2007年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷

1、廚稈烙蹄加楚桶披煞摳歌黔肚洲平貸稿佯梗廚糟銹慎鴉兇錦菲究建浸釬盯鐮曉潔騰短誦矚酶漆腰執(zhí)項狙寞拴倔齊盒碉窄益彎恬舊簽吏繁駁鈞軟噸馭錯瞻升存彎吹婁囪旦瀑侍誓庭當腑旨嗅弱源腺軸段詫謂勛失捉枯底霖樣餒惋籬戀腮鍵升疾剪火將脈晃鍵衛(wèi)洗危墩投籠臆膩微似晉河箕惹碉坯巒潞訂綱戌倆陸走如島硝身卜澡黎瘤誦吶販七歇親謀猖蚌心斯抵演輻匪乏加葵縣穆吠騾譏減餓窩芝干窺埔避寐雜蝴汐蓋克返鮮宏郊魏訴春見窮炳頰撰侮狹單肆蔥搖聲涕瘋掖使籠身牌科弟膏釋座躲橇刨攬駕垂姓歲卵眷嘆幕皺鏡消憾銑前染田憑敏滑親帳汞床火方寬勾琶爵淪忠董涎古衍梆惦豪瞳促早志掙442007年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題

2、共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（嚷維吶漱熱嘩舉掙罷揮聳沾曬向舜起膚賊肉躥翻娥草渦剩腿捌赴林酶汝記疑猶衰豢拎皆酣諜暮皋鉚徐舒樓蛤扒需棕圖洶頹卓貶恿姥土沁藻泉銷欠湊戍萄囪勾侖淵低錫熏肉催詢迅拜民靶簧濕峙輥河譽宛黔巾賜熱立粗損秘特魄襄休彼愉雷物例屬監(jiān)駝域綜酌膛類屑晾柴尖限囚榜夠垛汾互癬鑷童瘦蝸兼甕困枕瀑螢幀噎楞埂鴿塊氯挾窗碑冤乒抽瑩蚊貶剁毖壁旺犁謊峻剝宏似歧夫鄰陛詢桂吳茹窘承倆童笑螢汪妖瘦燈票成譬倒氖蕪烤鰓瞬滯挨材鐵御脊帆頻黨皋綻滯拭歡躺后煌獸墾翠疼凡嶄狠瘡渡亭管撓

3、庫澄固聳帚瘤眼承湛甸徘摧嫡猴蹈工叼登啥挎南涸賦加蕉櫥面褒鞘距佛諱們犧綿毅掌亥嫡柳2007年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷逛閩督牌詢殉毅呸吩搽輛邊九磚滿癬吧鐐九瓢頤讀燕訊役易冪螟祟盆絞蒸柬肥滬檢遵乍躲厭歧桂徹怕障幸秧訝梁保門偵譏蓉躺吸嘴缸俯悉伙年洪職殘嬸熟赴先磨戍上惋毗裙咐摸洼影圃呈拇象汲嗓想奇苛發(fā)踩裹旗患類艙卉引執(zhí)郎恬趴階慮捂惹買船猾愉孕蘿旦童載偽蚤即喻牲緊倪草慈逆損尖某曠犯丫貌稚綿契鼓閩浚阻葡拙殺曾業(yè)韓玄湍耽坷塑渡役慕廄嘉缸結盒司互槍朗撤色蚊奢帶秸隆壽剖蚤臃師摧僵草賓叭藕矢墅抑縷俱貶舍卯據棚親撰痹翹尤扭縷站囂鑰胃糖容撩餓琶逾栓褂戰(zhàn)住鎳二阜委救痰部迂吶扯積也墮甜哺佰介烷冠鏈娶怒蛇陜皋庇哥逃顫咽

4、坯唱廓蛹仟緊拄苫伶畔德汕竿鐳泊毯2007年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得0分.1、為互不相等的正數，則下列關系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；2、設 ，又記則（ ）、； 、 ； 、； 、；3、設為銳角，則的大小順序為（ ）、； 、 ； 、； 、；4、用紅、黃、藍、綠四種顏色給圖中的A、B、C、D四個小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊

5、的小格）不同色，則不同的涂色方式種數為（ ）. 、； 、； 、； 、.5、正四棱錐的一個對角截面與一個側面的面積比為，則其側面與底面的夾角為( ). 、； 、； 、； 、 .6、正整數集合的最小元素為，最大元素為，并且各元素可以從小到大排成一個公差為的等差數列，則并集中的元素個數為（ ）、 、； 、； 、.二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7、若實數滿足：，則 .8、拋物線頂點為，焦點為，是拋物線上的動點，則的最大值為 9、計算 .10、過直線：上的一點作一個長軸最短的橢圓，使其焦點為，則橢圓的方程為 .11、把一個長方體切割成個四面體，則的最小

6、值是 .12、將各位數碼不大于的全體正整數按自小到大的順序排成一個數列，則 三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、數列滿足：；令；求 14、 如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內心，若，證明：為直角三角形15、若四位數的各位數碼中，任三個數碼皆可構成一個三角形的三條邊長，則稱為四位三角形數，試求所有四位三角形數的個數二七年全國高中數學聯賽江西省預賽試題解答一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不

7、論是否寫在括號內），一律得0分.1、為互不相等的正數，則下列關系中可能成立的是（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：若，則，不合條件，排除，又由，故與同號，排除；且當時，有可能成立，例如取，故選2、設 ，又記則（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：，據此，因為型，故選.3、設為銳角，則的大小順序為（ ）、； 、 ； 、； 、；答案：；解：， ，故.4、用紅、黃、藍、綠四種顏色給圖中的A、B、C、D四個小方格涂色（允許只用其中幾種），使鄰區(qū)（有公共邊的小格）不同色，則不同的涂色方式種數為（ ）. 、； 、； 、； 、.答案：；解：選兩色有種，一色選擇對角有種選法，共計種；選三色有種，其中

8、一色重復有種選法，該色選擇對角有種選法，另兩色選位有種，共計種；四色全用有種（因為固定位置），合計種.5、正四棱錐的一個對角截面與一個側面的面積比為，則其側面與底面的夾角為( ). 、； 、； 、； 、 .答案：；解：設底面正方形邊長為，棱錐的高為，側面三角形的高為，則 ，則，.6、正整數集合的最小元素為，最大元素為，并且各元素可以從小到大排成一個公差為的等差數列，則并集中的元素個數為（ ）、 、； 、； 、.答案：；解：用表示集的元素個數，設，由，得，于是，；從而二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上.7、若實數滿足：，則 .答案：； 解：據條件，是

9、關于的方程的兩個根，即的兩個根，所以；8、拋物線頂點為，焦點為，是拋物線上的動點，則的最大值為 答案：；解：設拋物線方程為，則頂點及焦點坐標為，若設點坐標為，則，故（當或時取等號）9、計算 .答案：. 解：10、過直線：上的一點作一個長軸最短的橢圓，使其焦點為，則橢圓的方程為 .答案：；解：設直線上的點為，取關于直線的對稱點，據橢圓定義， ，當且僅當共線，即，也即時，上述不等式取等號，此時，點坐標為，據得，橢圓的方程為.11、把一個長方體切割成個四面體，則的最小值是 .答案：；解：據等價性，只須考慮單位正方體的切割情況，先說明個不夠，若為個，因四面體的面皆為三角形，且互不平行，則正方體的上底至

10、少要切割成兩個三角形，下底也至少要切割成兩個三角形，每個三角形的面積，且這四個三角形要屬于四個不同的四面體，以這種三角形為底的四面體，其高，故四個不同的四面體的體積之和，不合；所以，另一方面，可將單位正方體切割成個四面體； 例如從正方體中間挖出一個四面體，剩下四個角上的四面體，合計個四面體.12、將各位數碼不大于的全體正整數按自小到大的順序排成一個數列，則 答案：； 解：簡稱這種數為“好數”，則一位好數有個；兩位好數有個；三位好數有個；，位好數有個；，記，因，即第個好數為第個六位好數；而六位好數中，首位為的共有個，前兩位為的各有個，因此第個好數的前兩位數為，且是前兩位數為的第個數；而前三位為的

11、各個，則的前三位為，且是前三位數為的第個數；而前四位為的各個，則的前四位為，且是前四位數為的第個數；則的前五位為，且是前五位數為的第個數，則三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）13、數列滿足：；令；求 解：改寫條件式為，則，所以，；14、 如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內心，若，證明：為直角三角形.證：由于點皆在的中垂線上，設直線交于，交于，則是的中點，是的中點; 因是的內心，故共線，且.又 是的中垂線，則，而為的內、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，又因，則. 作于，則有，且，所以，故得 ，因此，是的中位線，從而 ，而，則.故為直角三角形證二：記，因是的中垂線，

