概率論與數(shù)理統(tǒng)計--理工類簡明版-2-課件2

1、離散型隨機變量設(shè)是一個隨機變量，如果它全部可能的取值只有有限個或可數(shù)無窮個，型隨機變量.設(shè)是隨機變量的所有可能取值，對每個取值是其樣本空間上的一個事件，為描述隨機變量還需要知道這些事件發(fā)生的可能性（概率）.定義設(shè)離散隨機變量的所有可能的取值為則稱為一個離散稱離散型隨機變量定義設(shè)離散隨機變量的所有可能的取值為稱為的概率分布或分布律，也稱概率函數(shù).常用表格形式來表示的概率分布：由概率的定義，必然滿足：(1)(2)完例1某籃球運動員投中籃圈的概率是 0.9,求他兩次獨立投籃投中次數(shù)的概率分布.解可取 0, 1, 2 為值,且于是,的概率分布可表示為完例2設(shè)隨機變量的概率分布為:試確定常數(shù)解依據(jù)概率分

2、布的性質(zhì)：欲使上述函數(shù)為概率分布應(yīng)有從中解得例2設(shè)隨機變量的概率分布為:試確定常數(shù)欲使上述函數(shù)為概率分布應(yīng)有從中解得注:這里用到了常見的冪級數(shù)展開式完解例3200 件產(chǎn)品中,有 196 件是正品,則服從參數(shù)為 0.98 的兩點分布.于是,4 件是次品,今從中隨機地抽取一件,若規(guī)定完關(guān)于分布律的說明若已知一個離散型隨機變量的概率分布則可以求得所生成的任何事件概率，一般地，若是一個區(qū)間，則例如，設(shè)的概率分布由例1給出：特別地，關(guān)于分布律的說明例如，設(shè)的概率分布由例1給出：則完退化分布定義若一個隨機變量以概率1取某一常數(shù)，則稱服從處的退化分布.注：在所有分布中，最簡單的分布是退化分布，其之所以稱為退

3、化分布，是因為其取值幾乎是確定的，即這樣的隨機變量退化成了一個確定的常數(shù).完即兩點分布定義若一個隨機變量只有兩個可能的取值，且其分布為則稱服從處參數(shù)為的兩點分布.特別地，若服從處參數(shù)為的兩點分布，即則稱服從參數(shù)為的分布.習(xí)慣上常兩點分布則稱服從參數(shù)為的分布.習(xí)慣上常記對于一個隨機試驗，若它的樣本空間只包含兩個元素，即則總能在上定義一個服從分布的隨機變量，來描述這個隨機試驗的結(jié)果.例如，拋擲硬幣兩點分布，來描述這個隨機試驗的結(jié)果.例如，拋擲硬幣試驗，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，某工廠的電力消耗是否超過負(fù)荷等.完個點上的均勻分布定義若一隨機變量共有個不同的取值，且取每一個值的可能性相同，即則稱服從個點

4、上的均勻分布.注：可將古典概型與均勻分布聯(lián)系起來. 在古典概型中，試驗共有個不同的可能結(jié)果，且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.設(shè)則個點上的均勻分布每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.設(shè)則若隨機變量是上的一一對應(yīng)函數(shù)，則就服從個點上的均勻分布.如，設(shè)表示投擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，其樣本空間令且則服從上的均勻分布.完二項分布在重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為用表示重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，則的可能取值為且對每個事件的k次”，根據(jù)伯努利型，有(1)即為“次試驗中事件恰好發(fā)生定義若一個隨機變量的概率分布由(1)式給出，則稱服從參數(shù)為的二項分布，二項分布定義若一個隨機變量的概率分布由(1)式給出，則稱服從

5、參數(shù)為的二項分布，記為易見，二項分布的圖形特點注：當(dāng)時，(1)式化為此時，隨機變量即服從分布.完二項分布的圖形特點在圖1和圖2中，分別給出了當(dāng)和時二項分布的圖形.從圖易看出：對于固定及當(dāng)增加時，概率先是隨之增加直至達(dá)到最大值，隨后二項分布的圖形特點當(dāng)為整數(shù)時，二項概率在和處達(dá)到最大值.注：為不超過的最大整數(shù).完單調(diào)減少.可以證明，一般的二項分布的圖形也具有這一性質(zhì)，二項概率在達(dá)到最大值；不為整數(shù)時，且當(dāng)先是隨之增加直至達(dá)到最大值，隨后例4已知 100 個產(chǎn)品中有 5 個次品,現(xiàn)從中有放回地取 3 次,每次任取 1 個,求在所取的 3 個中恰有2 個次品的概率.解因為這是有放回地取 3 次,因此

