2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷(含答案)

1、2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷（含答案）2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷(含答案)2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)II卷文科數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回注意事項(xiàng)：.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形 碼粘貼區(qū)。.選擇必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體 工整、筆跡清楚。.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草 稿紙、試卷上答題無(wú)效。.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破

2、、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.已知集合A=x|xT，6 = x|x0時(shí)，危尸，一 1,則當(dāng)v0)的焦點(diǎn)是橢圓一 + 二 1的一個(gè)焦點(diǎn)，則尸 3P PB. 3C.4D. 8.曲線）-2sin.v+cos.t在點(diǎn)（JI , - 1）處的切線方程為A. x-y-n-l = 0b. 2x-y-27t-l = 0C. 2x+y-2n+l = 0d. x+y一汽+1 = 011.己知 （0, ）, 2sm2a=cos2a+l,則 suia=A. |B.正5512.設(shè)F為雙曲線C：1=1(a0,

3、b0)的右焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓力+二=出 才lr交于P、。兩點(diǎn).若|PQ=|OF1，則C的離心率為A.品B. 73C. 2二、填空題：本題共4小題，每小，5分，共20分.12x + 3y-6 0, x + y - 3 V 0，則-3.t-y的最大值是.y-2g?q,求數(shù)列a的前項(xiàng)和.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了 100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相 對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷（含答案）2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷（含答案）V的分組-0.20,0)0,0.20)0.20,0.40

4、)0.40,0.60)0.60,0.80)企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（精確到0.01）附：Q % 8.602.已知,人是橢圓C：二十二=1（40）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為。上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn). tr lr（1）若POE為等邊三角形，求C的離心率：一（2）如果存在點(diǎn)P,使得分；，也，且大?后的面枳等于16,求b的值和，的取值范圍.已知函數(shù)/（x） = （x-l）lnx-x-l 證明：（1）/（M存在唯一的極值點(diǎn)；/。）=0有且僅有兩個(gè)

5、實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，。為極點(diǎn)，點(diǎn)用（夕。,4）（7%0）在曲線C：0 = 4su】夕匕 直線/過(guò)點(diǎn)A（4,0）且與垂直，垂足為P.（1）當(dāng)q=g時(shí)，求夕。及/的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在。上運(yùn)動(dòng)旦P在線段OM上時(shí)，求戶點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.選修4-5：不等式選講己知 /（X）=| X-I x+1 %- 21 （x-a）.（1）當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/。）。的解集； （2）若xw（yo,1）時(shí)，f（x） 一1, B = xx,46,546共 10 種.其 中恰有

6、2只做過(guò)測(cè)試的取法有。也4,。,瓦陰,。4,44用,瓦64,瓦。6共6種,所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為5 = 選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查占典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.應(yīng)用列舉法 寫出所有基本事件過(guò)程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹(shù)圖法”，可最大限度的避免出 錯(cuò).在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè).2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷（含答案）2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷（含答案）甲：我的成績(jī)比乙高.乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高.丙：我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高

7、到低的次序?yàn)锳.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績(jī)高，丙比乙成績(jī)低，故3人成績(jī)由高到低依次 為甲,乙，丙：若乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙 的成績(jī)高，乙比甲成績(jī)高，即丙比甲，乙成績(jī)都高，即乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意，故選A.【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯 推理能力的考查.設(shè)危）為奇函數(shù)，且當(dāng)后0時(shí)，公尸/-I，則當(dāng)內(nèi)0時(shí)，危尸A. e-x-lB. e- + l-e-r

8、-1D. -e-J +1【答案】D【解析】【分析】先把zo,轉(zhuǎn)化為“o,代入可得/（-X）,結(jié)合奇偶性可得了（M.【詳解】（X）是奇函數(shù)，/Vo）= + 當(dāng) x0, /（-x） = e-T-l = -/（x）,得 xo改）/（彳）=一6-+ 1.故選口.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性和解析式，滲透了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),采取代換法，利用轉(zhuǎn)化 與化歸的思想解題.設(shè)。，夕為兩個(gè)平面，則a夕的充要條件是A. a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與夕平行.。內(nèi)有兩條相交直線與平行C.a,夕平行于同一條直線a,P垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透宜觀想象、邏輯推理

