《降次解一元二次方程》課件

1、降次一元二次方程的解法 工人師傅為了修屋頂，把一梯子擱在墻上,梯子與屋檐的接觸處到底端的長AB=5米,墻高AC=4米,問梯子底端點離墻的距離是多少?走進生活4設BC=x,根據(jù)勾股定理，得x2+42=52.化簡，得x2-9=0, (x-3) (x+3) =0,解得x1=3,x2=-3 (不合題意，舍去）另解：x2=9, x1= =3, X2=- =-3 (不合題意，舍去） 一般地,對于形如x2=d(d0)的方程,根據(jù)平方根的定義,可解得 這種解一元二次方程的方法叫做開平方法.概念對于一元二次方程x2=d，如果d0，那么就可以用開平方法求它的根。當d0時,方程有兩個不相等的根：當d=0時,方程有兩

2、個相等的根：例1：用開平方法解方程 9x2=4解：兩邊同除以9，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例2：用開平方法解方程 3x2=-4解：兩邊同除以3，得 因為任何一個實數(shù)的平方根不可能是負數(shù)，所以原方程沒有實數(shù)根。一般來說，解形如ax2+c=0(其中a0)的一元二次方程，其步驟是：（1）通過移項、兩邊同除以a，把原方程變形為（2）根據(jù)平方根的意義，可知例3：用開平方法解方程 -7x2+21=0解：移項，得兩邊同除以-7，得利用開平方法，得所以，原方程的根是練一練(1)方程x2=0.25的根是；(2)方程2x2=18的根是；(3)方程(x+1)2=1的根是.x1=0.5, x2=-0.5x1

3、=3, x2=-3x1=0, x2=-2例4：怎樣解方程 (x+1)2=16 ?解：利用開平方法，得可得所以，原方程的根是上面這種解法中，實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程。用開平方法解下列方程:(1)3x227=0;(2)(x1)2=4(3)(2x3)2=7你能用開平方法解下列方程嗎? x210 x16=0合作探究(1)x28x =(x4)2(2)x23x =(x )2(3)x212x =(x )2填空42 ( )2626這種方程怎樣解？變形為變形為x210 x+25=9x210 x+16=0的形式（為非負常數(shù)） 把一元二次方程的左邊配成一個完全平方式,右邊為一個非負

4、常數(shù),然后用開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫做配方法.概念用配方法解一元二次方程的步驟:移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù) 一半的平方;開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;求解:解一元一次方程;定解:寫出原方程的解.例題1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0解：移項，得兩邊同時加上“一次項 系數(shù)一半的平方”，得利用開平方法，得所以，原方程的根是例2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0解：移項并且兩邊同除以2，得兩邊同時加上“一次項 系數(shù)一半的平方”，得利用開平方法，得所以，原方程的根是1.方程x2+6x-5=0的左邊配成完全平方后所得方程為（

5、）（A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14 （C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不對 2.用配方法解下列方程，配方有錯的是（ ）（A）x2-2x-99=0 化為(x-1)2=100 （B） 2x2-3x-2=0 化為 (x- 3/4 )2=25/16 （C）x2+8x+9=0 化為 (x+4)2=25 （D） 3x2-4x=2 化為(x-2/3)2=10/9AC3.若實數(shù)x、y滿足(x+y+2)(x+y-1)=0，則x+y的值為（ ）（A）1 （B）2 （C）2或1 （D）2或1 4.對于任意的實數(shù)x，代數(shù)式x25x10的值是一個（ ）（A）非負數(shù) （B）正數(shù) （C）整數(shù)

6、（D）不能確定的數(shù) DB做一做用配方法解下列方程:(1)x26x=1(2)x2=65x(3) x24x3=0注意:解第(2)題時要先移項,變形成x2+5x=6的形式; 如果方程的二次項系數(shù)為負,則先把二次項系數(shù)化為正.用配方法解一般形式的一元二次方程 把方程兩邊都除以 解:移項，得配方，得即當時即一元二次方程的求根公式特別提醒(a0, b2-4ac0)例1.用公式法解方程（3）2x2-7x=0（2）x2+2x+2=0（1）3x2+5x-1=0（4）4x+1=-4x（1）3x2+5x-1=0解：a=3，b=5，c=-1，b-4ac=5-43（-1）=370X=1=2=（2）x2+2x+2=0b-

7、4ac=2-412=-40=2=01=（4）4x+1=-4x解：移項，得4x+4x+1=0a=4，b=4，c=1，b-4ac=4-441=0X=-=-X1=X2猜一猜：對于一般式ax+bx+c=0 （a0）的根與b-4ac的符號有會么關系？故對于方程ax+bx+c=0 （a0）有下列關系：因為ax+bx+c=0 （a0）的求根公式是 (1)當b -4ac0時，方程有兩個不相等的根(2)當b-4ac=0時，方程有兩個相等的根x = x = (3)當b - 4ac0時，方程沒有實數(shù)根.鞏固練習（1）x+3x-4=0（2） x- x=1四、探索發(fā)現(xiàn)X1=X2=1、從兩根的代數(shù)式結(jié)構(gòu)上有什么特點？2、

8、根據(jù)這種結(jié)構(gòu)可以進行什么運算？你發(fā)現(xiàn)了什么？1、 m取什么值時，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數(shù)解五、智力挑戰(zhàn)2、關于x的一元二次方程x-mx-5=0。 當m 滿足什么條件時，方程的兩根為互為相反數(shù)？X1=X2=一元二次方程的解法因式分解主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法: a2b2=(a+b) (ab) a22ab+b2=(ab)2請選擇： 若AB=0則（ ）（A）A=0； （B）B=0；（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0D解方程 4x2=9解：移項，得利用平方差公式分解因式，得可得所以，原方程的根是像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式

9、分解法。它的基本步驟是：(1)若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；(2)將方程的左邊分解因式；(3)根據(jù)若AB=0,則A=0或B=0,將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程。練一練填空：（1）方程x2+x=0的根是 ；（2）x225=0的根是 。 X1=0, x2=-1X1=5, x2=-5例1 解下列一元二次方程：（1）（x5) (3x2)=10; 解: 化簡方程，得 3x217x=0.將方程的左邊分解因式，得 x(3x17)=0,x=0 ,或3x17=0解得 x1=0, x2=例1 解下列一元二次方程：(2) (3x4)2=(4x3)2.解:移項，得 （3x-4)2-(4x-

10、3)2=0.將方程的左邊分解因式，得(3x-4)+(4x-3)(3x-4)-(4x-3)=0, 即 (7x-7) (-x-1)=0.7x-7=0,或 -x-1=0.x1=1, x2=-1能用因式分解法解一元二次方程遇到類似例2這樣的，移項后能直接因式分解就直接因式分解，否則移項后先化成一般式再因式分解.小結(jié)做一做用因式分解法解下列方程：(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2(5)例2 解方程x2=22x2 解 移項，得 x2 22x+2=0, 即 x2 2 2x+(2)2=0. (x 2)2=0, x1=x2=21.解方程 x223x=-32.若一個數(shù)的平方等于這個數(shù)本身,你能求出