高三一輪復(fù)習(xí)--函數(shù)的性質(zhì)(周期性和對稱性)復(fù)習(xí)練習(xí)

1、 2函數(shù)周期性和對稱性(知識點，練習(xí)題)一定義 ：若 T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使 f(x T) f(x) 恒成立則 f(x) 叫做周期函數(shù)， T 叫做這個函數(shù)的一個周期。二重要結(jié)論1、f x f x a ，則 y f x 是以 T a 為周期的周期函數(shù)；2、若函數(shù) y=f(x) 滿足 f(x+a)=-f(x) (a0),則 f(x) 為周期函數(shù)且 2a 是它的一個周期。3、若函數(shù) f x a f x a ，則 f x 是以 T 2a 為周期的周期函數(shù)14、y=f(x) 滿足 f(x+a) = (a0),則 f(x)為周期函數(shù)且 2a 是它的一個周期。fx15、若函數(shù) y=f(x)滿

2、足 f(x+a) =(a0),則 f(x)為周期函數(shù)且 2a 是它的一個周期。fx6、f (x a) 1 f(x)，則 f x 是以 T 2a為周期的周期函數(shù) .1 f (x)7、 f (x a) 1 f(x) ，則 f x 是以T 4a為周期的周期函數(shù) .1 f (x)8、 若函數(shù) y=f(x) 的圖像關(guān)于直線 x=a,x=b(ba) 都對稱 ,則 f(x)為周期函數(shù)且 2( b-a)是它的一個周期。9、函數(shù) y f(x) x R 的圖象關(guān)于兩點 A a,y0 、 B b,y0 a b 都對稱，則函數(shù) f(x) 是以2 b a 為周期的周期函數(shù)；10、函數(shù) y f(x) x R 的圖象關(guān)于

3、A a, y0 和直線 x b a b 都對稱，則函數(shù) f (x) 是以4 b a 為周期的周期函數(shù)；11、若偶函數(shù) y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a 對稱，則 f(x)為周期函數(shù)且 2 a 是它的一個周期。12、若奇函數(shù) y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a 對稱，則 f(x)為周期函數(shù)且 4 a 是它的一個周期。13、若函數(shù) y=f(x) 滿足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a0),則 f(x) 為周期函數(shù) ,6a 是它的一個周期。14、若奇函數(shù) y=f(x)滿足 f(x+T)=f(x) (xR，T0),則 f(T )=0.2三 函數(shù)的軸對稱：ab定理 1：如果函數(shù) y f x

4、滿足 f a x f b x ，則函數(shù) y f x 的圖象關(guān)于直線 x 對稱. 推論 1：如果函數(shù)yfx滿足faxf ax，則函數(shù) yfx的圖象關(guān)于直線 x a 對稱 .推論 2：如果函數(shù)yfx滿足fxfx ，則函數(shù) y f x的圖象關(guān)于直線 x 0(y 軸)對稱四 函數(shù)的點對稱：定理 2：如果函數(shù)yfx滿足faxf ax2b ，則函數(shù)yfx 的圖象關(guān)于點 a,b 對稱 .推論 3：如果函數(shù)yfx滿足faxf ax0，則函數(shù)yfx 的圖象關(guān)于點 a,0 對稱 .推論 4：如果函數(shù) y f x 滿足 f x f x 0，則函數(shù) y f x 的圖象關(guān)于原點 0,0 對稱. 特別地，推論 4 就是奇

5、函數(shù)的定義和性質(zhì) . 它是上述定理 2 的簡化 .五 函數(shù)周期性的性質(zhì) ：定理 3：若函數(shù) f x 在 R上滿足 f (a x) f a x ，且 f (b x) f b x (其中 a b )，則函數(shù)y f x 以 2 a b 為周期 .定理 4：若函數(shù) f x 在 R 上滿足 f (a x) f a x ，且 f(b x) f b x (其中 a b )，則函數(shù) y f x 以 2 a b 為周期 .定理 5：若函數(shù) f x 在 R上滿足 f(a x) f a x ，且 f (b x) f b x (其中 a b)，則函數(shù) y f x 以 4 a b 為周期 .以上幾類情形具有一定的迷惑性

6、 ,但讀者若能區(qū)分是考查單一函數(shù)還是兩個函數(shù) , 同時分析條件特征必能撥開迷霧 , 馬到成功 . 下面以例題來分析 .例 1已知定義為 R 的函數(shù) f x 滿足 f x f x 4 ，且函數(shù) f x 在區(qū)間 2, 上單調(diào)遞 增. 如果 x1 2 x2，且 x1 x2 4 ，則 f x1 f x2 的值( ).A恒小于 0 B 恒大于 0 C 可能為 0 D 可正可負 .分析： f x f x 4 形似周期函數(shù) f x f x 4 ，但事實上不是， 不過我們可以取特殊值代 入，通過適當(dāng)描點作出它的圖象來了解其性質(zhì) . 或者，先用 x 2代替 x ，使 f x f x 4 變形 為 f 2 x f

