數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)及其教學(xué)說明（何乃文）

1、第 PAGE 15 頁(yè) 共 13頁(yè)第四屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師錄像課觀摩與評(píng)比數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例選送單位:甘肅省教科所參賽教師: 何乃文選手單位:甘肅省蘭州一中2008年9月10日數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)說明人民教育出版社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊(cè)(選修II)第二章第一節(jié)甘肅省蘭州一中 何乃文數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例是人教社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第三冊(cè)(選修II)第二章第一節(jié)的內(nèi)容，歸納法是人們認(rèn)識(shí)真理的常用方法，而數(shù)學(xué)歸納法是傳統(tǒng)內(nèi)容，是一種嚴(yán)格的證明方法，專門用來論證與自然數(shù)有關(guān)的命題，體現(xiàn)一種思想，這種思想方法是人類智慧的驕傲.本節(jié)共三課時(shí)，這是第一課時(shí), 主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)

2、歸納法理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用我主要針對(duì)第一課時(shí)的教學(xué)，談?wù)勎业睦斫馀c設(shè)計(jì)，敬請(qǐng)各位專家斧正.一、教材分析1.1數(shù)學(xué)本質(zhì)及在教材中的地位和作用 本課是數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課.前面學(xué)生已經(jīng)通過數(shù)列一章內(nèi)容和其它相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步了解和使用了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法.不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段, 幾乎可以說全部中學(xué)數(shù)學(xué)教材都貫穿了歸納法基本思想. 但是，由有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法.因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法數(shù)學(xué)歸納法. 數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題

3、的正確性的證明方法，它的本質(zhì)是將無窮的歸納過程轉(zhuǎn)為有限的演繹過程的一種思維方法. 數(shù)學(xué)歸納法安排在數(shù)列之后極限之前，是促進(jìn)學(xué)生從有限思維發(fā)展到無限思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié).它的操作步驟簡(jiǎn)單、目標(biāo)明確. 教學(xué)的最終目的應(yīng)該是數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用. 數(shù)學(xué)歸納法不僅在于它自身具有非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，更重要的，它是一種高明的數(shù)學(xué)思維，用數(shù)學(xué)歸納法去論證與自然數(shù)n有關(guān)的命題更具普遍性；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，不僅能證明有關(guān)問題，更重要的是可以開闊學(xué)生的眼界，還可以使他們受到論證思維的訓(xùn)練. .本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力、訓(xùn)練學(xué)生抽象的思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的好素材.1.2 教學(xué)診斷分析 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n

4、有關(guān)的命題雖說只有兩步，但是原理很抽象新教學(xué)理念告訴我們，不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的簡(jiǎn)單操練.對(duì)方法作簡(jiǎn)單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重為什么必須是兩步呢？于是作為教師就會(huì)被動(dòng)，可能反復(fù)舉例，說明二步缺一不可你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往會(huì)出現(xiàn)“短路”問題，應(yīng)該用時(shí)卻想不起來，等等為此，我在教學(xué)設(shè)計(jì)中，設(shè)法進(jìn)行強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，通過列舉一定的實(shí)例，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法完善結(jié)合起來把數(shù)學(xué)歸納法的原理與生活聯(lián)系，這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，

5、從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)在學(xué)生數(shù)學(xué)歸納法理解中恰當(dāng)?shù)娜谌霐?shù)學(xué)史的教學(xué)，也正面提升了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度與學(xué)習(xí)成就感. 應(yīng)此，根據(jù)本課的教學(xué)要求、內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平，不難確定本課教學(xué)重點(diǎn)為歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析,初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理;教學(xué)難點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解,初步明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟. 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個(gè)步驟缺一不可此外，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用將重點(diǎn)放在下一課時(shí)完成，這種設(shè)計(jì)不僅使學(xué)生能

