最新《力學(xué)》漆安慎答案08章

1、力學(xué)（第二版）漆安慎習(xí)題解答第八章彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變第八章一、基本知識(shí)小結(jié)1 .彈性體力學(xué)研究力與形變的規(guī)律；彈性體的基本形變有拉伸壓縮形變和剪切形 變，彎曲形變是由程度不同的拉伸壓縮形變組成，扭轉(zhuǎn)形變是由程度不同的剪切形變組 成。應(yīng)力就是單位面積上作用的內(nèi)力；如果內(nèi)力與面元垂直就叫正應(yīng)力，用o表示； 如果內(nèi)力方向在面元內(nèi)，就叫切應(yīng)力，用T表示。應(yīng)變就是相對(duì)形變；在拉壓形變中的應(yīng)變就是線應(yīng)變，如果10表示原長，M表 示絕對(duì)伸長或絕對(duì)壓縮，則線應(yīng)變= M/10；在剪切形變中的應(yīng)變就是切應(yīng)變，用切變 角V表示。4 .力與形變的基本規(guī)律是胡克定律，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比。在拉壓形變中表示為o= Ys，Y

2、是由材料性質(zhì)決定的楊氏模量，在剪切形變中表示為t= Nv，N是由材料性質(zhì)決定的切變模量。5.發(fā)生形變的彈性體具有形變勢(shì)能：拉壓形變的形變勢(shì)能密度Ep。= 赤2 ,剪切形變的形變勢(shì)能密度Ep。= *N 2。6 .梁彎曲的曲率與力偶矩的關(guān)系k = 里Ybh 3桿的扭轉(zhuǎn)角與力偶矩的關(guān)系t= C中，C =與當(dāng)二、思考題解答8.1作用于物體內(nèi)某無窮小面元上的應(yīng)力是面元兩側(cè)的相互作用力，其單位為N.這句話 對(duì)不對(duì)？答：不對(duì)，應(yīng)力為作用于該無窮小面元兩側(cè)單位面積上的相互作用內(nèi)力，其單位為 或。其面元法向分量稱正應(yīng)力，切向分量稱切應(yīng)力。8.2（8.1.1）式關(guān)于應(yīng)力的定義當(dāng)彈性體作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)是否仍然適用？答：

3、適用，（8.1.1）式中的是面元兩側(cè)的相互作用內(nèi)力，它與作用于物體上的外力 和物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)。8.3牛頓第二定律指出：物體所受合力不為零，則必有加速度。是否合力不為零，必產(chǎn) 生變形，你能否舉出一個(gè)合力不為零但無形變的例子？答：不一定，物體是否發(fā)生形變應(yīng)看物體內(nèi)應(yīng)力是否為零，應(yīng)力為零，則不形變。 自由落體運(yùn)動(dòng)，物體受重力作用，但物體內(nèi)部應(yīng)力為零，則不發(fā)生形變。4胡克定律是否可敘述為：當(dāng)物體受到外力而發(fā)生拉伸（壓縮）形變時(shí)，外力與物 體的伸長（壓縮）成正比，對(duì)于一定的材料，比例系數(shù)是常數(shù)，稱作該材料的楊氏模 量？答：不對(duì)。首先形變應(yīng)在彈性限度內(nèi)，其次楊氏模量只與材料的形狀有關(guān)，而比例 系數(shù)不但

4、與材料性質(zhì)有關(guān)，還與材料的形狀（橫截面）有關(guān)，即與材料的橫截面有關(guān)， 對(duì)一定性質(zhì)的材料，隨截面的不同而變，兩者是不同的。8. 5如果長方體體元的各表面上不僅受到剪切應(yīng)力而且受到正應(yīng)力，剪切應(yīng)力互等定 律是否還成立？答：正應(yīng)力不改變未施加前各面的力矩，剪切應(yīng)力互等定律仍然成立。8. 6是否一空心圓管比同樣直徑的實(shí)心圓棒的抗彎能力要好？答：不是，一個(gè)實(shí)心管可視為由許多半徑不同的空心管組成的，對(duì)于相同材料、同 樣直徑的空心管和實(shí)心管的抗彎能力顯然實(shí)心圓管比同樣直徑的空心圓棒的抗彎能力 要好。8. 7為什么自行車輻條要互相交叉？為什么有些汽車車輪很粗的輻條不必交叉？答：自行車輻條很細(xì)且很長，它不能依靠

