材料力學(xué)第8篇組合變形

1、第8章 組合變形。8.1 組合變形的概念前面幾章我們研究了等直桿的拉伸（壓縮）、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲這四種基本變形時(shí)的強(qiáng)度和剛度問題。但在工程實(shí)際中，還會(huì)遇到許多上述兩種或兩種以上的基本變形所組合成的變形，這種變形稱為組合變形。例如，如圖8-1所示鉆床的立柱在P作用下將發(fā)生拉伸和彎曲變形；如圖8-2所示的帶輪軸，力及軸承反力使其彎曲，而力偶矩和使軸扭轉(zhuǎn)，帶輪軸的變形是彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形。圖8-1 圖8-2構(gòu)件組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算，在構(gòu)件變形較小且服從胡克定律的條件下，可運(yùn)用疊加原理，首先將作用在構(gòu)件上的外力進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?，然后通過平移或分解，使每一組外力只產(chǎn)生一種基本變形，分別計(jì)算出各種基本變形

2、引起的應(yīng)力，最后將它們疊加起來，便得到原有載荷作用下截面上的應(yīng)力，并進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。下面介紹工程中最常見的彎拉（壓）和彎扭兩種組合變形的強(qiáng)度計(jì)算。8.2 彎曲與拉伸（壓縮）組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算如圖8-3(a)為一左端固定而右端自由的矩形截面懸臂梁，在其自由端作用一力P，力P的位于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)且與梁的軸線成一夾角（見），力P沿x、y方向可分解為兩個(gè)分力、（見圖8-3（b）, 使梁產(chǎn)生軸拉伸變形，使梁產(chǎn)生彎曲變形，因此梁在力P的作用下的變形為拉伸與彎曲組合變形。下面對其進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。圖8-3如圖8-3（b）所示，將力沿桿的軸線和軸線的垂直方向分解為兩個(gè)分力。在軸向力的單獨(dú)作用下，桿件發(fā)生拉伸變形

3、，桿上各截面的軸力都相等，,與軸力N相對應(yīng)的拉伸正應(yīng)力呈均勻分布，如圖8-3（f）即 在橫向力的單獨(dú)作用下，桿發(fā)生彎曲變形。桿上固定端截面具有最大彎矩，與彎矩相對應(yīng)的彎曲正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布，在上、下邊緣處絕對值最大，如圖8-3（g）即 由于上述兩種應(yīng)力都是正應(yīng)力，故可按代數(shù)和進(jìn)行疊加。當(dāng)時(shí)，其應(yīng)力分布如圖8-3（e）所示。危險(xiǎn)截面的上、下邊緣的正應(yīng)力分別為 由上可見，危險(xiǎn)截面上邊緣各點(diǎn)的拉應(yīng)力最大，是危險(xiǎn)點(diǎn)。對于塑性材料，因許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相同。故可建立強(qiáng)度條件 （8-1）對于脆性材料，因其許拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不同，故應(yīng)分別建立強(qiáng)度條件 （8-2） （8-3）其中，、-危險(xiǎn)截面上

4、的最大拉、壓應(yīng)力。上述討論雖然是針對圖8-3所示的情況，但其原理同樣適用于其他支座和載荷情況下的彎拉（壓）組合變形。例8-1 如圖8-4（a）所示的夾具，在夾緊零件時(shí)，夾具所受到的外力為P=2KN。已知外力作用線與夾具的豎桿軸線平行，其距離e=60mm，豎桿橫截面的尺寸b=10mm，h=22mm，其材料的許用應(yīng)力MPa。試校核此夾具的豎桿強(qiáng)度。解 對于夾具的豎桿，P是一對偏心力。P對豎桿的作用相當(dāng)于圖8-4（b）中所示的一對軸向力P和一對在豎桿的xy平面內(nèi)的力偶，其矩M=Pe。顯然，豎桿將發(fā)生彎曲和拉伸的組合變形。其任一橫截面m-m上軸力和彎矩分別為N=P=2KNMz=M=Pe=20000.6

