2概率計(jì)算及條件概率

1、3 概率的計(jì)算解：設(shè)所求事件為A.解：設(shè)A表示指定的3人排在一起。例1 從0到9這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)，問(wèn)大小在中間的號(hào)碼恰為5的概率是多少？例2 9個(gè)人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。例3 一批產(chǎn)品共有10個(gè)，其中有4個(gè)廢品，求：(1)這批產(chǎn)品的廢品率(2)任取3個(gè)恰有1個(gè)是廢品的概率(3)任取3個(gè)全非廢品的概率解：分別用A、A1、A0表示上述三個(gè)事件=0.4=0.5注：若是有放回地抽取，答案會(huì)不同，如=0.216例4 兩封信隨機(jī)地投向標(biāo)號(hào)為、的四個(gè)郵筒。求第二個(gè)郵筒恰好被投入1封信的概率以及前兩個(gè)郵筒中各有一封信的概率。解：設(shè)A表示第二個(gè)郵筒中投入一封信。B表示前兩個(gè)郵筒各有一封信。兩

2、封信共有42種可能的投法。A的不同投法有種B的不同投法有解：分別用A、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。有放回時(shí)，每人面對(duì)的簽數(shù)是相同的乙抽取時(shí)，可能與甲的抽取情況有關(guān)，但可將甲與乙的抽取同時(shí)考慮，只要乙抽到難簽即可例5 (抽簽的公正性)設(shè)有3個(gè)難簽，5個(gè)易簽。甲、乙、丙依次抽取，分別在有放回與不放回的情況下計(jì)算各人抽到難簽的概率。例6 設(shè)有5個(gè)人，每個(gè)人以同等機(jī)會(huì)被分配在7個(gè)房間中，求恰好有5個(gè)房間中各有一個(gè)人的概率。解：設(shè)A表示恰有5個(gè)房間中各有一個(gè)人。每人進(jìn)入各房間等可能基本事件總數(shù)為75個(gè)。(1)七個(gè)數(shù)字全不同的事件A1(2)不含1與0的事件A2(3)兩個(gè)偶數(shù)五個(gè)奇數(shù)的事件A3解：基本事件

3、總數(shù)為107=0.06048=0.20972=0.164例7 從0到9十個(gè)數(shù)字種任取一個(gè)，取后放回，再取。先后共取七個(gè)數(shù)字。求下述事件的概率。例8 兩人約定于早上8點(diǎn)至9點(diǎn)在校門(mén)口見(jiàn)面。要求先到者等20分鐘后離去。假定兩人到校門(mén)的時(shí)間相互獨(dú)立，而且在8至9點(diǎn)間是等可能的。問(wèn)兩人能見(jiàn)面的概率是多少？解：以x與y分別表示兩人在8點(diǎn)之后到達(dá)校門(mén)口的分鐘數(shù)。則0 x60,0y60兩人能見(jiàn)面，即|x-y|20即圖中的陰影部分能見(jiàn)面的概率為6020020604 概率的加法法則解：A、B分別表示一、二等品，A+B表示產(chǎn)品合格故 P(A+B)=P(A)+P(B)可以推廣為一般的加法法則：若A與B互斥，則 P(

4、A+B)=P(A)+P(B)可以得到一些重要的推廣。例1 10件產(chǎn)品中有6個(gè)一等品，3個(gè)二等品，1個(gè)廢品。規(guī)定一、二等品為合格品。求合格率與一、二等品之間的關(guān)系。(1)如果n個(gè)事件A1,A2,An兩兩互斥，則P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)(2)若A1,A2,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組，它們的概率和為P(A1)+P(A2)+P(An)=1特別地，對(duì)立事件的概率之和為1。P(A)+P()=1常用形式為P(A)=1-P()一般有 P(B-A)=P(B)-P(AB)這是因?yàn)?B=(B-A)+AB見(jiàn)右圖BA(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)稱(chēng)為廣義加法法則A+B=

5、A+(B-A)由于A與B-A互斥故P(A+B)=P(A)+P(B-A)再由(3)得證?？梢?jiàn)，只需P(AB)=0加法法則就成立。若是多個(gè)事件之和，公式會(huì)變復(fù)雜。這是因?yàn)橛蓤DABP(A+B+C)=P(A+B)+P(C)-P(A+B)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)其中要注意(AC)(BC)=ABC類(lèi)似地，可以證明P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4)+P(

