數(shù)學(xué)史第02講數(shù)的發(fā)展史剖析課件

1、數(shù)的發(fā)展史從小學(xué)到大學(xué)我們學(xué)習(xí)數(shù)的過程為：自然數(shù)分?jǐn)?shù)小數(shù)有理數(shù)實數(shù)復(fù)數(shù)自然數(shù)概念的形成 數(shù)，作為人類對物體結(jié)合的一種性質(zhì)的認(rèn)識，是以長期經(jīng)驗為依據(jù)的歷史發(fā)展結(jié)果。此過程分為4個階段：（1）“多少”概念的形成。（2）對應(yīng)關(guān)系的建立與集合間等數(shù)性的發(fā)現(xiàn)。（3）對自然數(shù)“后繼性”的認(rèn)識。（4）科學(xué)技術(shù)法的確立。零的認(rèn)識“0”產(chǎn)生于其它整數(shù)之后，它的產(chǎn)生不是表示“無”，而是為了填補十進制計數(shù)法的空位，使十進制計數(shù)法得到完善。縱觀所有的國家，都沒有產(chǎn)生表示“無”的數(shù)來，是因為人們并不把“無”作為一個數(shù)量特征來對待。零的作用（1）是一個概念，表示一無所有。（2）在位值計數(shù)法中是空位。（3）是一個數(shù)，可以參

2、與計算。（4）是標(biāo)度的起點或分界，如數(shù)軸上的零，氣溫的零度。零的歷史 零從占位符到一個數(shù)的認(rèn)識這種觀念引發(fā)了全球很多思想家的想象。（1）首先是巴比倫人設(shè)計出表示某個位數(shù)不存在的符號，但巴比倫人沒有發(fā)明零，頂多留出空位，不表示一個數(shù)。（2）印度人對零的最大貢獻是承認(rèn)它不僅是一個數(shù)，而且還是空位或一無所有，該思想在公元前3世紀(jì)出現(xiàn)。（3）歐洲人對零的認(rèn)識較晚，是由航海家們將婆羅摩及多及其同行的著作帶到歐洲而得到傳播的。（4）公元879年，零的寫法幾乎與我們現(xiàn)在的寫法相同，是一個橢圓。分?jǐn)?shù) 分?jǐn)?shù)是在自然數(shù)之后產(chǎn)生的，最初出現(xiàn)的是單分?jǐn)?shù)。古埃及早在公元前1700多年前，已經(jīng)對單分?jǐn)?shù)有了完整的認(rèn)識。完整

3、的分?jǐn)?shù)概念是建立在整數(shù)之比基礎(chǔ)上的，它產(chǎn)生于整數(shù)的除法之中。在12世紀(jì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)線，后來由斐波那契著算盤書介紹阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，把分?jǐn)?shù)線一起介紹到歐洲。小數(shù) 小數(shù)，即不帶分母的十進分?jǐn)?shù)，完整稱呼是十進小數(shù)。小數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著十進制計數(shù)法從整數(shù)擴展到了分?jǐn)?shù)，使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一。小數(shù)的產(chǎn)生有兩個前提：（1）十進計數(shù)法的使用。（2）分?jǐn)?shù)概念的完善。我國對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識 中國很早就有合理的分?jǐn)?shù)表示法。在籌算中，除法本身就包含了分?jǐn)?shù)的表示法。在九章算術(shù)的“方田章”中，就有約分、通分、合分（分?jǐn)?shù)的加法）、減分（分?jǐn)?shù)的減法）、乘分（分?jǐn)?shù)的乘法）、經(jīng)分（分?jǐn)?shù)的除法）、課分（分?jǐn)?shù)大小的比較）、平分（求分?jǐn)?shù)的平均數(shù)

