普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理科試卷及答案

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項：.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考 證號填寫在答題卡上.回答第I卷時，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用 TOC o 1-5 h z 橡皮搽干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，寫在本試卷上無效.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上，答在本試題上無效.考試結(jié)束，將本試題和答題卡一并交回.第I卷一.選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的一項。.已知集合 A=x| x2 2x 3 0 , B=x | 2w x

2、 O,則a的取值范圍為A. (2, +8)B. (-00, -2) C. (1, +0)D.(-巴-1).如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為最長的棱的長度為1 ,粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個條棱中,A.62 B. 4.2 C.6 D.4第II卷本卷包括必考題和選考題兩個部分。第(13)題-第(21)題為必考題，每個考生都必須作答。第(22)題-第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二.填空題：本大題共四小題，每小題5分。. (x y)(x y)8的展開式中x2y2的系數(shù)為.(用數(shù)字填寫答案).甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A, B, C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但

3、沒去過B城市；乙說：我沒去過 C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個城市.由此可判斷乙去過的城市為.uuur 1 uuur uuur uuu uuur.已知A, B, C是圓。上的三點，若 AO -(AB AC),則AB與AC的夾角為一.2.已知a,b,c分別為 ABC的三個內(nèi)角 A,B,C的對邊，a =2,且(2 b)(sin A sin B) (c b)sin C ,則 ABC面積的最大值為三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。.(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a=1,a0。，aanSn1,其中 為常數(shù).(I )證明：an 2 an;(n)是否存在 ，使得 an為

4、等差數(shù)列？并說明理由.(本小題滿分12分)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：0.03342 .O力 OO(I )求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)X和樣本方差s2 (同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；本文來自有途高考網(wǎng) HYPERLINK (n)由頻率分布直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布 N( , 2),其中 近似為樣本平均數(shù)X,2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布，求 P(187.8 Z 212.2)；(ii )某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記 X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(187

5、.8,212.2 )的產(chǎn)品件數(shù)，利用(i)的結(jié)果，求 EX .若ZN( , 2),則P(附：田50 12.2.Z )=0.6826, P( 2 Z 2 )=0.9544.(本小題滿分12分)如圖三棱錐 ABC AB1C1中，側(cè)面BBiCiC為菱形，AB BQ .(I )證明：AC AB1 ；(n )若 AC AB1 , CBB1 60, ab=Bg求二面角A AB1cl的余弦值. TOC o 1-5 h z .(本小題滿分12分)已知點 A (0,-2), 22橢圓E：二與 1(a b 0)的離心率為 a2 b2叵,F是橢圓的焦點，直線 AF的斜率為也,。為坐標(biāo)原點 HYPERLINK l b

6、ookmark40 o Current Document 23(1)求的方程；有圖高考網(wǎng)(n)設(shè)過點 A的直線l與E相交于P,Q兩點，當(dāng) OPQ的面積最大時，求l的方程.x be一一.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x0 ae In x ,曲線y f(x)在點(1, f(1)處的切線為xy e(x 1) 2. ( 1)求2巾；(n)證明：f(x) 1.請考生從第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。.(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖，四邊形 ABCD。的內(nèi)接四

7、邊形，AB的延長線與 DC的延長線交于點E,且CB=CE.(I )證明：/ D=Z E;(n)設(shè) AD不是O。的直徑，AD的中點為M,且MB=MC證明： ADE為等邊三角形.(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C :y 2 2tt (t為參數(shù)).(i )寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程;(n)過曲線C上任一點P作與l夾角為30o的直線，交l于點A,求| PA|的最大值與最小值.(本小題滿分10分)選修45:不等式選講若 a 0,b 0,且1 1 Tab. a b(i)求a3 b3的最小值；(n)是否存在a,b,使得2a 3b 6?并說明理由2014年普通高等學(xué)校招生全國

8、統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題答案(B卷)一選擇題1. A2.D7 .D8. C3.C4,A9. B 10.B5.D6.C11.C12.B15.90度 16. 一二填空題13.-2014.A三解答題17.解：(I)由題*, 函U=bSn-1 、+ i? + d=bSn-1兩式，目減的氏+1:；I %)=b7+i由于底國,所以氏十對三j(，)由題設(shè)，由(I解得b=4爪；一%CEZI,由此可得位3是首項為1,公差為4的等差數(shù)列，.1二4”是首項為3,公差為4的等差數(shù)列，磯=4n-1所以也三至習(xí)冊=2因此存在b=4,使得數(shù)列為等差數(shù)列(18)解(I)收取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)a和樣本方差b分別是a=20

9、0b=150(也)由上訴可此，ZN(200, 165),從而P (187.8Z212.2) =P(200-12.20,即 k23 時，x12=8k 2*4k 34.4k2 1從而 |PQ|= k2 1 | x1x21=4、k2 1*，4k2 34k2 1又點O到直線PQ的距離d=-r= o所以 OPQ的面積.k 11 ，Svopq2dPQ|4%4k2 34 k2 1.9分設(shè)“k2 3 t ,則 t 0,Sopq4t 4t2 4 . 4t - t因為t+ 4 4.當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k= 近 時等號成立，且滿足 0. t2所以，opa勺面積最大時，i的方程為.12 分(21)解:(I)函數(shù) f(X

10、)的定義域為 0, f (x) =aexin x - ex 2 ex1x X由題意可得f (1) =2 , f (1) =e故 a=1, b=2 5 分(II )由(I)知，f (x) =exlnx -ex1,從而 f (x) 1 等價于 xlnx設(shè)函數(shù) g (x) =xlnx，則 g (x)=1+lnx所以當(dāng) x (0, 1)時，g (x) 0. eexexe故g (x)在(0, 1)單調(diào)遞減，在(1, 十 ee值為g (1) =- 18分)單調(diào)遞增，從而g (x)在(0,)的最小設(shè)函數(shù)h (x) = xe2,則 h (x) exe (1 x).所以當(dāng)x (0,1)時,h (x) 0;當(dāng) x

11、 (1,)時，h (x) 0 時，g (x) h (x),即 f (X) 1 .12分(22)解：(I)由題設(shè)知A,B,C,D四點共圓，所以 D= CBE由已知得 CBE= E,故 D= E5(II )設(shè)BC的中點為N,連結(jié)MN WJ由MB=MC MNL BG 故O在直線MN。又AD不是e。的直徑，M為AD的中點，故 OMLAD,即MNLAD所以 AD/BC,故 A= CBE又 CBE= E,故 A= E。由(I)知， D= E,所以 AD助等邊三角形。(23)解：(I)曲線C的參數(shù)方程為x 2cos , y 3sin ,(為參數(shù))直線l的普通方程為2x+y-6=0(II )曲線C上任意一點P (2cos , 3sin )到l的距離為當(dāng) 4cos3sin則PA當(dāng)sin3 2 Ainsin 3056 ,其中為銳角，且tan當(dāng)sin=-1時