6、夠充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)，更為課后的自修學(xué)習(xí)提供了很大的空間，便于發(fā)揮學(xué)生探究學(xué)習(xí)的主動(dòng)性二、學(xué)情分析2.1 學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)： 我所在的學(xué)校是省屬重點(diǎn)中學(xué)，所教的班級(jí)是重點(diǎn)班，學(xué)生基礎(chǔ)還不錯(cuò).在知識(shí)方面，對(duì)數(shù)列已經(jīng)熟悉，通過回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納，借助數(shù)學(xué)史料, 促使思辨，新知教學(xué)會(huì)有很好的基礎(chǔ)；在技能方面，高二學(xué)生，有較強(qiáng)的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強(qiáng)烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態(tài)度.2.2 教學(xué)目標(biāo)的擬定：鑒于這些特點(diǎn),并結(jié)合教學(xué)大綱的要求以及對(duì)教材的分析,我擬定如下的教學(xué)目標(biāo):知識(shí)與技能： 了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確，使學(xué)生深入認(rèn)識(shí)歸納

7、法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì); 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；初步會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題(如恒等式等) 培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想過程與方法: 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想; 通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力; 讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.情感、態(tài)度、價(jià)值觀: 通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法

8、原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神。 讓學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美的振憾力，從而使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神 學(xué)生通過置疑與探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新精神.三、教法與學(xué)法在教學(xué)方法上，我在這里運(yùn)用了教師引導(dǎo)下的師生互動(dòng)討論、共同探究的方法本課以問題為中心，以解決問題為主線展開，學(xué)生的思維也往往是從問題開始的，通過研讀教材，我把本節(jié)課按照思維次序編排了問題鏈，把本節(jié)課的探究?jī)?nèi)容置于問題之中，包括引入和深入，類比和啟發(fā)、鞏固與反思、盡力使學(xué)生投入到思維活動(dòng)中來，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)

9、的知識(shí)、方法予以解決，并獲得知識(shí)體系的更新與拓展而這種參與的深度、廣度、智能度取決于教師的現(xiàn)場(chǎng)調(diào)控和靈活把握，教師應(yīng)充分做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥 探究方法能使是學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，自然的建構(gòu)知識(shí)和方法體系.學(xué)生在探究問題過程中學(xué)習(xí)，在探究問題的過程中激發(fā)學(xué)生的好奇心和創(chuàng)新精神;在探究過程中學(xué)習(xí)科學(xué)研究的方法;在探究過程中形成堅(jiān)韌不拔的精神，使他們學(xué)會(huì)學(xué)習(xí). 四、過程及預(yù)期效果分析數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活實(shí)際，生活本身又是一個(gè)巨大的數(shù)學(xué)課堂，我在教學(xué)過程中注重把教材內(nèi)容與生活實(shí)踐結(jié)合起來，笑話，老的掉牙的腦筋急轉(zhuǎn)彎我都用上了，在談笑間并不離題；另外，我深知所數(shù)學(xué)歸納法作為中學(xué)教學(xué)的經(jīng)典

10、內(nèi)容，要給其找到生活的原型，多米諾骨牌游戲的類比功能自然是少不了的，雖然從設(shè)計(jì)到施教很難突破和創(chuàng)新，但我認(rèn)為要做好對(duì)現(xiàn)有的素材更好的整合。要重過程，求突破，看效果. 學(xué)生是認(rèn)知的主體，設(shè)計(jì)教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，盡可能地讓學(xué)生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過程，考慮學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，結(jié)合可接受性和可操作性原則，把教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)融入到教學(xué)過程之中，通過實(shí)例自然導(dǎo)出數(shù)學(xué)歸納法的形成,發(fā)展及應(yīng)用過程，幫助學(xué)生主動(dòng)建構(gòu).附：教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)圖創(chuàng)設(shè)情景啟動(dòng)思維師生互動(dòng)探究問題借助史料引申思辨實(shí)例再現(xiàn)激發(fā)興趣總結(jié)歸納課外延伸反饋練習(xí)鞏固提高討論交流深化認(rèn)識(shí)類比聯(lián)想形成概念課題：數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例授課教師：甘