4、）等分?jǐn)?shù)的運算法則。九章算術(shù)是世界上最早系統(tǒng)敘述分?jǐn)?shù)的著作，比歐洲早1400余年。我國對小數(shù)的認(rèn)識 在公元3世紀(jì)，劉徽在給九章算術(shù)作注時，處理平方根的問題時提出了十進分?jǐn)?shù)，是世界上最早的?！胺查_積為方，求其徽數(shù)，徽數(shù)無名者，以為分子，其一退十為母，其在退以百為母，退之彌下，其分彌細，”。此話含十進分?jǐn)?shù)的三層意思：（1）在求一個數(shù)的平方根時，如開不盡可繼續(xù)開方，求其“徽數(shù)”，及整數(shù)以下小數(shù)部分的統(tǒng)稱。（2）“徽數(shù)”的表示法有兩種，一是署名，用比整數(shù)單位更小的單位名稱表示，二是以十進分?jǐn)?shù)表示。（3）十進分?jǐn)?shù)的表示法具有無限性。 我國十進小數(shù)的表示法直接影響了印度。歐洲關(guān)于十進小數(shù)的最大貢獻者是荷蘭

5、工程師斯臺文，是在制造利息表時體會到十進小數(shù)的優(yōu)越性，竭立主張把十進小數(shù)引到算術(shù)中。小數(shù)的現(xiàn)代記法由德國的克拉維斯在1608年的著作代數(shù)學(xué)中公諸于世。負(fù)數(shù) 人們在生活和生產(chǎn)實踐中經(jīng)常會遇到相反意義的量，比如，在記帳時有盈虧，在計算糧倉存米時，有時要記進糧食，有時要記出糧食。為了方便人們就考慮了用相反意義的數(shù)來表示，于是就引入了正負(fù)數(shù)的概念。人們習(xí)慣上把“贏利、買進、收入、上升、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“虧損、賣出、支出、下降、零下溫度”等規(guī)定為負(fù)。我國對負(fù)數(shù)的認(rèn)識 正數(shù)和負(fù)數(shù)這一對概念在我國沿用至今已有兩千多年，它是我國數(shù)學(xué)家對人類數(shù)學(xué)發(fā)展的重要貢獻之一。在公元100年時，我國的九章算術(shù)中明

6、確提出了負(fù)數(shù)的概念，以及正負(fù)數(shù)的運算，并在算籌中用紅色表示正數(shù)，用黑色表示負(fù)數(shù)。用不同顏色表示正負(fù)數(shù)的習(xí)慣，一直保留到現(xiàn)在。負(fù)數(shù)的產(chǎn)生，是中算算法思維的產(chǎn)物。在九章算術(shù)“方程術(shù)”中，使用遍乘直除法，會遇到減數(shù)大于被減數(shù)的情形，自然引入了負(fù)數(shù)。國外對負(fù)數(shù)的認(rèn)識 負(fù)數(shù)在國外得到認(rèn)識和承認(rèn)，比中國要晚得多。在印度，數(shù)學(xué)家婆羅摩及多于公元628年才認(rèn)識負(fù)數(shù)可以是二次方程的根，而歐洲在14世紀(jì)最有成就的法國數(shù)學(xué)家丘凱把負(fù)數(shù)說成是荒謬的數(shù)。直到17世紀(jì)荷蘭人日拉爾才首先認(rèn)識和解決幾何問題。與中國古代數(shù)學(xué)家不同，西方數(shù)學(xué)家更多研究負(fù)數(shù)存在的合理性。 負(fù)數(shù)的產(chǎn)生是解方程的需要，是中算算法思維的產(chǎn)物。如果說中國

7、、印度數(shù)學(xué)家為負(fù)數(shù)的引出作出了貢獻的話，那在數(shù)學(xué)上給負(fù)數(shù)應(yīng)有的地位是歐洲數(shù)學(xué)家，主要的有德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯、戴德金、皮亞諾。無理數(shù)的產(chǎn)生 公元前500年，畢達哥拉斯的弟子希帕蘇斯發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，一個正方形的邊與對角線的長度是不可公度的。這一發(fā)現(xiàn)與畢氏學(xué)派“萬物皆數(shù)”的哲理大相徑庭，這就使該學(xué)派首腦惶恐，認(rèn)為這將動搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希帕蘇斯因此被囚禁，最后甚至遭到沉舟身亡的懲罰。 不可公度的本質(zhì)是什么？長期以來眾說紛紜，兩個不可公度量的比值也一直被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)意大利藝術(shù)家達芬奇稱之為“無理的數(shù)”。17世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀的數(shù)”。人類對無理數(shù)的認(rèn)

