有限元理論基礎(chǔ)

1、有限元理論基礎(chǔ)有限元理論基礎(chǔ)2.1數(shù)值模擬技術(shù)2.1.1數(shù)值模擬技術(shù)簡介liiJliiJ在工程技術(shù)領(lǐng)域中許多力學(xué)問題和場問題， 實(shí)質(zhì)上就是在一定的邊界條件下求解一些微分 方程。對(duì)于少數(shù)簡單問題，人們可以通過建立它 們的微分方程與邊界約束求出該問題的解析解。 但是對(duì)于比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)方程問題以及不規(guī)則 的邊界條件通過激吻戲法往往難以求解，而需要 借助各種數(shù)值模擬方法活的相應(yīng)的工程數(shù)值解， 這就是所謂的數(shù)值模擬技術(shù)。在實(shí)際工程領(lǐng)域中，用數(shù)值模擬技術(shù)可以對(duì)復(fù) 雜的工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力和響應(yīng)分析，這樣可以在 設(shè)計(jì)或者加工前預(yù)知實(shí)體結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)下的大 概情況。目前在工程實(shí)際應(yīng)用中，常用的數(shù)值求解方法 有：有限

2、單元法、有限差分法、邊界元等但從實(shí) 用性和使用范圍來說，有限單元法則是隨著計(jì)算 機(jī)技術(shù)的發(fā)展而被廣泛應(yīng)用的一種行之有效的 數(shù)值計(jì)算方法。2.2.2有限元法有限元法是一種基于能量原理的數(shù)值計(jì)算方法，是解決工程實(shí)際問題的一種有效的數(shù)值計(jì) 算工具。它是里茨法的另一種表示形式，它可應(yīng) 用里茨法分析的所有彈性理論。限元法是處理連續(xù)的結(jié)構(gòu)體離散或有限個(gè) 單元集合，也就是將連續(xù)的求解域離散為一定數(shù) 量的單元集合體。且每個(gè)單元都具有一定的節(jié) 點(diǎn)，相鄰單元通過節(jié)點(diǎn)相互連續(xù)，同時(shí)使用等效 節(jié)點(diǎn)力代替作用于單元上的力和選定場函數(shù)的 節(jié)點(diǎn)值作為基本未知量。并在每一單元中假設(shè)一 個(gè)近似插值函數(shù)以表示單元中場函數(shù)的分布規(guī)

3、 律:進(jìn)而利用力學(xué)中的某些變分原理去建立用以 求解節(jié)點(diǎn)未知量的有限元法方程，從而將一個(gè)連 續(xù)域中的無限自由度問題化為離散域中的有限 自由度問題。求解后，可利用解出的節(jié)點(diǎn)值和設(shè) 定的插值函數(shù)確定整個(gè)單元集體上的場函數(shù)。 有限元求解問題中的單元分析：f，_&, 式中：，:單元節(jié)點(diǎn)作用力。K，：單元?jiǎng)偠染仃?。K I/單元節(jié)點(diǎn)位移。a t通過單元分析確定單元?jiǎng)偠染仃?，建立單元?jié)點(diǎn) 作用力和單元為伊關(guān)系。有限元求解問題時(shí)建立 的結(jié)構(gòu)整體平衡方程：KU二P式中：P結(jié)構(gòu)整體等效點(diǎn)力載荷K結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣U結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移陣列 單元內(nèi)力的計(jì)算： 式中：q = DBatD彈性矩陣P一應(yīng)變矩陣整個(gè)結(jié)構(gòu)的有限元分析就是

4、一句上述方程而進(jìn)行的具體的有限元求解過程如圖2.2有限元法的基礎(chǔ)理論2.2.1有限元法理論在有限元法中，單元的應(yīng)變一移關(guān)系可表示為：t = Bu式中：t應(yīng)變向量u移向量B應(yīng)變一位移變換矩陣單元的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系表示為：bDU JGI=j式中：。應(yīng)力向量D 材料相關(guān)系數(shù)在線彈性材料條件下，D矩陣是一個(gè)常量：在非 線性彈性材料中，D矩陣上市應(yīng)變t的函數(shù)。有限元?jiǎng)偠确匠虨椋篕uP式中：P結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣K單元?jiǎng)偠染仃嚻渲袉卧獎(jiǎng)偠染仃嘖為：k BtDBdV式中：V積分域?qū)τ诜蔷€性彈性材料而言，D矩陣和單元?jiǎng)?度矩陣K均是應(yīng)變t和位移u的函數(shù)。在小變形 問題中，矩陣B與位移u沒有相關(guān)關(guān)系。而在 大變形問題