6、這 3 次試驗的條件完全相同且獨立,它是伯努利試驗,依題意,每次試驗取到次品的概率為 0.05.設(shè)為所取的 3 個中的次品數(shù),則于是,所求概率為:例4已知 100 個產(chǎn)品中有 5 個次品,現(xiàn)從中有放回地取 3 次,每次任取 1 個,求在所取的 3 個中恰有2 個次品的概率.解于是,所求概率為:注:若將本例中的 “有放回” 改為 “無放回”,各次試驗條件就不同了,那么已不是伯努利概型,此時,只能用古典概型求解.完例5某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為 0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.解將一次射擊看成是一次試驗.設(shè)擊中的次數(shù)為則的分布律為于是所求概率為例5某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射

7、擊的命中率為 0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.解將一次射擊看成是一次試驗.的分布律為于是所求概率為完例6設(shè)有 80 臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是 0.01,且一臺設(shè)備的故障能由一個人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由 4 人維護(hù),每人負(fù)責(zé) 20 臺;其二是由 3人共同維護(hù) 80 臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時解按第一種方法.以記“第 1 人維護(hù)的 20 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”,以表示修”,則知 80臺中發(fā)生故障不能及時維修的概率為不能及時維修的概率的大小.人維護(hù)的 20 臺中發(fā)生故障不能及時維“第解按第一種方法.以記“第 1 人

8、維護(hù)的 20 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”,以表示修”,則知 80臺中發(fā)生故障不能及時維修的概率為人維護(hù)的 20 臺中發(fā)生故障不能及時維“第而故有解即按第二種方法.以記 80 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù).此時故 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為結(jié)果表明,在后一種情況盡管任務(wù)重了維護(hù)約 27 臺),但工作效率不僅沒有降低,反而提高了.(每人平均完幾何分布在獨立重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的概率為設(shè)為直到發(fā)生為止所進(jìn)行的次數(shù)，顯然的可能取值是全體自然數(shù)，且由伯努利定理知其分布為(1)幾何數(shù)列定義若一隨機變量的概率分布由(1)給出，則稱服從參數(shù)為的幾何分布.幾何分布具有以下列無記憶性：(2)幾何分布

9、幾何分布具有以下列無記憶性：(2)事實上，而同理代入即證得(2)式.幾何分布代入即證得(2)式.注：所謂無記憶性，意指幾何分布對過去的次失敗的信息進(jìn)一步還可證明：一個取自然數(shù)值的隨機變量，若具有(2)式表達(dá)的無記憶性，則一定服從幾何分布，故無記憶性是幾何分布的一個特性.完在后面的計算中被遺忘了.例7某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊,直到命中為止,知他每發(fā)命中的概率是概率分布.解顯然,可能取的值是為計算設(shè)第發(fā)命中,則已求所需射擊發(fā)數(shù)的例7某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊,直到命中為止,知他每發(fā)命中的概率是概率分布.解設(shè)第發(fā)命中,則已求所需射擊發(fā)數(shù)的可見所求需射擊發(fā)數(shù)的概率分布為完超幾何分布引例一個袋子中裝有個球，其

10、中個白球，個黑球從中不放回地抽取個球，設(shè)表示取到白球的數(shù)目，則根據(jù)古典概型易算得的分布(1)這里規(guī)定：時，當(dāng)定義若一隨機變量的概率分布由(1)給出，則稱服從超幾何分布.超幾何分布定義若一隨機變量的概率分布由(1)給出，則稱服從超幾何分布.注：在上述引例中，若每次取球后是放回的，則該問題服從二項分布.在實際應(yīng)用，很大，而相對較小時，通常將不放回抽取近似當(dāng)作有放回抽取問題來處理，故可用二項分布來近似超幾何分布，即當(dāng)和均較大，且超幾何分布即更進(jìn)一步有：且則對任意給定的和有注：超幾何分布常用于對一大批產(chǎn)品進(jìn)行不放回抽樣檢測.時，當(dāng)完泊松分布定義若一個隨機變量的概率分布為則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為或

11、泊松分布的圖形特征如右圖所示.注：歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.泊松分布項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.注：歷史上，泊松分布是作為二泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一.實際問題中許多隨機現(xiàn)象服從或近似泊松分布.泊松分布產(chǎn)生的一般條件完泊松分布產(chǎn)生的一般條件在自然界和現(xiàn)實生活中，常遇到在隨機時刻出現(xiàn)的某種事件.把在隨機時刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列稱為隨機事件流. 若隨機事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件流為泊松事件流(泊松流).這里，平穩(wěn)性在任意時間區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生次的概率只依賴于區(qū)間長度而與區(qū)間端點無關(guān).無后效性在