11、肅省蘭州一中 何乃文聯(lián)系方式：電話：09318821653 手機(jī)-mail： HYPERLINK mailto: 【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能：1. 了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確，使學(xué)生深入認(rèn)識(shí)歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì);2. 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；初步會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題(如恒等式等)3. 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納法原理的構(gòu)建過程, 體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想過程與方法: 1.努力創(chuàng)設(shè)和諧融洽的課堂情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的

12、興趣和課堂效率讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的構(gòu)建過程, 體會(huì)源于生活的數(shù)學(xué)思想;2. 通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，逐步體驗(yàn)觀察、歸納、猜想、論證的過程，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思維方式和嚴(yán)格規(guī)范的論證意識(shí)，并初步掌握論證方法; 3. 讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力.情感、態(tài)度、價(jià)值觀: 1. 通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神；2. 讓學(xué)生通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理和本質(zhì)的理解，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美的震撼力，從而使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識(shí)和科學(xué)精神；3. 學(xué)生通過置疑與探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的

13、人格與敢于創(chuàng)新的精神；4. 持續(xù)增進(jìn)師生互信，生生互助，共創(chuàng)教學(xué)相長(zhǎng)的教與學(xué)的氛圍和習(xí)慣.【教學(xué)重點(diǎn)】歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析，初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解,初步明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟.【教學(xué)方法】師生互動(dòng)討論、共同探究的方法【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，啟動(dòng)思維情境一、財(cái)主兒子學(xué)寫字的笑話、“小明弟兄三個(gè)，大哥叫大毛”的腦筋急轉(zhuǎn)彎等；教師總結(jié)：財(cái)主的兒子很傻很天真，但他懂一樣思想方法，是什么？ 以上都是由特殊情況歸納出一般情況的方法歸納法，這就是今天的課題. 人們通常也會(huì)用歸納法思考問題，

14、小孩也會(huì)由此總結(jié)出什么年齡人該叫爺爺，什么年齡人叫阿姨，叫哥哥或姐姐. 情境二：華羅庚的“摸球?qū)嶒?yàn)”1、這里有一袋球共12個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請(qǐng)問怎么判斷？啟發(fā)回答:方法一：把它全部倒出來看一看特點(diǎn)：方法是正確的，但操作上缺乏順序性 方法二：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)比如結(jié)果為：第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球都是白球特點(diǎn)：有順序，有過程2、如果想象袋子有足夠大容量，球也無限多？要判斷這一袋球是白球，還是黑球，上述方法可行嗎？情境三: 回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程： 設(shè)計(jì)意圖：首先設(shè)計(jì)情境一,分析情境，自然引出課題歸納法，談笑間進(jìn)入正題.再

15、通過情境二的交流激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性情境三點(diǎn)出兩種歸納法的不同特點(diǎn).通過梳理我們熟悉的一些問題，很自然為本節(jié)課主題與重點(diǎn)引出打下伏筆.二、師生互動(dòng)，探究問題承上啟下：以上問題的思考和解決，用的都是歸納法.什么是歸納法？ 歸納法特點(diǎn)是什么？上述歸納法有什么不同呢？學(xué)生回答以上問題，得出結(jié)論：1. 歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法. 特點(diǎn)：由特殊一般；2. 完全歸納法: 把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法；3. 不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法. 在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法有著廣泛的應(yīng)用例如氣象工作者、水文工作

16、者，地震工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，地震預(yù)測(cè)用的就是歸納法4. 引導(dǎo)學(xué)生舉例： 不完全歸納法實(shí)例：如歐拉發(fā)現(xiàn)立體圖形的歐拉公式:(V為頂點(diǎn)數(shù),E為棱數(shù),F為面數(shù)) 完全歸納法實(shí)例： 如證明圓周角定理時(shí)，分圓心在圓周角內(nèi)部、外部及一邊上三種情況討論 設(shè)計(jì)意圖：從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，并在這里我安排學(xué)生舉完全歸納法的實(shí)例和不完全歸納法實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納法，并引導(dǎo)學(xué)生積極投入到探尋論證方法過程的氛圍中. 三 、借助史料, 引申思辨問題1： 已知（nN），(1) 分別求；(2) 由你會(huì)有怎樣的一個(gè)猜想