5、垂直輻條提供很大的抗扭曲力矩和瓦圈的 抗形變能力，交叉后的輻條利用了拉伸、壓縮車輪的抗扭能力和瓦圈的抗變形能力，而 車輪的輻條很粗，則完全可以提供足夠的抗彎力矩8.8為什么自行車輪鋼圈橫截面常取（a） （b）形狀而不采?。╟）的形狀？答：自行車在承重情況下，鋼圈主要是抗變形作用，鋼圈截面距中性層越遠(yuǎn)，抗彎 作用越大，（c）截面主要分布在中性層附近，與（a）、（b）比抗彎能力最差。8.9為什么金屬平薄板容易變形，但在平板上加工出凹凸槽則不易變形？答：加工出凹凸槽，相當(dāng)于增加了板距中性面的材料，減少了距中性面近的材料從 而增加了抗彎能力，故不易變形。8. 10用厚度為d的鋼板彎成內(nèi)徑為產(chǎn)的圓筒，則

6、下料時(shí)鋼板長度應(yīng)為2這是為什么？2 冗（r + ）答：用原為疽的鋼板彎成內(nèi)徑為廣的圓筒時(shí)，其中性層的長度正好為 2 ,以此長度下料，可使彎曲面內(nèi)層、外層的應(yīng)力均勻，使圓筒的堅(jiān)固性最弱。8.1.1 一鋼桿的截面積為5.0 x10-4皿，所受軸向外力如圖所示，試計(jì)算A、B，B、C和 C、D之間的應(yīng)力。F1 = 6 x 104 N, F2 = 8 x 104 N, F3 = 5 x 104 N, F4 = 3 x 104 N解：E畢HF】.r? ; 史.灼一.：.盡-:.:7*.A BC D據(jù)桿的受力情況，可知桿處于平衡狀態(tài)。分別在AB之間E處，BC之間G處，CD 之間H處作垂直桿的假想截面S。隔離

7、AE段，由平衡條件，E處S面上的內(nèi)力F=F,.A、B之間的應(yīng)力。=F / S = F / S = 6x104 = 1.2 x 108 N / m2隔離AG段，由平衡條件，G處S面上的內(nèi)力F=F2-F,.B、C之間壓應(yīng)力b = F2 - F1 = （8-6）x104 = 0.4 x 108 N / m 2s5.0 x10-4隔離HD段，由平衡條件，H處S面上的內(nèi)力F=F4,.C、D之間的應(yīng)力b = F / S = F / S = 3x104 = 0.6 x 108 N / m28.1.2利用直徑為0.02m的鋼桿CD固定剛性桿AB.若 CD桿內(nèi)的應(yīng)力不得超過qnax=16x107問B處最多能懸掛

8、多大重量？解：隔離AB，以A點(diǎn)為軸，由力矩平衡條件，有T x 0.8 x 1.0 = W x (1.0 + 0.6). W = 0.39T-1.02 +0.82隔離 CD，桿 CD 應(yīng)力 o=T/S,.T=oS=on(D/2)2.桿能承受的最大拉力：T=段。=+ x 3.14 x 0.022 x 16x 107 = 5.02x 104 NB處能懸掛的最大重量：W = 0.39T = 1.96 x 104 N8.1.3圖中上半段為橫截面等于4.0 x10-4皿且楊氏模量為6.9x10i0Pa的鋁制桿，下半段 為橫截面等于1.0X10-4M2且楊氏模量為19.6x1010Pa的鋼桿，又知鋁桿內(nèi)允許