5、=120 Nm豎桿的危險(xiǎn)點(diǎn)是在橫截面內(nèi)側(cè)邊緣處。因?yàn)樵谠撎帉?yīng)于軸力和彎矩所產(chǎn)生的應(yīng)力都是拉應(yīng)力。此危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力為 MPa因?yàn)?MPaMPa所示豎桿的強(qiáng)度條件得到滿足。圖8-48.3 圓軸彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形強(qiáng)度計(jì)算在工程實(shí)際中會(huì)用到大量的軸，但只受到純扭轉(zhuǎn)而不發(fā)生彎曲的軸是很少見的。一般說來，軸除受扭轉(zhuǎn)外，還同時(shí)受到彎曲，即產(chǎn)生彎扭組合變形。如轉(zhuǎn)軸、曲柄軸等就是如此?，F(xiàn)以如圖8-8（a）所示的圓軸為例，說明彎扭組合變形的強(qiáng)度計(jì)算方法。圓軸左端A固定，自由端B受力F和力偶矩作用，力F與軸線垂直相交，使軸產(chǎn)生彎曲變形；力偶矩使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變，所以，圓軸AB產(chǎn)生彎扭組合變形。分別考慮力F和力偶的作用

6、，畫出彎矩圖和扭矩圖，分別如圖8-8（b）、(c)所示?？梢?，圓軸各截面的扭矩相同，但彎矩不同，其中固定端處彎矩最大，故固定端截面A為危險(xiǎn)截面，其上彎矩值和圖8-5扭矩值分別為在危險(xiǎn)截面上，對應(yīng)彎矩的彎曲正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布（見圖8-8（d），在鉛錘直徑的上、下邊緣點(diǎn)由最大彎曲正應(yīng)力，其值為對應(yīng)扭矩的扭轉(zhuǎn)力在截面上沿半徑線性分布（見圖8-8（d），在周邊各點(diǎn)有最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，其值為 由以上分析可知，在危險(xiǎn)截面鉛錘方向上、下邊緣a、b兩點(diǎn)上，和均為最大值，故a、b兩點(diǎn)都是危險(xiǎn)點(diǎn)，可選任意其中一點(diǎn)作為研究對象。但這種情形比彎拉組合作用時(shí)復(fù)雜的多，不能直接將和進(jìn)行疊加。這種問題的強(qiáng)度計(jì)算，必須

7、先找出材料在復(fù)雜應(yīng)力情況下的破壞原因。由于復(fù)雜應(yīng)力的試驗(yàn)難以達(dá)到，因此常以簡單拉伸（壓縮）實(shí)驗(yàn)時(shí)所得到的材料破壞特性來作為在復(fù)雜應(yīng)力情況時(shí)材料破壞原因的假設(shè)。這種假設(shè)成為強(qiáng)度理論。對于近代廣泛采用的塑性材料，第三、四強(qiáng)度理論比較符合。下面扼要地介紹第三強(qiáng)度理論。第三強(qiáng)度理論認(rèn)為，無論應(yīng)力情況如何復(fù)雜，只要最大剪應(yīng)力達(dá)到再簡單拉伸時(shí)的最大值，材料就發(fā)生破壞。所以，第三強(qiáng)度理論也稱為最大剪應(yīng)力理論。由第三強(qiáng)度理論可知，對于彎、扭組合變形問題，應(yīng)找出它的最大剪應(yīng)力。此最大剪應(yīng)力有分析可得 (8-4)按第三強(qiáng)度，強(qiáng)度條件為 式中許用剪應(yīng)力與許用正應(yīng)力之間的關(guān)系為，所以有 將上式代入公式（8-4），可得

8、 （8-5）為了方便起見，將上式左邊的部分成為第三強(qiáng)度的相當(dāng)應(yīng)力，并以來表示，所以上式變?yōu)橐驗(yàn)閳A軸扭轉(zhuǎn)的彎曲應(yīng)力，扭轉(zhuǎn)應(yīng)力，所以上式變?yōu)?(8-6)其中，、-第三、第四強(qiáng)度理論相當(dāng)應(yīng)力。、危險(xiǎn)截面的彎矩、扭矩和抗彎截面系數(shù)；-材料的許用應(yīng)力。按第四強(qiáng)度，強(qiáng)度條件為 （8-7）同理，按第四段強(qiáng)度理論分析所得強(qiáng)度計(jì)算公式為 （8-8）從上面的分析可知，圓軸彎扭組合變形強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，可直接將危險(xiǎn)截面上的、代入式（8-6）、（8-8）計(jì)算。但要特別注意，對非圓截面的彎扭組合變形不能用這兩式計(jì)算，而必須用式（8-5）、（8-7）計(jì)算。如果彎扭組合變形時(shí)，同時(shí)有鉛直面和水平面兩個(gè)方向的彎曲變形，則式（8-6