17、？這個(gè)猜想正確嗎？ 問題2： 費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)他曾認(rèn)為，當(dāng)nN時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了4 294 967 2976 700 417641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)沒想到當(dāng)n5這一結(jié)論便不成立教師總結(jié): 有人說，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無法回答的但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)數(shù)上！問題3 ：, 當(dāng)nN時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？驗(yàn)證： f（0）41，f（1

18、）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151，f（39）1 601但是f（40）1 681，是合數(shù)承上啟下：這里算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還是不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說世界級(jí)大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對(duì)策來 , 尋求數(shù)學(xué)證明.教師設(shè)問：,不完全歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)？如何彌補(bǔ)不足？怎么給出證明呢？設(shè)計(jì)意圖：在生活引例與已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法的普遍性

19、同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大師都有可能如此那么，不完全歸納法價(jià)值體現(xiàn)在哪里？不足之處如何去彌補(bǔ)呢？ 結(jié)論正確性怎樣給出證明？學(xué)生一定會(huì)帶著許多問題進(jìn)入下一階段探究.四、實(shí)例再現(xiàn)，激發(fā)興趣1、演示多米諾骨牌游戲視頻.師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件： 第一塊要倒下; 當(dāng)前面一塊倒下時(shí)，后面一塊必須倒下; 當(dāng)滿足這兩個(gè)條件后，多米諾骨牌全部都倒下.再舉例：再舉幾則生活事例：推倒自行車, 早操排隊(duì)對(duì)齊等2、學(xué)生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法（建立數(shù)學(xué)模型）.設(shè)計(jì)意圖：布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)

20、的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)另外，這個(gè)環(huán)節(jié)里，我在培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、類比概括能力方面實(shí)踐的不夠好應(yīng)該讓學(xué)生在類比多米諾骨牌游戲的基礎(chǔ)上說出數(shù)學(xué)歸納法原理，教師給予肯定和補(bǔ)充即可。事實(shí)上，情境的設(shè)計(jì)都是為學(xué)生更好的知識(shí)遷移而服務(wù)的。概括能力是思維能力的核心魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，突破口就是學(xué)生的概括過程五、類比聯(lián)想，形成概念1、 類比多米諾骨牌過程, 證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式(師生共同完成,教師強(qiáng)調(diào)步驟及注意點(diǎn))(1) 當(dāng)n1時(shí)等式成立

21、； (2) 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立, 即, 則=, 即nk1時(shí)等式也成立 于是, 我們可以下結(jié)論： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)任何n都成立2數(shù)學(xué)歸納法原理(學(xué)生表述,教師補(bǔ)正)：（1）（遞推奠基）：n取第一個(gè)值(例如 )時(shí)命題成立；（2）（遞推歸納）：假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）利用它證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.（歸納證明）由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法3、數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：無窮的歸納有限的演繹（遞推關(guān)系）設(shè)計(jì)意圖：至此，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理, 揭示遞推過程.教師強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法特點(diǎn). 數(shù)學(xué)歸納法實(shí)

22、際上是一種以數(shù)學(xué)歸納法原理為依據(jù)的演繹推理，它將一個(gè)無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)有關(guān)問題的有力工具，一種具普遍性的方法.六、討論交流，深化認(rèn)識(shí)例1、 數(shù)列中, 1, (n), 通項(xiàng)公式是什么？你是怎么得到的？探討一：觀察數(shù)列特點(diǎn)，變形解出.探討二：先計(jì)算，的值，再推測(cè)通項(xiàng)的公式, 最后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題使學(xué)生探究嘗試，一方面體驗(yàn)“觀察歸納猜想證明”完整過程，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能使他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和能力不同的方法也體現(xiàn)解決問題的靈活性.七、反饋練習(xí), 鞏固提高（請(qǐng)兩位同學(xué)板演以下兩題，教師指正）1、用