9、最大應(yīng)力 為7.8x107Pa,鋼桿內(nèi)允許最大應(yīng)力為13.7x107Pa.不計(jì)桿的自重，求桿下端所能承擔(dān)的 最大負(fù)荷以及在此負(fù)荷下桿的總伸長量。解：設(shè)鋁桿與鋼桿的長度、橫截面、楊氏模量、應(yīng)力分別為：11、S1、Y1、叮12、 S2、匕、“2.,顯然，j=F/Sa2=F/S2. TOC o 1-5 h z 匕匕匕JLJL匕匕設(shè)鋁桿和鋼桿所能承擔(dān)的最大負(fù)荷分別為F1max，F(xiàn)2max，則 J LF=。1 S = 7.8x 107 x4.0 x 10-4 = 3.12x 104NF2=。21 S2 = 13.7x 107 x 1.0 x 10-4 = 1.37 x 104N丁整個(gè)桿的最大負(fù)荷應(yīng)取鋼桿

10、的最大負(fù)荷：七廣1.37 x 104 Nmax F根據(jù)拉伸形變的胡克定律，對(duì)于鋁桿 蚤=Y外，所以， S111M =；對(duì)于鋼桿，同樣有A1 =舊.整個(gè)桿的伸長量是：1Y1S12京2Al = A +A1 = F ( J + ) 12 啞 Y1S1京2=1.37 x 104 (30+20)=2.89 x 10 -3 m6.9x1010 x4.0 x10-4 19.6x1010 x1.0 x10-48.1.4電梯用不在一條直線上的三根鋼索懸掛。電梯質(zhì)量為500kg。最大負(fù)載極限55kN。 每根鋼索都能獨(dú)立承擔(dān)總負(fù)載，且其應(yīng)力僅為允許應(yīng)力的70%，若電梯向上的最大加 速度為g/5,求鋼索直徑為多少？將

11、鋼索看作圓柱體，且不計(jì)其自重，取鋼的允許應(yīng)力為 6.0X108Pa.解：設(shè)每根鋼索承受拉力為T,電梯自重為 TOC o 1-5 h z W=mg，負(fù)荷為W=mg.由牛頓第二定律，t 13T 一 W 一 W= (m + m)a = 0.2(m + m)g_LI_LT = + W + W牛0.2(m + m)g a =i(1.2mg + 1.2W) = 0.4(mg + W)l 翌3=0.4 x (500 x 9.8 + 5.5 x 103) = 4.16 x 103 NW T設(shè)鋼索直徑為D，每根鋼索的應(yīng)力。= 兀(0.5 D )2 D = 2、；T/(兀乙)=2(4.16 x 103 /(3.1

12、4 x 0.7 x 6.0 x 108)VY=6.15 x 10-3 m = 6.15mm8.1.5矩形橫截面桿在軸向拉力作用下拉伸應(yīng)變?yōu)?此材料的泊松系數(shù)為出求證桿 體積的相對(duì)改變?yōu)?V-Vo)/V0=E(1-2g)，V0表示原體即，V表示形變后體積.上式是否 適用于壓縮？低碳鋼楊氏模量為Y=19.6x1OioPa，泊松系數(shù)凹=0.3，受到的拉應(yīng)力為 o=1.37Pa，求桿件體積的相對(duì)改變。解：設(shè)桿原長為10，矩形截面兩邊原長分別為和。0,據(jù)線應(yīng)變定義：軸向應(yīng)變= f，橫向應(yīng)變e = f =，所以：l1 b al = (1 + 8 )l , a = (1 + 8 ) a , b = (1 +

