2016年高考四川理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、 2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(四川卷)數(shù)學(xué)(理科)第I卷(共50分)-、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.【2016年四川，理1,5分】設(shè)集合A=x1-2xx1,【2016年四川，理7,5分】設(shè)p:實(shí)數(shù)x，y滿足(x1)2+(y1)21x,、y1,則p是q的()(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖，(x1)2+(y1)22表示圓心為(1,1)，半徑為“2的圓內(nèi)區(qū)域所有點(diǎn)(包括邊界)一y三x1,y三1x,表示AABC內(nèi)部區(qū)域所有點(diǎn)(包括邊界).實(shí)數(shù)x，y滿足則必然

2、滿足,、yW1反之不成立.則p是q的必要不充分條件，故選a.【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分性與必要性的判斷問(wèn)題，首先是分清條件和結(jié)論，然后考察條件推結(jié)論，結(jié)論推條件是否成立.這類問(wèn)題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)考，本題條件與結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的關(guān)系，利用充分性、必要性和集合的包含關(guān)系得結(jié)論.線段PF上的點(diǎn),(A)亙3【答案】C且|pm|二2|mf|，則直線OM斜率的最大值為() HYPERLINK l bookmark74 o Current Document 72(B)2(C)鼻 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 2(D)【解析】如圖，

3、由題可知F彳,0,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為V2丿，顯然，當(dāng)y0時(shí),0,y0丿時(shí)，k0，要求k最大值，不妨設(shè)y0.OMOM0 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 11()12貝yOM=OF+FM=OF+FP=OF+OPOF丿二OP+OF= HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 3333k0；OMy0kOM弓=2冬丄隹器+一斗+才2亍26P3Py0當(dāng)且僅當(dāng)y2=2p2等號(hào)成立，故選C.0【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意要求,利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，是我們求點(diǎn)坐標(biāo)的

4、常用方法，由于要求最大值，因此我們把k斜率用參數(shù)t表示出后，可根據(jù)表達(dá)式形式選用函數(shù)，或不等式的知識(shí)求出最值，本題采用基本不等式求出最值.(8)2016年四川，理8,5分】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)，M是 4 (9)【2016年四川，理9,5分】設(shè)直線/，/分別是函數(shù)f(x)斗12垂直相交于點(diǎn)p，且-，分別與y軸相交于點(diǎn)a，(A)(0,1)1(B)(0,2)【答案】A【解析】解法1：設(shè)P(x,y),P(x,y)(xx)，易知x1，111222121廠-lnx,0 x1,圖象上點(diǎn)p,p處的切線，I與lnx,x1,121B，則APAB的面積的取值范圍是(C

5、)(0,+s)(D)(1+s)x1，k_-丄,k2l1xl：12xx_1，則直線l:121TOC o 1-5 h zy_-+1-lnx，l:y_丄x+lnx一1，與y軸的父點(diǎn)為(0,1-lnx),(0,lnx-1)，設(shè)a_x1，則父點(diǎn)橫x12x21212，故SG(0,1)APAB122坐標(biāo)為一1，與y軸的交點(diǎn)為(0,lna+1),(0,lna-1)，則SAPAB_勺x2x亍_亍a+a+a+令X1=2,X2=2，算aaa解法2：特殊值法，若x_x_1，可算出S_1，丁x幻，故S豐1，排除BC；12APABAPAB出S1，故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題首先考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其次考查最值問(wèn)題，解題時(shí)可設(shè)出切

6、點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線垂直求出這兩點(diǎn)的關(guān)系，同時(shí)得出切線方程，從而得點(diǎn)A,B坐標(biāo)，由兩直線相交得出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得面積，題中把面積用&表示后，可得它的取值范圍.解決本題可以是根據(jù)題意按部就班一步一步解得結(jié)論.這也是我們解決問(wèn)題的一種基本方法，樸實(shí)而基礎(chǔ)，簡(jiǎn)單而實(shí)用.(10)2016年四川，理10,5分】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,D滿足DA=DB=DC,DADB_DBDC_DC-DA_-2，動(dòng)點(diǎn)P,M滿足AP=1,PM_MC，則BM2的最大值是()(C)37+朋449(B)494(D)37+2334(A)434【答案】B【解析】由題意，DA_DB_DC，所以D到A,B,C三點(diǎn)的距離相等，D是AABC