7、 x 2 . 它的特征就是推論 3. 因此圖象關(guān)于點 2,0 對稱 . f x 在區(qū)間 2, 上單 調(diào)遞增，在區(qū)間 ,2 上也單調(diào)遞增 . 我們可以把該函數(shù)想象成是奇函數(shù)向右平移了兩個單位.(如圖)2 x2 4 x1 ，且函數(shù)在 2, 上單調(diào)遞增，所以 3,4上是增函數(shù)f x 2f 4x1 ，又由 fx fx 4 ，有 f (4x1 )f x1 4f x 1 44 f x1，f x1 f x2 f x1f 4 x1f x1 f x1 0 . 選 A.當(dāng)然，如果已經(jīng)作出大致圖象后，用特殊值代人也可猜想出答案為 A.練 1：在 R上定義的函數(shù) f (x)是偶函數(shù)，且 f (x) f(2 x).若

8、f(x)在區(qū)間 1,2上是減函數(shù)，則 f(x) ( )在區(qū)間 2, 1上是增函數(shù)，在區(qū)間 3,4 上是減函數(shù)上是減函數(shù)，在區(qū)間在區(qū)間 2, 1上是增函數(shù)，在區(qū)間 3,4 上是減函數(shù)在區(qū)間 2, 1 上是減函數(shù)，在區(qū)間T 是它的一個正周期 . 若將方程 f(x)在閉區(qū)間T,T 上的根的個數(shù)記為 n ，則 n 可能為(A.0B.1C.3D.5分析：f (T) f ( T) 0， f( T2)f(T) f( 20，則 n 可能為 5 ？在區(qū)間 2, 13,4 上是增函數(shù) 分析：由 f(x) f (2 x)可知 f(x)圖象關(guān)于 x 1對稱，即 推論 1的應(yīng)用 .又因為 f (x)為偶函數(shù)圖象關(guān)于 x

9、 0對稱，可得 到 f ( x)為周期函數(shù)且最小正周期為 2，結(jié)合 f ( x)在區(qū)間 1, 2上 是減函數(shù)，可得如右 f (x) 草圖 . 故選 B練2.定義在 R上的函數(shù) f ( x)既是奇函數(shù)， 又是周期函數(shù)，例 2已知函數(shù) y f x 的圖象關(guān)于直線 x 2和 x 4 都對稱，且當(dāng) 0 x 1 時， f x x .2 對稱，即 f 2 x同樣，滿足 f 4 x，現(xiàn)由上述的定理x 是以 4 為周期的函數(shù) .f 19.5f 4 4 3.5f 3.5f40.50.5 ，同時還知 f x是偶函數(shù)，所以0.5f 0.5 0.5.例 3 ff 398 xf 2158x f 3214 x，則 ff

10、999 中最多有()個不同的值 .A.165B.177C.183D.199分析：由已知 f x398f 2158 xf 3214x f x 1056f x 1760 f x 704352 .又有 f x f 398 x2158 x f 3214x 1056f 2158 1056 xf 1102 x f 1102 x1056f 46 x ，于是 f(x)有周期 352，于是 f 0 , f 1 ,L , f 999 能在f 0 , f 1 ,L351中找到 .又 f (x) 的圖像關(guān)于直線 x 23 對稱，故這些值可以在23 , f 24 ,L, f 351中找到 . 又f(x) 的圖像關(guān)于直線

11、 x 199 對稱，故這些值可以在f 23 , f 24 ,L , f 199中找到 . 共有 177 個 .選 B.1x練 3 ：已知 f x ， f1 x f f x1 3x 1則 f2004 2 ( ) .1x分析：由 f x，可令 x=f( x)知 f1 x1 3x 1f(x) 為迭代周期函數(shù)，故 f3n x f x ， f2004即將 x=-2 帶進原函數(shù)中， f2xf f1x ，fn 1 xf fn x ，x1x1，f2xfx，f3x f x .3x123x 1xfx，f20042f217練 4：函數(shù) f(x)在 R上有定義，且滿足 f (x)是偶函數(shù)，且 f 0 2005 ， g

12、 xf x 1 是奇函數(shù)，則 f 2005 的值為 .求 f 19.5 的值.分析：由推論 1 可知， y f x 的圖象關(guān)于直線1，x1f x 1 ， 令 y x 1 ， 則y2，即有 f xx20 ，令 an f x ，則an an 2 0 ，其中 a02005，a1 0 ， an20052， f 2005a200520052i200520050 . 或有 f，得 f 2005f 20032001f 1999 L1 0.練習(xí)： 1、判斷函數(shù)解：由題f ( x ) =|x的奇偶性|xx2 0(x 1)(x21) 02x0且x函數(shù)的定義域為1 , 0 )故 f ( x ) (x 是奇2 )函數(shù)