8、識在數(shù)學(xué)史上具有特別重要的意義，它在希臘數(shù)學(xué)史上引起了一場大風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。 大約在公元前370年，希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯建立起一套完整的比例理論，可以避開無理數(shù)這一邏輯上的陷阱，并保留住以往幾何中的一些結(jié)論，從而暫時解決了由無理數(shù)的出現(xiàn)引起的數(shù)學(xué)危機。但他借助于幾何方法避免直接出現(xiàn)無理數(shù)而實現(xiàn)的，這就生硬地把數(shù)與形肢解開來。無理數(shù)只以幾何量的形式在幾何中是允許的、合法的，在代數(shù)中就是非法的、不合邏輯的，即無理數(shù)只被當(dāng)作是附在幾何量上的單純符號，而不被當(dāng)作真正的數(shù)。直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了一些基本的數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，承認(rèn)無理數(shù)的學(xué)者才多起來。直到19世紀(jì)下半葉實數(shù)理論建立以后

9、，無理數(shù)的本質(zhì)才徹底搞清，從而圓滿解決了第一次數(shù)學(xué)危機。第一次數(shù)學(xué)危機的沖擊 第一次數(shù)學(xué)危機對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有極大沖擊，也引起了古希臘人數(shù)學(xué)觀念的更新，造成兩方面的沖擊：（1）直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的。從此希臘人由重視計算轉(zhuǎn)向重視邏輯和推理，并在亞里士多德手中完成了古典邏輯學(xué)。（2）由于有理數(shù)不能包括一切幾何量，但幾何量可以表示一切數(shù)，從而希臘人認(rèn)為幾何比算術(shù)有著更重要的地位。整數(shù)的權(quán)威地位開始動搖，而幾何學(xué)的身份提高了，并由此建立了幾何公理體系。復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)起源于求解方程。中學(xué)教科書中以在實數(shù)集中無解為例引入虛數(shù)，這讓學(xué)生產(chǎn)生誤解，認(rèn)為虛數(shù)是這樣產(chǎn)生的。實際上，16世紀(jì)的二

10、次方程如果沒有實根就說它無解，根本不存在研究這種沒有意義的實際解答。但當(dāng)討論三次方程時，遇到了不可回避的問題，實根必須通過這種虛數(shù)來表示。16世紀(jì)意大利學(xué)者卡當(dāng)在重要的藝術(shù)一書中，公布了三次方程的一般解法即卡當(dāng)公式，是第一個把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家。 人們對虛數(shù)的認(rèn)識在數(shù)學(xué)界引起一片困惑。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的避難所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物?！比鹗繑?shù)學(xué)家歐拉曾說：“對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻?！比欢?，真理性的東西一定可以經(jīng)得起時間和空間的考驗，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的

11、努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈虛數(shù)揭去了神秘面紗。 在復(fù)數(shù)發(fā)展過程中，作出重要貢獻的數(shù)學(xué)家有：（1）法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在幾何學(xué)中使“虛的數(shù)”與“實的數(shù)”相對應(yīng)，提出虛數(shù)這一名稱，從此虛數(shù)才流傳開來。（2）法國數(shù)學(xué)家棣莫佛在1730年發(fā)現(xiàn)著名的棣莫佛定理：（3）瑞士的歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)著名的歐拉公式，第一次用i表示1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位。（4）德國數(shù)學(xué)家阿甘得在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，虛數(shù)能用復(fù)平面上的點來表示，建立了復(fù)平面，后來又稱“阿甘得平面”。（5）德國數(shù)學(xué)家高斯在1831年用實數(shù)組（a,b)代表復(fù)數(shù)a+bi，并建立了復(fù)數(shù)的運算，第一次提出復(fù)數(shù)這個名詞。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，而且還看作一個向量，并利用復(fù)數(shù)與向量間的一一對應(yīng)關(guān)系闡明了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法，至此復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。四元數(shù) 由于復(fù)數(shù)能用來表示和研究平面上的向量，而向量在物理學(xué)中很重要，如力，速度等。但數(shù)學(xué)家不久就發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的利用是受限制的。如幾個不在同一面上的力作用于同一物體時，就需要復(fù)數(shù)的一個三維類似物。對復(fù)數(shù)的類似推廣作出