9、素養(yǎng)，利用面面平行的判定 定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知：。內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是。夕的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若a/,則。內(nèi)任意一條直線都與夕平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是。/夕的必要 條件，故選B.【點(diǎn)睛】面面平行的判定問(wèn)題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如:“蘇aua,bu/3、aHb,則a/7”此類的錯(cuò)誤.若m=。，工=J是函數(shù)兒q=sin公r（口0）兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則刃= 44【答案】A【解析】【分析】從極值點(diǎn)可得函數(shù) 周期，結(jié)合周期公式可得3.【詳解】由題意知，/（x） = sinox的周期7 =2（

10、?一?）=冗，得0=2.故選A.co 4 4【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取公式 法，利用方程思想解題.若拋物線（p0）的焦點(diǎn)是橢圓上+匕=1的一個(gè)焦點(diǎn)，貝ljp= 3P PA. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】利用拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)即可列出關(guān)于P的方程，即可解出P，或者利用檢驗(yàn)排除的方法，如P = 2時(shí)，拋物線焦點(diǎn)為（1，0）,橢圓焦點(diǎn)為（2, 0）,排除A,同樣可排除B, C,故選D. 22【詳解】因?yàn)閽佄锞€f = 2川（0）的焦點(diǎn)（4,0）是橢圓二+ L = 1的一個(gè)焦點(diǎn)，所以3p =（少, 23Pp2解得

11、p = 8,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng).10.曲線y-2slm+COSX在點(diǎn)（n , - 1）處的切線方程為A. x-y-K-l = 0B. 2x-y-2n-l = 0C. 2x+ y-2n+l = 0D. x+y-九+1 = 0【答案】c【解析】【分析】先判定點(diǎn)（兀-1）是否為切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳 解】 當(dāng)x-71時(shí)，y = 2sui7t+cos7t = -l , 即點(diǎn)（工-1）在曲線 y = 2suix + cos工 上. y = 2cosx-smx, /. 門” =2cos7一sin乃=-2,則 y = 2sinx+co

12、sx 在點(diǎn)（九，一 1）處的切線方程 為了一（-1） = -2（工一五），即2x+y-27t+l = 0.故選c.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研窕曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取 導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題.學(xué)生易在非切點(diǎn)處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯(cuò)，首先證明己知點(diǎn)是否為切點(diǎn)， 若是切點(diǎn)，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)，再求導(dǎo)，然后列出切線方程.11.已知(0,),2sin2a=cos2a+l,則 sma=2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷（含答案）2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷（含答案）2020年全國(guó)統(tǒng)一高考文科數(shù)學(xué)全國(guó)II卷(含答案)C.叵

13、3D.拽5【答案】B【解析】【分析】，二 cosa0.利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范闈及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案.【詳解】2sin2a = cos2a + l,4 sin a - cos a = 2 cos- a. / a gsma0, 2sma = cosa,又sin? a + cos? a = 1，.-.5snfa = l, suf a =-,又 sina0, 5sill a = 故選 B. 5【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)中：倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負(fù)， 運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問(wèn)題，研究角的范鬧后得出三角函數(shù)值的正負(fù)，很

14、 關(guān)健，切記不能憑感覺(jué).12.設(shè)尸為雙曲線C廠 后一瓶(). A0)的右焦點(diǎn).。為坐標(biāo)原點(diǎn),以。產(chǎn)為直徑的IM1與圓爐+二=?交于尸、。兩點(diǎn).若IP0HOF1，則c的離心率為A. V2B. 71C.2D. 6【答案】A【解析】【分析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)P。與x軸交于點(diǎn)4,由對(duì)稱性可知尸。，工軸，又|P=|OF|=c, .|尸4卜/.PA為以。尸為直徑的圓的半徑，.人為圓心|。4|=.又尸點(diǎn)在圓X。+ V =/上,二=2.6T審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心