13、 8 )b，由泊松系數(shù)定義 |i=0l，拉伸時(shí)，必0,與0, 0101081=*V - V abl a b l (1 + 8 )a (1 + 8 )b (1 + 8 )l - a b l0 =0 0 0 = 1_01_00 0 0 0V ablabl00 0 00 0 0=(1 + 8 )2(1 + 8 ) - 1 = (1 -R8 )2(1 + 8 ) - 11=(1 - 2旦8 +旦28 2)(1 + 8) - 1 = 8 (1 - 2旦)(略去高級(jí)小項(xiàng))對(duì)于壓縮，0,仍有勺=-監(jiān)成立，因此上式對(duì)壓縮情況仍然適用 據(jù)胡克定律a = Y8, 8 =。/ Y2.8 x 10 -12V - V

14、_ a (1 - 2日)_ 1.37(1 - 2 x 0.3) V0 0 Y19.6 x 10108.1.6桿受軸向拉力F，其橫截面為S，材料的重度(單位體積物質(zhì)的重量)為Y，試證明考慮材料的重量時(shí)，橫截面內(nèi)的應(yīng)力為a 3) = f +yx。 S桿內(nèi)應(yīng)力如上式，試證明桿的總伸長量M = F +必SY 2 Y 證明：建立圖示坐標(biāo)o-x，在坐標(biāo)x處取一截面S，隔離o、x段桿，由平衡條件，截面S上的內(nèi)力F二F+ySx 據(jù)應(yīng)力定義a = f = f+y s * = f +y xS S S考慮x處的線元dx，該線元在重力作用下的絕對(duì)伸長為成據(jù)尸胡克定律，a = Ydl/dx ,dl =adx/ Y =

15、F/(YS) +y x/YdxI積分：ldl = l (f + 當(dāng) x)dx :. Al = fi + Ml0 YS YY S 2 Y8.2.1在剪切材料時(shí)，由于刀口不快，沒有切斷，該鋼板發(fā)生了切變。鋼板的橫截面積 為S=90cm2.兩刀口間的垂直距離為d=0.5cm.當(dāng)剪切力為F=7x105N時(shí)，求：鋼板中 的d切應(yīng)力，鋼板的切應(yīng)變，與刀口相齊的兩個(gè)截面所發(fā)生的相對(duì)滑移。已知鋼 的剪切模量N=8x101oPa。， TOC o 1-5 h z 解：據(jù)切應(yīng)力定義T = F = 7.78x 107N/m2I* 探S90 x10-4段據(jù)胡克定律，t = NW.W = 冬=7.78x107 =9.7

16、x 10 -4 radN8x1010熊)V = Al /d :. Al = dw = 0.5 x 9.7 x 10-4 = 4.85 x 10-4 cm藻8.3.1 一鋁管直徑為4cm,壁厚1mm,長10m, 一端固定，而另一端作用一力矩50Nm, 求鋁管的扭轉(zhuǎn)角日對(duì)同樣尺寸的鋼管再計(jì)算一遍，已知鋁的剪切模量N=263x10i0Pa， 鋼的剪切模量為8.0 x1010Paa解：設(shè)管的半徑為R,管壁厚d，管長為/,外力矩為M，由于dR，可認(rèn)為管壁 截面上各處的切應(yīng)力大小相等，設(shè)為T，在平衡狀態(tài)下，內(nèi)、外力矩相等：M =x (2兀 Rd)R, c = M /(2兀 R2d)據(jù)剪切形變的胡克定律：c

17、= NW,M2k NR 2d八 W l Ml50 x 10V =R2兀 NR3d 2 x 3.14 x 2.65 x 1010 x 0.023 x 0.001r 0.376rad對(duì)于鋼管:r 0.124rad50 x 102 x 3.14 x 8.0 x 1010 x 0.023 x 0.0018.3.2矩形橫截面長寬比為2:3的梁，在力偶矩作用下發(fā)生純彎曲，各以橫截面的長和 寬作為高度，求同樣力偶矩作用下曲率半徑之比。解：設(shè)梁衡截面長為2d,寬為3d，據(jù)梁純彎曲的曲率公式：k 12t /(Ybh3) 1/R, R Ybh3 /(12t)以 2d 為梁的高：R Y(3d)(2d)3 /(12t )1以 3d 為梁的高：R Y(2d)(3d)3 /(12t )2R