7、的外心；)_DB-CA_0,所以DB丄AC,因此AABC是DA-DB_DB-Dc_Dc-DA_-2nDA-DB-DB-DC_DB-6A-DC同理可得，DA丄BC,DC丄AB，從而D是AABC的垂心；.AABC的外心與垂心重合，廠1)2丿：DA_2所以正三角形AABC的邊長(zhǎng)為2巧；我們以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，B,C,D三點(diǎn)坐標(biāo)分別為BG,-3),CG,由)，D(2,0)。由|AP|_1，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos0,sin0)，其中0g0,2d，而PM_MC，即M是PC的中點(diǎn)，可以寫出M的坐37+12sin0I6丿4_44正三角形，且D是AABC的中心；DA-DB_DADBcosZADB_DADB

8、x標(biāo)為M3+cos0+sin0、2BMcos0-3、16-237+1249,ic49當(dāng)0_丁兀時(shí)，BM取得最大值，故選B.4軌跡是圓，BM【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積與向量的模，由于結(jié)論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個(gè)參數(shù)表示出來(lái)，解題時(shí)首先對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，本題中得出ZADC_ZADB_ZBDC_12疔，且DA_DB_Dc_2，因此我們采用解析法，即建立直角坐標(biāo)系，寫出a,b,c,d坐標(biāo)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)p的(x+1)2+(y+3,3)，因此可用圓的性質(zhì)得出最值.第II卷(共100分)二、填空題：本大題共5小題，每小題5分.(11)【2016年四川，理11,5分】cos2一si

9、n2=88【答案】乂2【解析】由題可知，cos2-sin2=cos=(二倍角公式).8842【點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)來(lái)自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本.有許多三角函數(shù)的求值問(wèn)題一般都是通過(guò)三角函數(shù)的公式把函數(shù)化為特殊角的三角函數(shù)值而求解.(12)【2016年四川，理12,5分】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是【答案】32113【解析】由題可知，在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功(即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為戶=1-2X2=4了3、2次獨(dú)立試驗(yàn)成功次數(shù)X滿足二項(xiàng)分布XB2,3k4丿【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)變量的

10、均值(期望)，根據(jù)期望公式，首先求出隨機(jī)變量的所有可能取值x,x,x,再12n求得對(duì)應(yīng)的概率P(i=1,2,n)，則均值為丫xP.iii【2016年四川，理13，5分】已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是.【答案】心3【解析】由題可知，三棱錐每個(gè)面都是腰為2的等腰三角形，由正視圖可得如下俯視圖，且丄x2逅x1、k2丿【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖，考查幾何體體積，考查學(xué)生的識(shí)圖能力.解題時(shí)要求我們根據(jù)三視圖想象出幾何體的形狀，由三視圖得出幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體(柱、錐、臺(tái)、球)的三視圖以及各種組合體的三視圖.【2016年四川，理14

11、,5分】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，、11三棱錐高為h=1，則面積V=3Sh=-Xi=1正視團(tuán)幅視圖.當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)=4x,(5、則f-k2丿【答案】-2【解析】首先，f(x)是周期為2的函數(shù)，所以f(x)=f(x+2)；而f(x)+f(1)=所以：f(1)=f(1),f(1)=f(1)，即f(1)=0，又f-是奇函數(shù),(1)-2丿=所以f(x)=f(x),(1、-f-k21=42+f(l)=-2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時(shí),只要把/-5丿和f(1)，利用奇偶性與周期性化為(0,1)上的函數(shù)值即可.(15)在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P(x

12、,y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為PX2+y2；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C定義為曲線C的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A，貝y點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A;單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C關(guān)于y軸對(duì)稱；一條直線的“伴隨曲線”疋一條直線.其中的真命題是(寫出所有真命題的序號(hào)).【答案】【解析】設(shè)A的坐標(biāo)(x,y)，伴隨點(diǎn)A=,A伴隨點(diǎn)橫坐標(biāo)為xX2+y2(n)(n丫cos0,sin0-Jj2丿J_2丿丿同理可得縱坐標(biāo)為一歹，故A”=(-兀-y).錯(cuò)誤;設(shè)單位圓上點(diǎn)P坐標(biāo)為(cos0