9、）、（8-8）中的表示這兩個(gè)方向的合成彎矩，即例8-3 轉(zhuǎn)軸AB由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，如圖8-6（a）所示。在軸的中點(diǎn)C處裝一帶輪。重力kN,直徑mm，皮帶緊邊拉力kN，松邊拉力kN。軸材料為鋼，許用應(yīng)力MPa。按第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)軸直徑。圖8-6解 1)外力分析。將作用在帶輪上的皮帶拉力和向軸線簡化，其結(jié)果如圖8-6（c）所示。軸AB受鉛垂力作用為 kN此力使軸在鉛垂面內(nèi)發(fā)生彎曲變形。附加力偶為 kNm此力偶矩與電動(dòng)機(jī)傳給軸的力偶相平衡（見圖8-6（b），使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，故軸AB產(chǎn)生彎扭組合變形。2)內(nèi)力分析。畫軸的彎矩圖和扭矩圖分別如圖8-6（d）、（e）所示，由內(nèi)力圖可以判斷截面C為危險(xiǎn)截面。

10、危險(xiǎn)截面上的彎矩和扭矩分別為 kNm kNm3)由第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)直徑。m3故 m取。例8-4 圖8-7（a）所示的傳動(dòng)軸軸載齒輪的輪齒上受到圓周力，徑向力，輪子的直徑D=100mm，距離a=300mm，軸的材料為45鋼。若軸的許用應(yīng)力MPa。試按第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)傳動(dòng)軸的直徑。解 1）外力分析。在軸上加一對平衡力P，如圖8-7（b）所示，簡化后得到一個(gè)力偶使軸受到扭轉(zhuǎn)；兩個(gè)相互垂直的力P和T使軸受到彎曲。為了方便起見，將使軸產(chǎn)生彎曲作用的力P和T合成，其合力為 圖8-72）內(nèi)力分析。繪出彎矩圖和扭矩圖，并確定在危險(xiǎn)截面上的晚上彎矩和扭矩。由彎矩圖和扭矩圖可知，扭矩圖如圖8-7（c）、

11、（d）可知，危險(xiǎn)截面在跨圖的中點(diǎn)處。該截面上的彎矩和扭矩則分別為 kNm Nm3)按第三強(qiáng)度理論，計(jì)算軸的直徑。由公式（8-6）可得因?yàn)?，所以得到軸的直徑為 軸的直徑應(yīng)不小于66mm。小 結(jié)本章主要介紹了組合變形的概念，彎曲與拉伸（壓縮）組合變形的強(qiáng)度計(jì)算及彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的強(qiáng)度計(jì)算。彎拉（壓）和彎扭組合變形的強(qiáng)度條件，強(qiáng)度條件 ）第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件 ）第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件 ）思考與練習(xí)8-1 簡單夾鉗如圖所示。設(shè)夾緊力P=3KN，試夾鉗內(nèi)的最大正應(yīng)力。8-2 如圖所示的鏈環(huán)，直徑d=50mm，拉力P=10 kN，試求鏈環(huán)的最大正應(yīng)力及其位置。如將鏈環(huán)的缺口焊好，則鏈環(huán)的正應(yīng)力將是原來

12、最大正應(yīng)力的幾分之幾？題8-1題8-28-3 懸臂吊車（見圖8-4（a）的橫梁AB為工字鋼，其材料的許用應(yīng)力MPa，吊車的最大起吊重量kN, 。選擇工字鋼的型號。8-4 梁AB的橫截面為正方形，其邊長mm，受力及長度尺寸如圖所示，若已知kN，材料的拉、壓許用力相等 ，且MPa。校核梁的強(qiáng)度。 題8-3圖 題8-4圖8-5 如圖所示的軸AB上裝有帶輪和齒輪。已知帶輪直徑，帶拉力kN， kN。齒輪節(jié)圓直徑 mm，壓力角。軸的材料為鋼，許用應(yīng)力MPa，直徑mm。按第三強(qiáng)度理論校核該軸的強(qiáng)度。8-6 如圖所示帶輪軸由電動(dòng)機(jī)通過聯(lián)軸器帶動(dòng)，已知電動(dòng)機(jī)的功率kW，轉(zhuǎn)速r/min，帶輪直徑mm，重量N，皮帶緊邊拉力與松邊拉力之比，軸AB直徑mm，材料為45鋼，MPa。試按第三強(qiáng)度理論校核該軸的強(qiáng)度。 題8-5圖題8-6圖8-7 銑刀軸如圖所示，已知銑刀的切削力kN，kN，銑刀軸材料的許用應(yīng)力MPa。按第四強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)銑刀軸的直徑。 8-8 如圖所示，軸AB由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)。在軸AB上裝一斜齒輪，作用于齒面上圓周力 kN，徑向力 kN，軸向力 N 軸的直徑，許用應(yīng)力 MPa。試校核