人教版數(shù)學(xué)選擇性必修三7.4.1二項(xiàng)分布

1、7.4.1二項(xiàng)分布教材分新本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊，第七章隨機(jī)變量及其分布列，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布前面學(xué)生已經(jīng)掌握了有關(guān)概率的基礎(chǔ)知識等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率和相互獨(dú)立事件概率的求法、也學(xué)習(xí)了分布列的有關(guān)內(nèi)容。二項(xiàng)分布是一種應(yīng)用廣泛的概率模型，是對前面所學(xué)知識的綜合應(yīng)用。節(jié)課是從實(shí)際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實(shí)際的過程。敎學(xué)目標(biāo)與核心雷養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)理解伯努利試驗(yàn)以及n重伯努利試驗(yàn)的概念,掌握隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的有關(guān)計(jì)算；能夠解決隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用問題，會求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的均值和方差.1

2、數(shù)學(xué)抽象：n重伯努利試驗(yàn)的概念2邏輯推理：二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的均值和方差3數(shù)學(xué)運(yùn)算：二項(xiàng)分布的有關(guān)計(jì)算4數(shù)學(xué)建模：模型化思想重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：n重伯努利實(shí)驗(yàn)，二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征；難點(diǎn)：在實(shí)際問題中抽象出模型的特征，識別二項(xiàng)分布.課前準(zhǔn)備多媒體敎學(xué)過趕教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入的n重伯努利試驗(yàn)的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。一、問題導(dǎo)學(xué)問題1伯努利試驗(yàn)在實(shí)際問題中，有許多隨機(jī)試驗(yàn)與擲硬幣試驗(yàn)具有相同的特征，它們只包含兩個(gè)可能結(jié)果.例如，檢驗(yàn)一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格，飛碟射擊時(shí)中靶或脫靶，醫(yī)

3、學(xué)檢驗(yàn)結(jié)果為陽性或陰性等.我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)(Bernoullitrials).我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)。顯然，n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征：同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；(概率相同)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.做一做:下面3個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)？如果是，那么其中的伯努利試驗(yàn)是什么?對于每個(gè)試驗(yàn)，定義“成功”的事件為A,那么A的概率是多大?重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)是多少？拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次.某飛碟運(yùn)動員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.批產(chǎn)品的次品率為5%,有放回地隨機(jī)抽取20件.隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試

4、驗(yàn)伯努利試驗(yàn)P(A)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)1是拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣0.5102是某飛碟運(yùn)動員進(jìn)行射擊0.833是從一批產(chǎn)品中隨機(jī)0.920抽取一件5二、探究新知探究1:伯努利試驗(yàn)和n重伯努利試驗(yàn)有什么不同？伯努利試驗(yàn)是一個(gè)“有兩個(gè)結(jié)果的試驗(yàn)”，只能關(guān)注某個(gè)事件發(fā)生或不發(fā)生；n重伯努利試驗(yàn)是對一個(gè)“有兩個(gè)結(jié)果的試驗(yàn)”重復(fù)進(jìn)行了n次，所以關(guān)注點(diǎn)是這n次重復(fù)試驗(yàn)中“發(fā)生”的次數(shù)X.進(jìn)一步地，因?yàn)閄是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，所以我們實(shí)際關(guān)心的是它的概率分布列.問題2：某飛碟運(yùn)動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續(xù)3次射擊，中靶次數(shù)X的概率分布列是怎樣的？用A表示“第i次射擊中靶”(i=l,2，3)，用如下圖的樹狀

5、圖表示試驗(yàn)的可能結(jié)果:i試驗(yàn)結(jié)果X的值TOC o 1-5 h zA1A2A33A2瓦32A,A2A32A1A2A31AiA2A32A1A2A31A1A2A3AiAAs問題由分步乘法計(jì)數(shù)原理，3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)共有23=8種可能結(jié)果，它們兩兩互斥，每個(gè)結(jié)果都是3個(gè)相互獨(dú)立事件的積，由概率的加法公式和乘法公式得P(X=0)=玖坷碼碼)=0.23,P(X=1)=P(123)+P(123)+P(A1A2A3)=3X0.8X0.22,P(X=2)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=3XO.82X0.2,P(X=3)=PG4/243)=0.83.為了簡化表示，每次射擊用1表示中靶，

6、用0表示脫靶，那么3次射擊恰好2次中靶的所有可能結(jié)果可表示為011,110,101,這三個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率都相等，均為0.82x0.2，并且與哪兩次中靶無關(guān).因此,3次射擊恰好2次中靶的概率為CfX0.82x0.2同理可求中靶0次,1次,3次的概率.于是，中靶次數(shù)X的分布列為：P(X=k)=Ckx0.8kx0.23k，北=0,1,2，3探究2：如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有哪些？寫出中靶次數(shù)X的分布列.表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有：A1A2A3後，A1A2A3A4,A!A2施役，坷禺鳥役碼碼碼，禺施役,共6個(gè)。通過問題分析,讓學(xué)生掌握二項(xiàng)分布的概念及其特點(diǎn)。發(fā)展學(xué)