6、A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)-P(A1A2A3A4)解：分別用A2與A3表示抽到兩個(gè)與三個(gè)白球。A2與A3互斥由加法法則，所求概率為P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)例2 袋中有大小相同的7個(gè)球，4個(gè)是白球，3個(gè)為黑球。從中一次取出3個(gè)，求至少有兩個(gè)是白球的概率。例3 50個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品，從中一次抽取3個(gè)，求其中有廢品的概率。解：用Ai表示取到i個(gè)廢品。A1,A2,A3互斥故P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)解：Ai表示有正好有i張相同。i0，2，3例4 現(xiàn)有黑桃自A至K的13牌。有放回地抽3次。求(

7、1)三張?zhí)柎a不同的概率。(2)三張中有相同號(hào)碼的概率。(3)三張中至多有兩張同號(hào)的概率。(2)P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)(3)P(A0+A2)=P(A0)+P(A2)1P(A3)例5 甲盒中有2個(gè)紅球1個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)白球1個(gè)紅球。從甲盒中取一球放入乙盒，再?gòu)囊液兄腥∫磺蚍湃爰缀?。求甲盒成分不變的概率。解：甲盒成分不變，包括兩種情況從甲盒中取出紅球，從乙盒中也取出紅球,記為A從甲盒中取出白球，從乙盒中也取出白球,記為BA與B互斥基本事件總數(shù)為3412A的基本事件數(shù)224B的基本事件數(shù)13=3解：A表示能被6整除。B表示能被8整除。例6 從1到200中任取一數(shù)。求(1)能被6與

8、8同時(shí)整除的概率。(2)不能被6或8整除的概率。例7 你的班級(jí)中是否有人有相同的生日？這一事件的概率有多大？解：設(shè)人的生日在一年365天的每一天是等可能的A表示n個(gè)人組成的班級(jí)中有人生日相同?；臼录倲?shù)為365nA的基本事件數(shù)不易確定。故 P(A)=1-P()5 條件概率與乘法規(guī)則(1)取到廢品的概率。(2)已知取到的是不合格品，它是廢品的概率。解：(1)取到廢品用A表示(2)基本事件總數(shù)為5一般設(shè)P(B)0。而P(A)稱(chēng)為無(wú)條件概率。例1 有100件產(chǎn)品，其中有5件是不合格品，包括3件次品與2件廢品，任取一件，求定義1 在事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱(chēng)為事件A在給定B下的條件概

9、率，簡(jiǎn)稱(chēng)為A對(duì)B的條件概率，記作P(A|B)例2 市場(chǎng)上供應(yīng)的電風(fēng)扇中，甲廠產(chǎn)品占70，乙廠占30。甲廠產(chǎn)品的合格率是95，乙廠的合格率是80。若用事件A,分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品為合格品，試寫(xiě)出有關(guān)事件的概率。解：由題設(shè)P(A)=0.7P()=0.3P(B|A)=0.95P(B|)=0.8例3 全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生(事件A)80人，女生20人；來(lái)自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語(yǔ)(事件C)有40人，其中男生32人，女生8人。試寫(xiě)出解：由題設(shè)0.8=0.2=0.40.15=0.6=0.12=0.4=0.15=0.32在例3中可以觀察到它是條件概率

10、的計(jì)算公式。要求P(A)0,P(B)0關(guān)于n個(gè)事件A1,A2,An的乘法規(guī)則是 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)定理1 (乘法規(guī)則)若P(A)0,則P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)0,則P(AB)=P(B)P(A|B)解：甲廠生產(chǎn)的合格品，即P(AB)=P(A)P(B|A)=0.70.95=0.665乙廠生產(chǎn)的合格品，即P(B)=P()P(B|)=0.30.8=0.24為什么后者不是1-P(AB)?因?yàn)锳B與B不是對(duì)立事件。例4 在例1中求從市場(chǎng)上買(mǎi)一臺(tái)電風(fēng)扇是甲廠生產(chǎn)的合格品的概率以及是乙廠生產(chǎn)的合格品的概率。解：設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙抽到難簽。例5 10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，3人參加抽簽(不放回)，甲先，乙次，丙最后。求甲抽到難簽，甲、乙都抽到難簽，甲沒(méi)抽到難簽而乙抽到難簽以及甲乙丙都抽到難簽的概率。解：設(shè)A表示第一件合格，B表示第二件合格。在不放回時(shí)另一方法P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9025=0.9025例6 設(shè)100件產(chǎn)品中有5件不合格，任取兩件，求兩件均合格的概率，要求分為不放回與放回兩種情況計(jì)算。錯(cuò)解：在另9個(gè)產(chǎn)品中