九n維歐氏空間上的整點該如何數(shù)（二）

1、第 PAGE 7 頁 共 NUMPAGES 7 頁九n維歐氏空間上的整點該如何數(shù)(二)山東棗莊二中趙錄(emall：)在n維歐氏空間上的整點該如何數(shù)(一)中只討論了維數(shù)最多是6的歐氏空間整點的數(shù)法下面討論一般的方法對于n維歐氏空間上的整點A(a1,a2,a3,an)(a1,a2,a3,anN),設(shè)w=max|a1|,|a2|,|a3|,|an|我們已經(jīng)知道點A在以原點為中心,棱長為2w的n維正方體的表面上而且在每條棱上有2w+1個整點因此在這個n維正方體的內(nèi)部及表面上共分布有(2w+1)n個整點其內(nèi)部的整點分布在一個棱長為2w-1的n維正方體的內(nèi)部及表面上，且每條棱上有2w-1個整點而(2w+

2、1)n+1=(2w-1)+2n =(2w-1)n+2(2w-1)n-1 +22(2w-1)n-2+22 (一)即(一個)n維正方體有：2個(n-1維的)面(為n-1維的正方體), 22個n-2維棱面,2n-2個2維棱面(為正方形),2n-1個(1維棱面)棱,2n個(零維棱)頂點前面得到的n維正方體的各維棱面的個數(shù)的結(jié)論還可以用數(shù)學歸納法證明：1、線段可以看作是“一維正方體”，兩個端點可看作是兩個“面”；2、將線段向與它垂直的方向平移，平移距離是線段長a，兩個端點平移的軌跡是兩條線段，再加平移前后的兩條線段，構(gòu)成了正方形(可看作是二維正方體)的四(2=4)條邊(可看作是四個一維面)，平移前后的兩

3、條線段，共22=4個端點就是正方形的四個頂點(四個零維棱面)；3、把正方形沿與它所在平面垂直的方向平移距離a，四個頂點平移形成的4條線段與平移前后兩個正方形的8條邊，就構(gòu)成了(三維)正方體的12=22條(一維)棱(面)，正方形的每條邊平移形成的四個正方形與平移前后的兩個正方形就是三維正方體的6=2個面，平移前后的兩個正方形共8=23個頂點就是正方體的8個頂點4、假設(shè)n維正方體Vn的m(0m0)：a0=(-a,-a,-a,-a)a1=(2a,0,0,0)a2=(0,2a,0,0) an-1=(0,0,0,2a,0)an=(0,0,0,2a)則向量式方程(顯然a1,a2,a3,an線性無關(guān))r=a

4、0+k1a1+k2k2+knan (0ki1,i=1,2,3,n)表示的就是以原點為中心，棱長為2a的n維正方體Vn當k1,k2,kn中有m(1mn)個取值集合為0,1，其余n-m個ki的取值集合為區(qū)間0,1，此時方程表示的是Vn的n-m維棱面Vn-m從而有Vn的n-m維棱面Vn-m的個數(shù)為2m下面給出這2m個n-m維棱面Vn-m的一個排序方法設(shè)P(p1,p2,p3,pn)為n-m維棱面Vn-m上的整點，則p1,p2,p3,pn中有且只有m個的絕對值為a，其余的n-m個pi的絕對值都小于a即是從n個數(shù)字p1,p2,p3,pn中取出m個數(shù)字的組合數(shù)對于p1,p2,p3,pn中取出m個數(shù)字的任意兩

5、個不同的組合(i1i2im)與(j1j2jm)當i1j1時組合排在組合前(前面的序號小)，當ik=jk(k=1,2,m-1), ik+1k，那么當a=5,6,7,8時必有mk當a=5時，b,c的取法共有=10；當a=6時，b,c的取法共有=6；當a=7時，b,c的取法共有=3；當a=8時，b,c的取法只有一種9,10因此當a=5,6,7,8時，共有10+6+3+1=20個組合的序號大于k當a=4時，b=8,9才有mk，即只有組合4,8,9 4,8,10 4,9,10的序號大于k當a=4，b=7時，只有c=10，即只有組合4,7,10的序號大于k由此可知共有20+3+1=24個組合的序號大于k，