13、,sin0)，則P伴隨點(diǎn)坐標(biāo)為P=(sin0,-cos0)=n所以P也在單位圓上，即：P點(diǎn)是P點(diǎn)延順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)正確；2設(shè)曲線C上點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y)，其關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A=(x,y)也在曲線C上，所以點(diǎn)A的伴隨點(diǎn)1，a與a關(guān)于y軸對(duì)稱。正確;1，點(diǎn)A1的伴隨點(diǎn)Al=一y一x反例：例如y=1這條直線，則A=(0,1),B=(1,1),C=(2,1)，而這三個(gè)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)分別是A=(1,0),(1122丿Jx2+y2x2+y2丿三，C=5，2，而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上下面給出嚴(yán)格證明：設(shè)點(diǎn)P(x,y)在直線155丿l:Ax+By+C=0，P點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為P=(x0,y0)，則y0yx2+y2xx2+

14、y2x2+y200 x0 x2+y200yx帶入直線方程可知：A0+B0+C=0，化簡(jiǎn)得：-Ay+Bx+C(x2+y2)=0，x2+y2x2+y200000000當(dāng)C=0時(shí)，C(x2+y2)是一個(gè)常數(shù)，P的軌跡是一條直線；當(dāng)C豐0時(shí)，C(x2+y2)不是一個(gè)常0000數(shù)，P的軌跡不是一條直線所以，直線伴隨曲線不一定是一條直線.錯(cuò)誤.【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義問(wèn)題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向.它考查學(xué)生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，新定義的概念實(shí)質(zhì)上只是一個(gè)載體，解決新問(wèn)題時(shí)，只要通過(guò)這個(gè)載體把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識(shí)即可.本題新概念“伴隨”實(shí)質(zhì)是一個(gè)變換

15、，一個(gè)坐標(biāo)變換，只要根據(jù)這個(gè)變換得出新的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷，問(wèn)題就得以解決.三、解答題：本大題共6題，共75分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或步驟.(16)【2016年四川，理16，12分】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照0,0.5),0.5,1),，4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.求直方圖中a的值；設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估

16、計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由;若該市政府希望使85%的居民每月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由.解：(1)由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1,T頻率=(頻率/組距)*組距,0.5x(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1，得a=0.3.(2)由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為0.5x(0.12+0.08+0.04)=12%，全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為：30 x12%=3.6(萬(wàn)).(3)由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占百分比為：0.5x(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.7

17、3即73%的居民月均用水量小于2.5噸，同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故2.5x0，貝9sinA=cosA3cosAcosBsinC”.cosB11=，即=，由(1)可知+=1,=,sinA4sinAsinBsinCsinBtanB4tanB=4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.在解三角形的應(yīng)用中，凡是遇到等式中有邊又有角時(shí)，可用正弦定理進(jìn)行邊角互化,一種是化為三角函數(shù)問(wèn)題，一般是化為代數(shù)式變形問(wèn)題.在角的變化過(guò)程中注意三角形的內(nèi)角和為180。這個(gè)結(jié)論，否則難以得出結(jié)論.(18【2016年四川，理18,12分】如圖，在四棱錐P

18、-ABCD中,AD/BC，ZADC=ZPAB=BC=CD=-AD,E為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90。.2在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM/平面PBE，并說(shuō)明理由；若二面角P-CD-A的大小為45。，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.解：延長(zhǎng)AB，交直線CD于點(diǎn)M，丁E為AD中點(diǎn)，AE=ed=2AD，/BC=CD=iAD,ED=BC,AD/BC即ED/BC,2四邊形BCDE為平行四邊形，BE/CD,ABdCD=M,.MgCD,CM/BE,BEu面PBE,CM/面PBE,MgAb,ABu面PAB,Mg面PAB故在面PAB上可找到一點(diǎn)M使得CM/面PBE.(2)解法1：過(guò)A

19、作AF丄EC交EC于點(diǎn)F,連結(jié)PF,過(guò)A作AG丄PF交PF于點(diǎn)G,ZPAB=90,PA與CD所成角為90，:PA丄AB,PA丄CD,ABPlCD=MPA丄ABCD,ECu面ABCD,PA丄EC,EC丄AF且AFC1AP=ACE丄面PAF,AGu面PAFAG丄CE,/AG丄PF且AGPIAF=AAG丄面PFC,AZAPF為所求PA與面PCE所成的角，PA丄面ABCD,ZADC=90即AD丄DC.ZPDA為二面角P-CD-A所成的平面角，由題意可得ZPDA=45,而ZPAD=90，:PA=AD,/BC=CD,四邊形BCDE是平行四邊形，ZADM=90,四邊形BCDEZAEF=ZBEC=45，丁ZA

