2015年湖南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷A 【含答案】

1、2015年湖南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（A卷）（2015-06-27）選擇題（每個(gè)5分，共6題）將選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去年1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場(chǎng)做的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示，則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C.36D. SKIPIF 1 0 半徑為R的球的內(nèi)部裝有4個(gè)有相同半徑r的小球，則小球半徑r可能的最大值是A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C. SKIPIF 1 0 D. SKIPIF 1 0 已知數(shù)列an和bn對(duì)任意 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1

2、0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，數(shù)列an和bn的極限分別是A和B，則A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C. SKIPIF 1 0 D.A和B的大小關(guān)系不確定對(duì)所有滿足 SKIPIF 1 0 的m,n,極坐標(biāo)方程 SKIPIF 1 0 表示的不同雙曲線條數(shù)為A.6B.9C.12D. 15使關(guān)于x的不等式 SKIPIF 1 0 有解的實(shí)數(shù)k的最大值是A. SKIPIF 1 0 B. SKIPIF 1 0 C. SKIPIF 1 0 D. SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 ，則對(duì)任意的整數(shù)n，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的數(shù)中，不是M中的元素的數(shù)為A

3、.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3填空題（每個(gè)8分，共6題）已知三邊為連續(xù)自然數(shù)的三角形的最大角是最小角的兩倍，則該三角形的周長(zhǎng)為： 對(duì)任一實(shí)數(shù)序列 SKIPIF 1 0 ，定義A為序列 SKIPIF 1 0 ，它的第n項(xiàng)是 SKIPIF 1 0 ，假定序列（A）的所有項(xiàng)都是1，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的值為： 滿足使 SKIPIF 1 0 為純虛數(shù)的最小正整數(shù)n= .，9這9個(gè)數(shù)字填在如圖所示的9個(gè)空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，當(dāng)3，4固定在圖中的位置時(shí)，填寫空格的方法數(shù)為： 記集合 SKIPIF 1 0 ，將M中的元素按從大到

4、小順序排列，則第2015年數(shù)是： 設(shè)直線系 SKIPIF 1 0 ，對(duì)于下列四個(gè)命題：M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上對(duì)于任意整數(shù) SKIPIF 1 0 存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上M中的直線所能圍成的三角形面積都相等其中真命題的代號(hào)是： （寫出所有真命題的代號(hào)）解答題（共4題，滿分72分）（本小題滿分16分）如圖所示，AB為RtABC的斜邊，I為其內(nèi)心，若IAB的外接圓的半徑為R，RtABC的內(nèi)切圓半徑為r，求證： SKIPIF 1 0 .（本小題滿分16分）如圖，A，B為橢圓 SKIPIF 1 b0)和雙曲線 SKIPIF 1 0 的公共頂點(diǎn)，P、Q分別

5、為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 0 求證：（）三點(diǎn)O、P、Q在同一直線上；（）若直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別是k1、k2、k3、k4，則k1+k2+k3+k4是定值。（本小題滿分20分）已知整數(shù)列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，對(duì)于正整數(shù)n，定義函數(shù) SKIPIF 1 0 ，證明：若存在某個(gè) SKIPIF 1 0 有兩個(gè)整數(shù)零點(diǎn)，則必有無窮多個(gè) SKIPIF 1 0 有兩個(gè)整數(shù)零點(diǎn)。（本小題滿分20分）已知 SKIPIF 1 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 0 。（）經(jīng)過原點(diǎn)分別作曲線 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的切線 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 。已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證： SKIPIF 1 0 （）設(shè) SKIPIF 1 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 恒成立，試求