1、3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題1關(guān)于x，y的不等式(組)稱為對(duì)變量x，y的約束條件，如果約束條件都是關(guān)于x，y的一次不等式，則稱約束條件為_(kāi)約束條件2把要求最大(小)值的函數(shù)zf(x，y)稱為_(kāi)函數(shù)自學(xué)導(dǎo)引線性 目標(biāo) 3在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，稱為_(kāi)規(guī)劃問(wèn)題滿足線性約束條件的解(x，y)叫做_解，由所有可行解組成的集合叫做_域，其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解線性 可行 可行 線性目標(biāo)函數(shù)z2x3y最大值的幾何意義是什么？自主探究預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)【答案】B【解析】只需畫(huà)出線性規(guī)劃區(qū)域，如下圖可知z4xy在A(2,3)處取得最大值11.【答案】A【解析】可行
2、域無(wú)上界 3在如圖所示的區(qū)域內(nèi)，zxy的最小值為_(kāi)【答案】0【解析】當(dāng)直線xyz0經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，z最小，最小值為0.4在如圖所示的區(qū)域內(nèi)，zxy的最大值為_(kāi)【答案】2【解析】因?yàn)閦為直線zxy的縱截距，所以要使z最大，只要縱截距最大就可以，當(dāng)直線過(guò)(0,2)點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，最大值為2.解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一般方法解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一般方法是圖解法，其步驟如下：(1)確定線性約束條件，注意把題中的條件準(zhǔn)確翻譯為不等式組；(2)確定線性目標(biāo)函數(shù)；(3)畫(huà)出可行域，注意作圖準(zhǔn)確；(4)利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；要點(diǎn)闡釋課堂講練互動(dòng) (5)實(shí)際問(wèn)題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)調(diào)整檢驗(yàn)確定的最優(yōu)解(調(diào)
3、整時(shí)，注意抓住“整數(shù)解”這一關(guān)鍵點(diǎn))說(shuō)明：求線性目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最值問(wèn)題的求解步驟是：作圖畫(huà)出約束條件(不等式組)所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線l.平移將直線l平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置求值解有關(guān)的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值特別提醒：尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法平移找解法：先打網(wǎng)格、描整點(diǎn)、平移直線l，最先經(jīng)過(guò)或最后經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)便是最優(yōu)解，這種方法應(yīng)充分利用非整數(shù)最優(yōu)解的信息，結(jié)合精確的作圖才行當(dāng)可行域是有限區(qū)域且整點(diǎn)個(gè)數(shù)又較少時(shí)，可逐個(gè)將整點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求值，經(jīng)比較求最優(yōu)解調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不
4、定方程知識(shí)調(diào)整最優(yōu)解，最后篩選出整點(diǎn)最優(yōu)解由于作圖有誤差，有時(shí)由圖形不一定能準(zhǔn)確而迅速地找到最優(yōu)解，此時(shí)將可能的數(shù)逐一檢驗(yàn)即可思路點(diǎn)撥：先作出可行域，再平移線性目標(biāo)函數(shù)找最小值典例剖析解：畫(huà)出約束條件表示的點(diǎn)(x，y)的可行域，如圖所示的陰影部分(包括邊界直線)【答案】B【解析】如圖所示，作出可行域，作直線l0：xy0，平移l0，當(dāng)l0過(guò)點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z有最小值2，無(wú)最大值思路點(diǎn)撥：先作出可行域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求其最值解：畫(huà)出滿足條件的可行域(1)令tx2y2.則對(duì)t的每個(gè)值，x2y2t表示一簇同心圓(圓心為原點(diǎn)O)，且對(duì)同一圓上的點(diǎn)，x2y2的值都相等由下圖可知：當(dāng)(x，y)在
5、可行域內(nèi)取值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)圓過(guò)C點(diǎn)時(shí)u最大，過(guò)(0,0)時(shí)u最小又C(3,8)，umax73，umin0.方法點(diǎn)評(píng)：(1)對(duì)形如z(xa)2(yb)2型的目標(biāo)函數(shù)均可化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)間的距離平方的最值問(wèn)題題型三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例3】 某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確保可能的資金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？思路點(diǎn)撥：先從實(shí)際問(wèn)題中確定約束條件和目標(biāo)函數(shù)，再作出可行域求目標(biāo)函數(shù)的
6、最值上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分(含邊界)即可行域答：投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目、6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大方法點(diǎn)評(píng)：充分利用已知條件，找出不等關(guān)系，畫(huà)出適合條件的平面區(qū)域，然后在該平面區(qū)域內(nèi)找出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)實(shí)際問(wèn)題要注意實(shí)際意義對(duì)變量的限制必要時(shí)可用表格的形式列出限制條件3某工廠制造甲、乙兩種產(chǎn)品，已知制造甲產(chǎn)品1 kg要用煤9噸，電力4 kW，勞力(按工作日計(jì)算)3個(gè)；制造乙產(chǎn)品1 kg要用煤4噸，電力5 kW，勞力10個(gè)又知制成甲產(chǎn)品1 kg可獲利7萬(wàn)元，制成乙產(chǎn)品1 kg可獲利12萬(wàn)元，現(xiàn)在此工廠只有煤360噸，電力2
7、00 kW，勞力300個(gè)，在這種條件下應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少千克，才能獲得最大經(jīng)濟(jì)效益？作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域(如下圖)作直線l：7x12y0，把直線l向右上方平移至l1位置時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，此時(shí)z7x12y取最大值答：應(yīng)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品20千克，乙種產(chǎn)品24千克，才能獲得最大經(jīng)濟(jì)效益錯(cuò)因分析：顯然整點(diǎn)B(2,1)滿足約束條件且此時(shí)S14，故上述解法不正確對(duì)于整點(diǎn)解問(wèn)題，其最優(yōu)解不一定是離邊界點(diǎn)最近的整點(diǎn)而要先對(duì)邊界點(diǎn)作目標(biāo)函數(shù)tAxBy的圖象，則最優(yōu)解是在可行域內(nèi)離直線tAxBy最近的整點(diǎn)正解：與錯(cuò)解中第一段解題過(guò)程相同因?yàn)閤，y為整數(shù)，所以當(dāng)直線5x4yt平行移動(dòng)時(shí)，從點(diǎn)A起第一個(gè)通過(guò)的可行域的整點(diǎn)是B(2,1)，此時(shí)Smax14.1常見(jiàn)的幾種目標(biāo)函數(shù)的最值的求法： 利用截距的幾何意義；利用斜率的幾何意義；利用距離的幾何意義往往是根據(jù)題中給出的不等式，求出(x，y)的可行域，利用(x，y)的條件約束，數(shù)形結(jié)合求得目標(biāo)函數(shù)的最值課堂總結(jié)2線性規(guī)劃應(yīng)用題主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完
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