5、時(shí)，矩陣B和單元?jiǎng)倓偠?矩陣K則均是位移u的函數(shù)。在輪胎分析中，輪胎由于充氣和垂直載荷等 作用，輪胎結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生較大的變形，輪胎集合結(jié) 構(gòu)的這種變形屬于集合非線性問題。輪胎結(jié)構(gòu) 本身又是多種材料構(gòu)成的復(fù)合體，其材料屬性既 有各向同性又有各項(xiàng)異性，這屬于材料非線性問 題。在輪胎的靜態(tài)解觸、自由滾動(dòng)和動(dòng)態(tài)接觸狀 態(tài)下，輪胎與路面之間的接觸，又涉及到接觸非 線性問題提。2.2.2應(yīng)力一應(yīng)變理論有限元是里茨法的另一種表示形式，它可應(yīng) 用里茨法分析的所有彈性理論，而應(yīng)力一應(yīng)變理 論則是里茨分析法的彈性理論的基礎(chǔ)。因此在有 限元分析中，一般使用彈性理論俺就載荷作用下 物體中的內(nèi)力狀態(tài)和變形規(guī)律。1應(yīng)力物體收

6、到外力的作用時(shí)發(fā)生變形，這種 變形改變了物體內(nèi)各分子間的間距，在物體內(nèi)形 成了一個(gè)內(nèi)立場。當(dāng)內(nèi)力和外力相互平衡時(shí)，變 形不再繼續(xù)，物體達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)。這種由于物體受外力的作用因其物體的 變形，而導(dǎo)致內(nèi)部各部分之間因相對(duì)位置改變而因其的相互作用，這種相互作用成為內(nèi)力。所謂 應(yīng)力，就是指分布內(nèi)力系在物體內(nèi)某一點(diǎn)處的強(qiáng) 弱的相互作用。為了研究物體內(nèi)某一點(diǎn)C處的 內(nèi)力，假設(shè)用以經(jīng)過點(diǎn)C的截面mm將物體分 開，在這選取包含點(diǎn)C的一個(gè)部分進(jìn)行研究。如圖2.2所示。圍繞點(diǎn)C取微笑面積勇，小上存 八A八A在著分布內(nèi)力系的合力閉，如圖2.2b所示。八”的 大小和方向與點(diǎn)C的位置和徵的大小密切相關(guān)。 八尸與由的

7、比值成為平均應(yīng)力。八F 八APm 八Al=Jp為一矢量，表示在八A范圍內(nèi)，單位面積上內(nèi)力P八A的平均集度，稱作平均應(yīng)力。隨著獸的逐漸變小，p的大小和方向都將逐漸變化。當(dāng)小趨近于零時(shí)，P八AmP的大小和方向都將趨近于一定極限P，即C點(diǎn)mp = lim p = lim 竺八At0 m 八At0八a應(yīng)力P是分布內(nèi)力系通在點(diǎn)C處的集度，反應(yīng)了分布內(nèi)力系a在點(diǎn)C處的強(qiáng)弱成都。對(duì)于應(yīng)八F力P，威力表征其與無提議的形變或者材料的相關(guān)性，通常將應(yīng)力P分解成垂直于截面的分量正i=J應(yīng)力P為應(yīng)力和切與截面的分量切應(yīng)力。bT2.應(yīng)變應(yīng)變表示物體收到外力的作用時(shí)發(fā)生變形 的強(qiáng)弱程度。在圖2.2a中，物體中的M點(diǎn)因變

8、形位移到點(diǎn)，成，為無體統(tǒng)變形時(shí)M點(diǎn)的位移。 這里假設(shè)物體受到約束，沒有剛性位移，M點(diǎn) 的位移全是由變形引起的，假想在M點(diǎn)附近取 平面與坐標(biāo)平面平行的正六面體（當(dāng)正六面體的 邊長趨于無限小時(shí)為單元體），設(shè)該六面體的棱 邊邊長分別為/ / /變形后其邊長和棱邊夾角都 , , x y z發(fā)生微小變化將單元體投影到xy平面，如圖2.3b 所示。變形前單元體平行于x軸的邊長長度為/， x比值:變形后，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別位移到M點(diǎn)和,點(diǎn)。M N 的長度為a，且k = MN-MNMN-Mn Ax =m MN l x表示單元體邊長l的平均長度變化，成為平均應(yīng)變。當(dāng)麗長度趨近于0時(shí)，則的極限為：-lim N-MN