12、不相重疊的時間段內(nèi)，事件的發(fā)生相互獨立.泊松分布產(chǎn)生的一般條件無后效性在不相重疊的時間段內(nèi)，事件的發(fā)生相互獨立.普通性如果時間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的概率可忽略不計.下列事件都可視為泊松流：某電話交換臺一定時間內(nèi)收到的用戶的呼叫數(shù)；到某機場降落的飛機數(shù)；某售票窗口接待的顧客數(shù)；一紡錠在某一時段內(nèi)發(fā)生斷頭的次數(shù)；泊松分布產(chǎn)生的一般條件到某機場降落的飛機數(shù)；某售票窗口接待的顧客數(shù)；一紡錠在某一時段內(nèi)發(fā)生斷頭的次數(shù)；對泊松流，在任意時間間隔內(nèi)，事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，稱為泊松流的強度.完例8某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)服從參數(shù)的泊松分布,求該城市一天內(nèi)發(fā)生 3 次或 3 次以上

13、火災(zāi)的概率.解由概率的性質(zhì),得完二項分布的泊松近似對二項分布當(dāng)試驗次數(shù)很大時，計算其概率很麻煩.例如，要計算故須尋求近似計算方法.這里先介紹二項分布的泊松近似，在本章第四節(jié)中還將介紹二項分布的的正態(tài)近似.泊松定理在重伯努利實驗中，事件在二項分布的泊松近似泊松定理在重伯努利實驗中，事件在每次試驗中發(fā)生的概率為若當(dāng)時，為常數(shù)),則有注：(i)：定理的條件意味著當(dāng)很大時，必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)很大，很小時有下列近似公式：二項分布的泊松近似很小時有下列近似公式：實際計算中，時近似效果變很好.(ii)把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件，此類事件如：地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等

14、，則由泊松定理知，重伯努利試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.完例9某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品 300 件,根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為 0.01,問現(xiàn)在這 300 件產(chǎn)品經(jīng)檢驗品數(shù)大于 5 的概率是多少?解把每件產(chǎn)品的檢驗看作一次伯努利試驗,它有兩個結(jié)果:正品,廢品.檢驗 300 件產(chǎn)品用表示檢驗出的廢品數(shù),則我們要計算有于是,得對廢就是作 300 次獨立的伯努利試驗.解我們要計算有于是,得對查泊松分布表,得完例10一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)的泊松分布來描述,為了以 95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該種商品多少件?解設(shè)該商品每月的銷售

15、數(shù)為已知服從參數(shù)的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)該種商品件,求滿足的最小的即可以用參數(shù)解設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為已知服從參數(shù)的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)該種商品件,求滿足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.完例11自 1875年至 1955年中的某 63年間,上海市夏季( 5-9月)共發(fā)生大暴雨 180次,試建立上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.解每年夏季共有天,每次暴雨發(fā)生以 1 天計算,則夏季每天發(fā)生暴雨的概率將暴雨發(fā)生看做稀有事件,利用泊松分布海市一個夏季暴雨發(fā)生次分布模型.來建立上的概率解將暴雨發(fā)生看做稀有事件,利用泊松分布來建立海市一個夏季暴雨發(fā)生次分布模型.上的概率設(shè)表示夏季發(fā)生暴雨

16、的次數(shù),由于故得上海市暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型為解故得上海市暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型為并將它與資料記載的實際年數(shù)作對照,這些值及的值均列入下表.由上述的概率分布次暴雨的理論年數(shù)計算 63 年中上海市夏季發(fā)生01234560.0553.540.16010.180.23114.6140.22414.1190.16210.2100.0945.940.0452.82理論年數(shù)實際年數(shù)理論年數(shù)實際年數(shù)78910110.0191.210.0070.4410.0020.1200.0010.050000由上表可見,按建立的概率分布模型計算的理論年數(shù)這表明的模型分布.與實際年數(shù)總的來看符合得較好,所建立能近似

17、描述上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率完內(nèi)容小結(jié)1.離散型隨機變量及其概率分布設(shè)離散型隨機變量的所有可能取值為稱為的概率分布或分布律,也稱概率函數(shù).常用表格形式來表示的概率分布:內(nèi)容小結(jié)2.常用離散型分布退化分布與兩點分布個點上均勻分布二項分布二項分布的泊松近似幾何分布超幾何分布泊松分布完退化分布定義若一個隨機變量以概率 1 取某一常數(shù),則稱服從處的退化分布.即兩點分布定義若一個隨機變量只有兩個可能的取值,其分布為則稱服從處且特別地,點分布,即參數(shù)為的兩的兩點分布.參數(shù)為若服從處兩點分布定義若一個隨機變量只有兩個可能的取值,其分布為則稱服從處且特別地,點分布,即參數(shù)為的兩的兩點分布.參數(shù)為若服從處則