7、生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。中靶次數(shù)X的分布列為：P(X=k)=CX0.8kx0.24k，k=0,1，2，3,4二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0vpnr-1Ckpkqn-nkCnpnq0n事件;i發(fā)生的概率事件M發(fā)牛的概率X=kI)-CP，所以5局3勝制對甲有利實(shí)際上，比賽局?jǐn)?shù)越多，對實(shí)力較強(qiáng)者越有利.探究3：假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，那么X的均值和方差是什么？(1)當(dāng)n=1時(shí)，X服從兩點(diǎn)分布，分布列為P(X=0)=1p,P(X=1)=p.均值和方差分別為E(X)=p;D(X)=p(1P).(2)當(dāng)n=2時(shí)，X的分布

8、列為P(X=0)=(1p)2,P(X=1)=2p(1p),P(X=2)=p2.均值和方差分別為E(X)=0 x(1p)2+1x2p(1p)+2xp2=2p.D(X)=02X(1p)2+12X2p(1p)+22Xp2一(2p)2=2p(1p).一般地，如果XB(n,p)，那么E(X)=np;D(X)=np(1-p)證明：.P(X=k)=Ckpkqn-knkk-1(kC=nC)nn-1kkn-kk-1k-1n-kkP(X=k)=kCpq=npCpqnn-100n11n-122n-2kkn-k.E(X)=0 xCpq+1xCpq+2xCpq+.+kxCpq+.+nnnnnn0nxCpqn00n-11

9、1n-2k-1k-1(n-1)-(k-1)n-1n-=np(Cpq+Cpq+.+Cpq+.+Cpn-1n-1n-1n-110n-1q)=np(p+q)=np例4.一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每道題選擇正確得4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分，某學(xué)生選對任一題的概率均為0.6，求此學(xué)生在這一次測驗(yàn)中的成績的數(shù)學(xué)期望和方差.解析：設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中選對答案的題目的個(gè)數(shù)為g,所得的分?jǐn)?shù)為n，由題意知，n=4g，且gB(25,0.6)，則E(g)=25x0.6=15,D(g)=25x0.6x(l0.6)=6.故玖n)=E(4g)=4

10、E(g)=60，D(n)=D(4g)=42xD(g)=96.所以該學(xué)生在這一次測驗(yàn)中的成績的數(shù)學(xué)期望與方差分別是60和96.三、達(dá)標(biāo)檢測1某射擊選手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8,這名選手在10次射擊中，恰有8次擊中目標(biāo)的概率為（）A.C8X0.88X0.22B.0.88X0.2210C.CfoX0.28X0.82D.0.28X0.82解析：設(shè)X為擊中目標(biāo)的次數(shù)，則XB（10，0.8），這名選手在10次射擊中，恰有8次擊中目標(biāo)的概率為P（X=8）=C8oX0.88X（l0.8）2=C8oX0.88X0.22.故選A.答案：A2已知X是一個(gè)隨機(jī)變量，若XB（6,j，則P（X=2）等于（）通過練習(xí)

11、鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。814b.243解析：由題意知n=6,p2632211,121,111、3X3X2十3X3X2十3X3X2.1_2，P29，49，D.24310434C-142433丄_27232(1-33_8_27，P(=0)=Ci_3p(g=i)=qXtXl1P(=2)=C23)所以g的分布列為P(g=3)=qg0123P丄24_8_279927(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，AB=CUD,C,D互斥.,AB=CUD,X所以P(AB)P(C)+P(D)81故P(

12、X2)C6X243故選d.答案：D3已知XB(n,p),E(X)8,D(X)1.6，則n解析：因?yàn)殡S機(jī)變量XB(n，p),所以玖X)np8,D(X)np(1p)1.6，解得p0.8,n10.4甲、乙兩隊(duì)參加世博會知識競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)者得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為|，乙隊(duì)中每人答對的概率分別為3,2,2，且各人答對正確與否相互之間沒有影響.用d表示甲隊(duì)的總得分.求隨機(jī)變量d的分布列.用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P(AB).解析：(1)由已知，甲隊(duì)中3人回答問題相當(dāng)于3次獨(dú)立重

13、復(fù)試驗(yàn),所以gB(3,D.四、小結(jié)1二項(xiàng)分布的定義：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(Ovpvl),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=CkxpkX(1-p)n-k，k=0,1,.,n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布(binomialdistribution),記作XB(n,p).確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟：明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率P；確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n,并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性；設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則XB(n，P)般地，如果XB(n,p)，那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).五、課時(shí)練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。教學(xué)反思課后通過對教學(xué)過程的反思與研究,才能不斷完善教學(xué)設(shè)計(jì)