組合數(shù)學(xué)幻燈片45母函數(shù)在組合恒等式中的應(yīng)用課件_第1頁(yè)
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1、 母函數(shù)不僅是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的有力工具，而且，它也是證明(或推導(dǎo))組合恒等式的一個(gè)重要方法。事實(shí)上，在第一章1.5節(jié)中已經(jīng)利用二項(xiàng)式展開(kāi)級(jí)數(shù)作為母函數(shù)導(dǎo)出了一些恒等式。下面再舉幾例加以說(shuō)明。4.5母函數(shù)在組合恒等式中的應(yīng)用 證明：我們知道，一個(gè)序列是與它的母函數(shù)一一對(duì)應(yīng)的。而兩個(gè)母函數(shù)間的乘積關(guān)系必然反映為兩個(gè)母函數(shù)對(duì)應(yīng)的序列與其乘積對(duì)應(yīng)的序列之間的關(guān)系。例1設(shè)p,q為任意正整數(shù)，證明 為了證明上面的恒等式，只需求出兩個(gè) 序列 對(duì)應(yīng)的母函數(shù)使得它們的乘積對(duì)應(yīng)的序列為 故先求形如序列 的母函數(shù)。由第一章的式(1.22)，有而在式中分別令n=p和q得又因故于是得到例2 設(shè)p為非負(fù)整數(shù)，且pn，證明：

2、 當(dāng)p=n 當(dāng)pn證明：由式(1.13)有將上式兩邊對(duì)x微分p次得將上式兩邊同乘以1/p!得在上式中，令 x=-1，有故恒等式得證。當(dāng)p=n時(shí)當(dāng)pn時(shí)恒等式(4.4)還表明序列 與序列注意，若令 x=1，又可得如下的恒等式：是一對(duì)互相正交的序列(當(dāng)pn時(shí))。這使得恒等式(4.4)在組合分析中極為有用。于是，我們分別得到下列各式例3 證明證明：由式(1.13)有 將以上各式兩端分別相加，則其右端和中xn的系數(shù)正好是式(4.6)的左端，而其右端的和為如果我們能求出f(x)展開(kāi)式中xn的系數(shù)是22n則式(4.6)得證 于是，在g(x)中xn的系數(shù)也就是在f(x)中xn的系數(shù).即故有證明：由二項(xiàng)式定理分別有下列各式：例4 證明 將以上各式兩端分別相加，則其右端和中xk的系數(shù)正好是式(4.7)的左端，而其左端的和為:而在f(x)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)中xk的系數(shù)為于是有例5 證明而證明:由于左端出現(xiàn)形如 的序列 故自然要考慮求序列 的母函數(shù)。由4.1例3知，序列 的普通母函數(shù)為(1-4x)-1/2即故由定義4.4

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