18、稱服從參數(shù)為的分布.完個點上的均勻分布定義若一隨機變量共有個不同的取值,取每一個值的可能性相同,即則稱服從個點上的均勻分布.注:可將古典概型與均勻分布聯(lián)系起來.在古典概型中,試驗共有個不同的可能結(jié)果,且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.設(shè)則如果隨機變量是上的一一對應(yīng)函數(shù),服從均勻分布.且則就完二項分布在重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件的概率為用表示重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù),則的可能取值為且對每一根據(jù)伯努(1)事件即為定義若一個隨機變量的概率分布由 (1) 式給出,則稱服從參數(shù)為恰好發(fā)生的次”,有發(fā)生次試驗中事件“利型,記為二項分布的圖形特點:的二項分布,二項分布定義若一個隨機變量的概率分布由 (1

19、) 式給出,則稱服從參數(shù)為記為二項分布的圖形特點:的二項分布,完對于固定及當(dāng)增加時,概率先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項分布的泊松近似泊松定理在重伯努利實驗中,事件在每次試驗中發(fā)生的概率為若當(dāng)時,則有注(i):定理的條件意味著當(dāng)很大時,必定很因此,泊松定理表明,當(dāng)很大,很小時有為常數(shù)),小.下列近似公式：實際計算中,時近似效果變很好.二項分布的泊松近似注(i):定理的條件意味著當(dāng)很大時,必定很因此,泊松定理表明,當(dāng)很大,很小時有小.下列近似公式：實際計算中,時近似效果變很好.有事件,此類事件如:地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等,則由泊松定理知,重伯努利試驗中(ii)出現(xiàn)概率很

20、小的事件把在每次試驗中稱作稀稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.完幾何分布在獨立重復(fù)試驗中,事件發(fā)生的概率為設(shè)為直到發(fā)生為止所進(jìn)行的次數(shù),取值是全體自然數(shù),且由伯努利定理知其分布為(1)幾何數(shù)列定義若一隨機變量的概率分布由 (1) 給出,稱服從參數(shù)為的幾何分布.幾何分布具有以下列無記憶性：(2)顯然的可能則注:所謂無記憶性,失敗的信息在后面的計算中被遺忘了.意指幾何分布對過去的次幾何分布定義若一隨機變量的概率分布由 (1) 給出,稱服從參數(shù)為的幾何分布.幾何分布具有以下列無記憶性：(2)則注:所謂無記憶性,失敗的信息在后面的計算中被遺忘了.意指幾何分布對過去的次進(jìn)一步還可證明：一個取整數(shù)值的

21、隨機變量,具有 (2) 式表達(dá)的無記憶性,則一定服從幾何分布,故無記憶性是幾何分布的一個特性.完如果超幾何分布規(guī)定:時,當(dāng)定義若一隨機變量的概率分布為則稱服從超幾何分布.注:在實際應(yīng)用,而相對較小時,通常將不放回近似當(dāng)作放回問很大,當(dāng)和均較大,且題來處理,從而可用二項分布來近似超幾何分布,即超幾何分布注:在實際應(yīng)用,而相對較小時,通常將不放回近似當(dāng)作放回問很大,當(dāng)和均較大,且題來處理,從而可用二項分布來近似超幾何分布,即則對任意給定的和有時,且當(dāng)完且泊松分布定義若一個隨機變量的概率分布為則稱服從參數(shù)為的泊松分布,記為或泊松分布的圖形特征如右圖所示.注:歷史上,泊松分布是作為二項分布的近似,18

22、37年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.于泊松分布注:歷史上,泊松分布是作為二項分布的近似,1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.于泊松分布是概率論中最重要的幾個分布之一.服從或近似服從泊松分布,泊松分布產(chǎn)生的一般條件完稱作稀有事此類事件如:地震、火山爆發(fā)、特大洪水、外事故等,則由泊松定理知,重伯努利試驗中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.實際問題中許多隨機現(xiàn)象把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件件,意泊松分布產(chǎn)生的一般條件在自然界和現(xiàn)實生活中,常遇到在隨機時刻出現(xiàn)的某種事件.把在隨機時刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列稱為隨機事件流. 若隨機事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性,則稱該事件流為泊松事件流(泊松流).這里,平穩(wěn)性事件發(fā)生次的概率只依賴于區(qū)間長度而與區(qū)間端點無關(guān).無后效性事件的發(fā)生相互獨立.在任意時間區(qū)間內(nèi),在不相重疊的時間段內(nèi),泊松分布產(chǎn)生的一般條件無后效性事件的發(fā)生相互獨立.普通性如果時間區(qū)間充分小,事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的概率可