23、數(shù)學(xué)歸納法證明：135（2n1）2、首項(xiàng)是，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是3、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 時(shí)，下列推證是否正確，說出理由？證明：假設(shè)時(shí)，等式成立就是 成立那么 =這就是說當(dāng)時(shí)等式成立，所以時(shí)等式成立.4、判斷下列推證是否正確，若是不對(duì)，如何改正.求證：證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊右邊，等式成立.設(shè)n=k時(shí)，有 那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有 ，即n=k+1時(shí)，命題成立根據(jù)可知，對(duì)nN，等式成立.設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)題1，2的證明難度不大，套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，通過這兩個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況這樣既可以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，保證不盲目拔高，同時(shí)不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)，對(duì)例題是一

24、個(gè)很好的對(duì)比與補(bǔ)充通過3，4的易錯(cuò)辨析，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論，“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”.八、總結(jié)歸納，加深理解1、本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；2、歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，枚舉法僅局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；3、數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；4、本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯

25、證思想九、布置作業(yè), 課外延伸十、書面作業(yè)：見教材P56 課后思考題：1. 是否存在常數(shù)a、b、c使得等式：對(duì)一切自然數(shù)n都成立并證明你的結(jié)論.2.是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1對(duì)一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論（a=3,b=11,c=10）設(shè)計(jì)意圖: 思考題則起著承上啟下的作用, 它既是“觀察歸納猜想證明”的完整思維探究過程的再體驗(yàn)，也是對(duì)下節(jié)課內(nèi)容的鋪墊與伏筆十一、課后反思本節(jié)課的實(shí)際教學(xué)時(shí)間是40分鐘，主要的教學(xué)環(huán)節(jié)和過程比較完整。 1、情景設(shè)計(jì)的意圖在于引出課題，激發(fā)學(xué)生興趣，為主題打下伏筆。這里承上啟下處理的比較到位，但稍顯冗長(zhǎng)，節(jié)奏較慢，細(xì)節(jié)處理上還需改進(jìn)。2、問題的提出，數(shù)

26、學(xué)史料的引用，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)不完全歸納法作為方法的必要性、不足及其的彌補(bǔ)方法。問題層層遞進(jìn)，為學(xué)生營(yíng)造探究的課堂氛圍。特點(diǎn)是師生互動(dòng)，學(xué)生能積極參與。3、通過類比多米諾骨牌游戲演示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)，學(xué)生觀察歸納類比抽象，得到數(shù)學(xué)歸納法原理，此環(huán)節(jié)為本節(jié)核心內(nèi)容，教學(xué)目的基本達(dá)到，不足是時(shí)間稍緊，探究的結(jié)果如果由學(xué)生說出，效果會(huì)更好。4、有講有練，落實(shí)三基，培養(yǎng)能力，有形式有內(nèi)容，有檢測(cè)評(píng)價(jià)，有易錯(cuò)辨析，既掌握了通性通法，也鼓勵(lì)學(xué)生靈活解題。5、有頭有尾，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，內(nèi)容延伸。另外，本人教學(xué)中有很多不足，如：緊張，教學(xué)語言尚需提煉等等?？傊?，教學(xué)過程體現(xiàn)以情境為起點(diǎn)，問題為中心，層層推進(jìn)，這種安排強(qiáng)調(diào)過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成為學(xué)生對(duì)書本知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。自評(píng)1： 各位專家、老師們大家好，我講的這節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的第一課時(shí). 我所在的學(xué)校是省屬重點(diǎn)中學(xué)，所教的班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)還不錯(cuò)，已經(jīng)學(xué)習(xí)過數(shù)列內(nèi)容，知識(shí)準(zhǔn)備較充分，但是數(shù)學(xué)歸納法原理很抽象，從原理理解到方法應(yīng)用需要一個(gè)過程，因此，我在教學(xué)設(shè)計(jì)中，比較重視數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)。教學(xué)設(shè)計(jì)包括九個(gè)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，啟動(dòng)思維師