20、FE=90，:AF=AE,2是正方形，：ZBEC=45,吉，siSF=3.込ADtanZAPF=APAP4解法2：由已知，CD丄PA,CD丄AD,PAnAD=A，所以CD丄平面PAD.于是CD丄PD.從而ZPDA是二面角P-CD-A的平面角.所以ZPDA=45。.由PA丄AB，可得PA丄平面ABCD.設(shè)BC=1，則在RtAPAD中，PA=AD=2.作Ay丄AD，以A為原點(diǎn)，以AD，AP的方向分別為x軸,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0),所以PE=(1,0,2)，EC=(1,1,0)，AP=(0,0,2

21、)，設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由n巴=0，得X-2Z=0,設(shè)x=2，解得n=(2,-2,l).nEC=0 x+y=0，設(shè)直線PA與平面PCE所成角為a,則sina=n-APnAP=2=2XJ22+(2)2+121所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為3點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.證明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過(guò)面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件(線在面內(nèi)，線在面外)要寫全，否則會(huì)被扣分，求線面角(以及其他角)，一種方法可根據(jù)定義作

22、出這個(gè)角(注意還要證明)，然后通過(guò)解三角形求出這個(gè)角.另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求角，這種方法主要是計(jì)算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可.(19)【2016年四川，理19，12分】已知數(shù)列a的首項(xiàng)為1，S為數(shù)列a的前n項(xiàng)和，nnnngN*.1若2a,a,a+2成等差數(shù)列，求a2321設(shè)雙曲線x2-=1的離心率為ea2n+=q(S+)n+1q-1nq-1故3q+2=2q2，又q0，S=qS+1，其中n+1nq0,1)2)解：(1)S2)由雙曲線的性質(zhì)可知，e=n通項(xiàng)公式為41n-1S+nq-1則q=2，故*12+a2n=x1=的通項(xiàng)公式；，且e=，證明：231+丄1、q

23、-1丿a=2n-1.n5，即q=4334n-3ne+e+e12n3n-1上血，當(dāng)n2時(shí)，a1-qn當(dāng)n=1時(shí)也滿足，故a=2n-1，:a=2n-1,ngN*.nnqn-1,=S-S=qn-1，nn-1石，由(1)可得，a為首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列,nn，.:a為首項(xiàng)為1,n4公比為3的等比數(shù)列,(412n-241n-1441412141e+e+e+.+e1+卜+123n313丿13丿nnn-11-4n-3n3n-1原式得證.點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.在第a)問(wèn)中，已知的是s的遞推式，在與S的關(guān)系式

24、中，經(jīng)常用n-1代nn換n(n2)，然后兩式相減，可得a的遞推式，利用這種方法解題時(shí)要注意a；在第(2)問(wèn)中，不n1等式的證明用到了放縮法，這是證明不等式常用的方法，本題放縮的目的是為了求數(shù)列的和.另外放縮時(shí)要注意放縮的“度”.不能太大，否則得不到結(jié)果.(20)【2016年四川，理20，13分】已知橢圓E:芒+蘭=1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角a2b2形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線/交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)尢，使得IPT|2=九|P

25、AIIPBI，并求尢的值.解:(1)設(shè)短軸一端點(diǎn)為C(0,b)，左，右焦點(diǎn)分別為F(-c,0),F(c,0)(c0)，則c2+b2=a2.12由題意，ye為直角三角形1習(xí)=F1C12+1F2C12解得b=C七a，:E:釜+養(yǎng)-1-代入1:y-x+3可得3x2-12x+18-2b2二0./與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)，則A=122-4-3(18-2b2)=0,、解得b2=3.E：|+號(hào)-1由b2-3，解得x-2，則y-x+3-1，所以丁的坐標(biāo)為(2(2)設(shè)S，3-)在1上，由koT-2,1平行OT.得1的參數(shù)方程為x-x+2t0y-3-x+t0代入橢圓E得(x+2t)2+2(3-x+1)2-6.整理可得2t2+4t+x2-4x+4-0.設(shè)兩根為t，則有t-1-(Xo-2)2.0000ABAB2而|pt|2-(x-2)2+(3-x-1)2丿-2(x-2)2，|pa|=卜5t，|戶3|=卜兮.故有|pa|pb|-1坂/馮-2(xo-2)2.由題