6、因此k=120-24=96，即組合4,7,9的序號為96例1驗證了推導的計算k的公式(二)是正確的下面再給出組合所對應(yīng)的那類2m個n-m維棱面的一個排序方法用2進制自然數(shù)表示當皆為負整數(shù)時令其序號為1即(-,-,-)1+0(+,-,-)1+1 稱為第一個位置為正,其余位置皆負;(-,+,-,-)1+102 (表示10為2進制自然數(shù),即21=2)稱為第二個位置為正,其余位置皆負;(+,+,-,-)1+112稱為第一，二個位置為正,其余位置皆負; 因此如果，第j1,j2,jp個位置為正，其余皆為負，則這個“符號向量”對應(yīng)的十進制自然數(shù)為 (三)例2設(shè)依次為-9,9,-9,-9,9,9,-9,-9,

7、9,-9(m=10)，則組合-9,9,-9,-9,9,9,-9,-9,9,-9在所有10個數(shù)的絕對值為9的(元素可重)組合中其序號為：1+2+24+25+28=1+2+16+32+256=307在中序號最大的組合為9,9,9,9,9,9,9,9,9,9，其序號為：1+20+21+22+23+29=1+(210-1)/(2-1)=210由此可知公式(三)也是正確的設(shè)P(p1,p2,p3,pn)為n-m維棱面Vn-m上的整點，且 max| p1|,|p2|,|p3|,|pn|其中 p1,p2,p3,pn，又=P且的符號皆為正，P中的其余整數(shù)符號皆為負那么點A(p1,p2,p3,pn)在n的一個n-

8、m維棱面P上按公式(一)(二)給出的排序方法知,棱面P在所有的n-m維棱面中的序號為： 2m(-+-+)+ (四)例3求10維歐氏空間點P(3,-2,0,-5,-3,-3,2,3,0,-3)的編號解：設(shè)點P的編號為k，由點P的坐標知，點P在棱長為10的正方體的一個(9維面內(nèi))，則正方體內(nèi)部的910=3486784401個點的序號均小于k而m=1,i1=4，符號向量為(-)，因此點P所在面V9的序號為21(10-7)+1=7，那么前6個(9維)面共有699=2324522934個點的序號小于k點P在V9內(nèi)的坐標相當于P(3,-2,0,-3,-3,2,3,0,-3) (V9的棱長為6，即每條棱上有

9、7個點)，且n=9,m=5那么V9內(nèi)部的點及維數(shù)大于9-5=4的面及棱面上的點的序號均小于k由公式(一)知又有59+2C58+22C57+23C56+24C55=37034375個點的序號小于k設(shè)點P在V9的四維棱面V4上，則V4對應(yīng)的參數(shù)依次為：i1=1,i2=4,i3=5,i4=7,i5=9,j1=1,j2=4，從而V4在V9的四維棱面中的序號為：25 (C- C+ C- C+ C- C+ C- C+ C- C)+1+20+23 =32(8765/24-65/2+43/2-3+2-1)+10=1898因此排在V4前面的1897個V9的四維棱面上共有189754=1185625個點的序號小于

10、k點P在V4上的坐標相當于P(-2,0,2,0)，可知點P在V4(每條棱上有5個點)的一個二維棱面V2上，因此的內(nèi)部及“三維”面上的34+2C33=297個點的序號小于k因為i1=1,i2=3,j1=2，因此V2的序號為22(C-C+C-C)+1+2=7，從而又有632=54個點的序號小于k點P在正方形V2上的坐標相當于P(-2,2)，即是四個頂點(-2,-2),(2,-2),(-2,2),(2,2)中的第三個(相當于n=2,m=2,i1=1,i2=2,j1=2，零維棱面即點P的序號為：22(C-C+C-C)+1+22-1=3)，從而也是V2上的52=25個整點的第24個因此序號小于k的整點的