15、率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化練 習(xí)，才能在解決此類問(wèn)題時(shí)事半功倍，信手拈來(lái).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.2x+3y-60,13.若變量X, V滿足約束條件（x+y-30,則z=3x-y的最大值是y-2/?0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn). b-(1)若APOF二為等邊三角形,求C的離心率：(2)如果存在點(diǎn)。，使得口;；，2月，且尸；?E的面積等于16,求人的值和a的取值范圍.【答案】(1) e =(2) b = 4, a的取值范圍為【解析】【分析】(1)先連結(jié)尸,由尸收為等邊三角形，得到與桃=90 , |尸乙| = c, |尸| = J?。；再由橢圓定義,

16、即可.求出結(jié)果:（2）先由題意得到，滿足條件的點(diǎn)P（.%y）存在，當(dāng)且僅當(dāng)二汁2c = 16, 上上 =-1,二+=1, 2x+c x-c cv lr根據(jù)三個(gè)式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連結(jié)咫，由尸。后為等邊三角形可知：在耳尸耳中，Zf；PF,=90 , PF2 = ct冏| =瓜，于是 2a = |尸勺 += c+&，c 2故橢圓C的離心率為e = =7= = JJ1 ：a 1 + V3,22（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)尸工y）存在，當(dāng)且僅當(dāng)#12 = 16,=2+:=1,2x+c x-c cr lr即 c|y| 二 16 丁 + y2 = c2 由以及/=/ +

17、c2得y?=4,又由知獷=(,故 =4；C-C-由得所以/之/，從而笛=;/+/之2/=32,故a之4心當(dāng) =4,點(diǎn)時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)故 =4, 的取值范圍為4a.XO）.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿足題中條件的問(wèn)題，熟記橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 即可求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔試題.21.已知函數(shù)/（）=。-1）111工一%-1.證明：（1）八刈存在唯一的極值點(diǎn)；（2） /（x）=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解【解析】【分析】(1)先對(duì)函數(shù)/5)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯一/，使得/(%) = 0,進(jìn)而可得判斷函數(shù) 的

18、單調(diào)性，即可確定其極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明出結(jié)論成立：(2)先由(1)的結(jié)果，得到/(%)/(1) = -20,得到/(M = 0在(x。,一)內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作再求出/(工)=0,即可結(jié)合題意，說(shuō)明結(jié)論成立. a【詳解】(1)由題意可得，的定義域?yàn)?。,+8),X 11得/(x) = lnx + 1 = liix，xx顯然:。)二山.1一！單調(diào)遞增；X1 in 4 -1 又(1) = 70t故存在唯一”,使得/(%)=0：又當(dāng)時(shí)，r(x0)0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0 xx。時(shí)，fx0)0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減： 因此，/J)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)由(1)知，/(.v0)/0)=-2,又/(片)=-3

19、0,所以/。) = 0在(與,*0)內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作大=a.由1%0）在曲線U0 = 4sill。上，直線/過(guò)點(diǎn)4（4,0）且與 垂直，垂足為P.（1）當(dāng)時(shí)，求P。及/的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且尸在線段OM上時(shí)，求尸點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）夕。=2道，/的極坐標(biāo)方程為0sin（e +2）= 2： （2） p = 4cos6（0）在曲線C：0 = 4sm9上，所以2 = 4sin q = 4sin g = 2；即 M（23,-）,所以kOM = tan = /3 ,因點(diǎn)線/過(guò)點(diǎn)A（4,0）且與OM垂直，所以直線/的直角坐標(biāo)方程為產(chǎn)-等5-4），即戶、，一4 二 0;因此，其極坐標(biāo)方程為夕cos6+J%sm6 = 4,即/的極坐標(biāo)方程為*in（+。）= 2：6（2）設(shè)尸（x,y）,則&8 =2，kA產(chǎn)仁,x x-