13、2又f(x)1 ( x)21 x2x六、抽象函數(shù)奇偶性的判定與證明例 4.已知函數(shù) f(x) 對一切 x, yR，都有 f (x y)f(x) f (y)，1)求證： f (x) 是奇函數(shù)；( 2)若f ( 3) a ，用a 表示 f (12)解：(1)顯然 f(x) 的定義域是 R ，它關(guān)于原點對稱在 f (x y) f (x) f(y)中，令 yx，得 f (0) f (x) f( x) ，令 x y 0，得 f (0) f(0) f (0) ， f(0) 0， f (x) f( x) 0，即 f ( x)f(x)， f(x) 是奇函數(shù)2)由 f ( 3) a， f (x y)f (x)

14、f (y)及 f (x) 是奇函數(shù)，得 f (12) 2f (6) 4f (3) 4f ( 3) 4a七、利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式或求值) 時， f (x) x(1 3 x) ，練習(xí)： 已知 f (x) 是R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x (0,則 f (x)的解析式為 f (x)x(1 3 x), x 0 x(1 3 x),x 0 11x例 7 已知函數(shù) f(x) x log2，求1x1 1 1 1f ( 2005) + f( 2004) + f (2004) + f (2005)的值解：由1x10 得函數(shù)的定義域是 ( 1,1) x又f(x)1f(x) log2 11x 1 xxx log2 11

15、 xxlog 21 0f(x)f (x) 成立，函數(shù)是奇函數(shù)1)+ f(20105)=01) 2004f(20051 f( 1 )+ f (2005f ( 1 ) =0 2004 1) + f ( 1 ) =0 2004 2005f( 2004) + f( 1為奇函數(shù)，則 解析f(x)= , f ( x)= 又 f(x)為奇函數(shù),f (x)= f ( x).2(a 1)x a x (a 1)x a a=1.練習(xí)：已知 f(x) ax2 bx 3a b是 偶函數(shù)，定義域為 a 1,2a ，則 a 1，b=0 3解：a12a1 a3， b 0 ？3、設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意 xR，都有 f (x 3

16、)1，且當(dāng) xf (x)的值為 (D)2211A.B.C.D.7755解：f(x3)1f (x 6)f(x3) 31f (x)f (x 3)f (x)是以 T6為周期的周期函數(shù)f(113.5)f(18 65.5) f (5.5)f(60.5)f( 0.5)1113, 2 時，f(x)f(3 0.5) f( 2.5) 5例13、已知 f (x) 是周期為 4的偶函數(shù)，當(dāng) xf (x) 2x, 則 f (113.5)2,3 時， f (x) x ，求 f (6.5), f( 1.5)， f (5.5)解： f ( x) f(x)， f (x 4) f(x) f (6.5) f (4 2.5)f (

17、2.5) 2.5f ( 1.5) f ( 1.5 4) f (2.5) 2.5f (5.5) f(5.5 4 f (1.5) f( 1.5) f ( 1.5 4) f(2.5) 2.5例 14 、是定義在 R 上的以3 為周期的奇函數(shù)，且,則方程 f（x）=0 在區(qū)間（ 0， 6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是 DA 2B3C4D 5解析：依題可知 f（ x）=f（x+3）.f（2）=f（ 5）=0. 又 f（ x）是定義在 R 上的奇函數(shù)，f（ x）=f（x） .f（ 2）=f（ 2） =0. f（ 2）=f（1）=f（4）=0. 又奇函數(shù)有 f（0）=0， f（ 3） = f（ 6） =0.在（ 0

18、，b）內(nèi) f（x）=0 解的個數(shù)最小值為 5.練習(xí)： 1、已知定義域為 R 的函數(shù) f(x) 在(8,+ )上為減函數(shù) ,且函數(shù) y=f(x+8) 為偶函數(shù) ,則 DA.f(6) f(7) B.f(6) f(9) C.f(7) f(9) D.f(7) f(10) 解析： y= f( x+8)為偶函數(shù)， y=f(x)圖象關(guān)于 x=8 對稱 .又y=f(x)在(8，+)上為減函數(shù)， y=f(x)在(， 8)上為增函數(shù) . f(7)= f(9) ， f(9) f(10). f(7) f(10).2、(2006 山東)已知定義在 R上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x+2)-f(x)，則 f(6)的值為 B(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析： f(x+2 )=-f (x).f(6)=f(4+2)=-f(4)=f (2)=-f (2). 又-f(x)為 R 上的奇函數(shù)， f(2)=0 f(6)=0.是 定 義 在 R 上 的 偶 函 數(shù) ， 在上是減函數(shù)，則使得的 x 的取值范圍是 （ D ）CD （ 2， 2）解析： f（2）=0 且 f（ x）為偶函數(shù)， f（ 2）=0.又 f（ x）在（， 0遞減， f（ x）在