,即xyR16,故xy的最小值為16.答案：D8. (2009天津高考)設(shè)a0, b0.若43是3a與3b的等比中項，則彳+土的最小值為()-1A. 8B. 4C . 1D-4解析：.。3是3a與3b的等比中項，(5)2=3a 3b.即3=3a b, a+b=1.此時； + b=a+ab = 2+(b+ ：)2+2=4(當且僅當 a=b=2取等號). 答案：B1 a9.已知不等式(x

6、+y)(x+y)9對任意正實數(shù)x, y恒成立，則正實數(shù) a的最小值為(A. 8 B. 6 C. 4 D. 2解析：(x+y)(x+ y)= 1 + a y+；+ aa+ 1 + 2 Jay =a+2 0+ 1,當且僅當ay=y等號成立，所以(Va)2+2Va+19,SP(Va)2+ 2/a-80,彳#g2 或4(舍),所以 a4,即 a 的最小值為 4.答案：C10 .設(shè)a、b是正實數(shù)，以下不等式曬輯； a|b|-b； a2+b24ab-3b2； ab+ ab2 恒成立的序號為A.B.C.D.解析：a b 是正實數(shù)，. a+b2相? 12-ab? Jab2aba+ ba+ b當且僅當a=b時取

7、等號,，不恒成立； a+b|a b|? a|ab|b恒成立;，不恒成立; a2+b2 4ab+3b2=(a2b)20,當 a=2b 時，取等號, ab+ 2abab-2= 2陋2恒成立. ab答案:一 一2ab ,11若a是m一b與b的等比中項，則 一皿的最大值為|a| 十 |b|A. 2B. 1C. 4解析：二v是小一b與42+ b的等比中項,a2=2-b2? a2+b2=2.根據(jù)基本不等式知-.徊M|a|+|b| |a| + |b|a2+b22二=1.即3b-的最大值為1. |a|+ |b|答案：B12.若 a, b 是正常數(shù)，aw b, x, yC (0, +o ),a2 b2 (a+

8、b)2 生+色5,x yx+y當且僅當；=；時取等號.利用以上結(jié)論,29函數(shù) f(x)=-+ ；(x (0,x 1 2x1 一一，一，i）取得最小值時x的值為（）A. 1C. 2a2 b2 (a+ b)2 解析：由工+ b- 得,x y x+ yf(x) = 1- +2x32=25.1 2x 2x+(1-2x)當且僅當2312= 百-時取等號，即當x=g時f（x）取得最小值25.答案：B二、填空題:13.點（3,1）和（一4,6）在直線3x2y+ a=0的兩側(cè),則a的取值范圍是解析：點（3,1）和（一4,6）在直線3x2y+ a=0的兩側(cè),說明將這兩點坐標代入 3x2y+a后，符號相反,所以(

9、92+ a)(-12-12+a)0 I mx y? (x, y)|x2+y2 0則m的取值范圍是rt#=3 產(chǎn)一 g解析：由題意知，可行域應(yīng)在圓內(nèi)，如圖:如果一m0,則可行域取到 xv 5的點，不能在圓內(nèi);故一mW 0,即 m0.4當mx+ y= 0繞坐標原點旋轉(zhuǎn)時，直線過B點時為邊界位置.此時 m=-3m = 4. 0 m0, b0)和函數(shù)f(x)= a*1 + 1(a0且aw 1)的圖象恒過同一個定點，1 1則當1+1取最小值時，函數(shù)f(x)的解析式是.a b解析：函數(shù)f(x)=ax1 + 1的圖象恒過(1,2),故，a+ b= 1,1+ ；= (：a+b)(1+；)=忌冶+值.當且2ab

10、 2 a b 2 a 2b 2僅當 b=察時取等號，將 b= 12a代入；a+b= 1 得 a=2722,故 f(x)= (272-2)x+1 + 1.答案：f(x)=(2/2)x 1+116.已知關(guān)于x的不等式2x + 27在xC(a, + 8 )上恒成立，則實數(shù) a的最小值為 . x a2 一 2(x a) + 2ax a3答案：222解析：因為 xa,所以 2x +=2(xa) + 2a2一一 3 一 一 3= 2a+4,即2a + 4 7,所以a 2,即a的取小值為2.三、解答題：x+ 2y 4,17.已知關(guān)于x、y的二元一次不等式組 Jx-y0.(1)求函數(shù)u= 3xy的最大值和最小