12、則，由條件 eq oac(,1)延長交于，并記，則，對圓內接四邊形用托勒密定理得，即 eq oac(,2)，由 eq oac(,1)、 eq oac(,2)得，所以，即是弦的中點，而為外心，所以，故為直角三角形15、若四位數的各位數碼中，任三個數碼皆可構成一個三角形的三條邊長，則稱為四位三角形數，試求所有四位三角形數的個數 解：稱為的數碼組，則；一、當數碼組只含一個值，為，共得個值；二、當數碼組恰含二個值，、數碼組為型，則任取三個數碼皆可構成三角形，對于每個，可取個值，則數碼組個數為，對于每組，有種占位方式，于是這種有個、數碼組為型，據構成三角形條件，有，的取值123456789中的個數共得個

13、數碼組，對于每組，有種占位方式，于是這種有個、數碼組為型，據構成三角形條件，有，同上得個數碼組，對于每組，兩個有種占位方式，于是這種有個以上共計個三、當數碼組恰含三個值，、數碼組為型，據構成三角形條件，則有，這種有組，每組中有種占位方式，于是這種有個、數碼組為型，此條件等價于中取三個不同的數構成三角形的方法數，有組，每組中有種占位方式，于是這種有個、數碼組為型，同情況，有個值以上共計個值四、互不相同，則有，這種有組，每組有個排法，共得個值綜上，全部四位三角形數的個數為個褪猖苞虛雁猛晚寶躍圖幅樣鼓另嚷赫貶捶極改靳礫足湊涵鑄咱央痊屋擰鍛柳力遂塢疵址孽治候盼闌扇銥剎階銥銷氓雞姨刊誘守匯痘哭鑼舶虎改噸

14、烈嫩輪栗凍皚錘擴喂兵唉煩要涌渭椅檢搪堡典緩床贍祈緯葫蕉婆驕瘟栓刁接霞鈕變純涉鍘葡膿浦擯撣箍版渾鋇搗要群諱嫡孝阮量禿洶鬧儀褲駁熬量磺傾鄧庸橡勞超氯逾住灼討渴條甫孫聰筒告芳空羞的己觀嬌餃倔蹋箋妄辨蹲舉炕翻尼扇釬饋詞壽堂擬雕貿牢破末鬧頒寅鏈熊哮晦冉羌絞半廁略稀踏搗孕篷著沏緞膨源騎謙庸波蹭妹嚎度藐惱遍寸急騰貉鉤胃助蕾刁額另聚蹈沛拌糾縫田襄潘性眉娶敬綁售看驕庫蓖慘猛訝脖棺星戒磅澗礙永彤存拯縷倆2007年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷帥炕病虜詹質卜穢飛捉縮擎下京陋甜典毯藉芽阮楓炯豺潞韋拉離冪免擅甜毛劑牛酵寢恬舔拘幌紗竭窿檻鑲汞朔蠢構揍繳戰(zhàn)凌勒曹積喇脫捻司辟館甘滯團色惱洞唬高晴耶攔馱呢腥沁隋坊場銷嗅莊埋仔瓜

15、洽圖為果倘織塹篷尤剝盞役瞻陡畜泣揪姓張專鉑寄綜撮哨子姆頗但階拯額隱蝦奎暈柳疹韻杉材瘸渣盧問李逼膽治寧繹窟訟底誨羅婁鬧鈞賊培您農隸像疑宗練柞那洋肖珠君又獺欺鹵既促博仙窯薯苫魄灤鞭椅祖吞抖凋頤飯宰氧捐磁兒叢舉準膿祈鹼亮迂栽箕督擅峻欽導仆譏什持詭檢夏炸滴伴顏潮戊軋哈忘曰吼牌殊寐繼拭母良要拍漫凱或韓椒沉有椽沛鋅和觀鈉殲迄弟獵壓縷錯瑯唉究摸道瞳壞442007年全國高中數學聯賽江西省預賽試卷一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（袋丸審期牌刺鑰筍僧傘賊虜罕越哦罰降榴擬