11、個數(shù)為3486784401+2324522934+37034375+1185625+297+54+23=5849527709，從而點P的編號為5849527710例3的解題過程，可視為降維過程“降到點的坐標分量只剩下一個絕對值大于零的幾個或絕對值大于零且相等”時，才可最后計算出這個點的編號，因為這時已經(jīng)是棱面的頂點，或線段(棱)的端點例在12維空間內(nèi)，已知點P的編號為21012，求點P的坐標解：設(shè)點P的坐標為P(p1,p2,p9)因為912282429536481，11123138428376721，因此點P在棱長為5的12維正方體V12的表面上又而912+212911+2298/2910=1

12、956086048961912+212911+221211/2910+23121110/6992637946109601又因為99387420489，(21012-1956086048961)/99113.35, （2637946109601-1012）/(2399)14.17,由此可知點這P在V12的一條9維棱面V9上，即點P有三個坐標分量的絕對值是5；V9在的9維棱面中的序號為114，在中取三個元素的組合中的序號為15因為當i1=2時，組合的序號最小為CC+111(1210-109)/6+156，因此i1=1而以p1,p2為前兩個元素的組合的最大序號為C10，從而p1,p3,p4的序號為1

13、1，因此p1,p3,p8的序號為15當p1p3p9=-5時對應(yīng)的9維棱面的序號為148+1=113，因此只有當p1=5,p3p8=-5時才有V9的序號為114由21012-1956086048961-11399=135435782知，點P1(p2,p4,p5,p6,p7,p8,p10,p11,p12)在棱長為4的V9上的序號為135435782因為79=40353607，79+2978=144120025135435782，因此點P1在V9的一個棱長為6的8維面V8的表面上，即在p2,p4,p5,p6,p7,p9,p10,p11,p12中只有一個絕對值等于4，其余8個的絕對值均小于4由(135

14、435782- 40353607)/78=1649知，在29=18個V9的面中，序號為17，即p12=-4，且點P2(p2,p4,p5,p6,p7,p8,p10,p11)在V8上的序號為135435782- 40353607-1678=2845359由58+2857=1640625，58+2857+2287/256=33906252845359，知點P2在V8的一個棱長為6的6維棱面V6的表面上由(2845359-1640625)/5677.1，(2845359-1604625)/(5622)19.28知，V6的序號為78，所對應(yīng)的兩個元素的組合的序號為20計算易知，組合p6,p9的序號為20

15、，而20的4倍為80，因此p63,p9= -3由2845359-164025-7756=1609知，點P3(p2,p4,p5,p7,p10,p11)在V6上的序號為1609又36+2635=3645160936=729，因此點P3在V6的一個棱長為4的5維面V5上由(1609-729)/35=3.62，(6359-3645)/(3422)=1.81，知V4的序號為4，所對應(yīng)的組合序號為2，因此對應(yīng)坐標分量為p4,且p4=21609-729-335=151，即點P4=(p2,p5,p7,p10,p11)在V5上的序號為151由1+25+2254/2+2354/2+245=2111511+25+2254/2+2354/2=131知,點P4為第151-13120條棱的中點;又20/24=1.25,因此為p2,p5,p7,p10,p11中取4個元素的組合中的第二個,即組合為p2,p5,p7,p11，又20-164，所以p2=1,p5=1,p7= -1p11= -1因此p10=0，因此有點P的坐標為P(5,1,-5,2,1,3,-1,-5,-3,0,-1,-4)用例4的方法驗證例3，用例3的方法驗證例4，驗證結(jié)果都是正確的設(shè)n維正方體的m維棱面的個數(shù)為Em，則Em=2n-mC又(-1)n=(1-2)n=1-2C+22C-+(-1)m2mC+(-1)n2nC =1-En-1+En