11、值；(2)求函數(shù)z= x+ 2y+ 2的最大值和最小值.x+ 2y 4,解：(1)作出二元一次不等式組 xyW1,表示的平面區(qū)域，如圖所示.lx+2A0由u= 3x-y,得y=3xu,得到斜率為3,在y軸上的截距為u,隨u變化的一組平行線,由圖可知，當直線經(jīng)過可行域上的C點時，截距一u最大，即u最小,x+ 2y= 4,解方程組 1得 C(-2,3), Umin=3X (-2)-3=-9.x+2= 0,當直線經(jīng)過可行域上的B點時，截距u最小，即u最大，x+ 2y= 4,解方程組 5得 B(2,1),umax=3X2-1 = 5.xy= 1,，u=3x y的最大值是 5,最小值是一9.x+ 2y

12、4,(2)作出二元一次不等式組 x-y1,表示的平面區(qū)域，如圖所示.lx+2A03a-y-011 11由z=x+ 2y+2,得y= - 2x+ 2z- 1,得到斜率為一萬，在y軸上的截距為.z 1,隨z變化的一組平行線， 1 一一由圖可知，當直線經(jīng)過可行域上的A點時，截距 產(chǎn)一1最小，即z最小，x y= 1, 解方程組 5得 A(2, 3),. zmin=- 2+2X(-3)+2=- 6.x+2= 0, 1當直線與直線 x+2y=4重合時，截距& z- 1取大，即z取大，. zmax= 4+ 2=6.z= x+ 2y+ 2的最大值是 6,最小值是一6.18.某人上午7時乘摩托艇以勻速 v km

13、/h(4 w vW 20)從A港出發(fā)到距50 km的B港去，然后乘7車以勻速wkm/h(30w wW100)自B港向距300 km的C市駛?cè)?應(yīng)該在同一天下午4至9點到達C市.設(shè)乘摩托艇、汽車去所需要的時間分別是x h、y h.若所需的經(jīng)費 p=100+3(5y)+2(8 x)元，那么v、w分別為多少時，所需經(jīng)費最少？并求出這時所花的經(jīng)費.501”人120-30 300 100解：依題意 y,考查z= 2x+3y的最大值，作出可行域，平移直線2x+3y= 0,當直線經(jīng)9 x+y0, y0過點(4,10)時，z取得最大值38.故當v=12.5、w =30時所需要經(jīng)費最少，此時所花的經(jīng)費為93元.

14、19.已知 a、b、cC(0, +8)且 a+b+ c= 1,求證：(1 1)口1)口1)8.abc證明：a b、c (0, +oo)且a+b+c= 1,111(a- 1)(b-1)(r1) =(1 a)(1 b)(1 c)abc(b+ c)(a+ c)(a+ b) 2 . bc 2 , ac 2 ababcabc=8.一，1-當且僅當a=b= c=;時取等320.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為示)，如果池四周圍墻建造單價為400元/米,米2,水池所有墻的厚度忽略不計.162平方米的三級污水處理池，池的深度一定(平面圖如圖所 TOC o 1-5 h z 中間兩道隔墻建造單價為248元/

15、米，池底建造單價為80元/試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價;(2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.,.解：(1)設(shè)污水處理池的寬為 x米，則長為 儂米. 則總造價 xf(x) = 400X (2x+2* 162)+248X2x+ 80 X 162= 1 296x + 1 296 X 100+ 12 960 xx當且僅當100 x=_x_(x0),100=1 296(x+ x )+12 960 1 296X 2100一一十12 960=38 880(兀), x即x=10時取等當長為16.2米，寬為10米時

16、總造價最低，最低總造價為38 880元.1.,108x 16.0 x 16(2)由限制條件知i 162-“00）滿足x=3 k：（k為常數(shù)）.如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當年的產(chǎn)量只能是1m+1萬件.已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入 16萬元.由于市場行情較好，廠家生產(chǎn)的產(chǎn)品均能銷售出去.廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.（1）將2010年該產(chǎn)品的利潤y萬元（利潤=銷售金額一生產(chǎn)成本一技術(shù)改革費用）表示為技術(shù)改革費用 m萬元的函數(shù)；（2）該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？解：（1）由題意可知，當 m