9、臨 AxMN T0 MNN T0 1x2.2.3大變形的有限元數(shù)學(xué)描述I=J在輪胎結(jié)構(gòu)分析中，輪胎變形問題屬于集合 非線性范疇，此時(shí)小變形情況下的幾何方程不再 適合輪胎的結(jié)構(gòu)分析，為此必須重新定義新的平 衡方程。這主要是方程和平衡方程不能消除剛性 運(yùn)動(dòng)的影響，從而無法度量大變形物體的形態(tài)。 在度量物體的變形時(shí)，需要選取一個(gè)特定的結(jié)構(gòu) 為基準(zhǔn)在變形問題中，一般有兩種參考構(gòu)型。X (i = 1,2,3)，X 表iil=Jw設(shè)初始時(shí)刻t=0,時(shí)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為 示任意時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位置。當(dāng)選擇初始構(gòu)型為參 考構(gòu)型時(shí)則、為自變量。X x MXX 一 x ui應(yīng)變表達(dá)式為：11duduI_L j_21dX1Jd

10、X、 jidu du + k卜dX dXi-4獸獸5 21 dX dX v IX i j /式中:e為格林應(yīng)變EV5 一土、為克朗內(nèi)記號(hào)。V dX dxk jl=J若選擇現(xiàn)時(shí)構(gòu)型，即，作為自變量，其應(yīng)變i1 (du du du du I i +j kk 21 dx dx dx dx j i i j / 式中：e為阿爾曼西應(yīng)變。 exdx dx5 vF妾i j表達(dá)式為：2.2.4大變形狀態(tài)下的平衡方程描述在變形情況下，應(yīng)力是和應(yīng)變相關(guān)的，在外部載荷的作用下，物體發(fā)生形變，并在變形后重 新達(dá)到平衡。因此，用變形后狀態(tài)即現(xiàn)時(shí)構(gòu)型構(gòu) 成的Cauchy應(yīng)力平衡方程更是合適。設(shè)物體在現(xiàn)時(shí)構(gòu)型中占據(jù)的區(qū)域?yàn)?/p>

11、V，它的 邊界為A，其中A由AA兩部分構(gòu)成，同事設(shè)現(xiàn) A , At u時(shí)構(gòu)型的單位體積的體積載荷和表面載荷分別 為，/如圖所示。p ,q i i這時(shí)在區(qū)域V的Cauchy應(yīng)力平衡方程為：u + p = 0j應(yīng)力邊界條件：。n=q式中：為現(xiàn)時(shí)構(gòu)型邊界A的外法線方向余 n弦。ji結(jié)合Cauchy應(yīng)力張量和Kirchohoff應(yīng)力張 量可以將大變形問題的平衡方程表述為：J S 8E = q 5u dA + J p 8 u dVv v 01 j 001 j 0=12.2.5大變形增量問題=1輪胎的充氣和與路面接觸分析都與其變 形過程有著密切關(guān)系，對(duì)于這些非線性問題要想 獲得一個(gè)合適解，就必須采用增量法

12、。所謂增量法，即將時(shí)間歷程離散或時(shí)間序列，即t = 0, t t , t t , t|三1, 2 3 n n+1在, “t的增量階段，需要選用一個(gè)參考構(gòu) i i型，一般使用兩種方式：一種是完全拉格朗日方 程，即選取某一時(shí)刻t的構(gòu)型為參考構(gòu)型。通常在輪胎這類大變形問題中，一般選用拉 格朗日方程求解比較合適。2.2.6接觸問題在輪胎的靜態(tài)接觸、自由滾動(dòng)和動(dòng)態(tài)接觸狀 態(tài)下，輪胎與路面之間發(fā)生接觸行為。在ANSYS 中，接觸屬于一種高度的狀態(tài)非線性行為，它是 狀態(tài)非線性類型中一個(gè)特殊而又比較重要的子 集部分。接觸問題主要體現(xiàn)在（1）接觸區(qū)域的 大小、相互接觸物體的相對(duì)位置以及接觸的具體 狀態(tài)事先都是都

13、是未知的；（2）接觸無提議之間 不可相互侵入，接觸界面間的法向作用只存在壓 力，切向可以滑移，這些條件共同構(gòu)成高度非線 性的單邊性不等式約束。在狀態(tài)非線性分析中，剛度矩陣K相關(guān)于 位移矩陣x。K （x ）KJ= F 式中：力與位移的關(guān)系是非線性的。其關(guān)系如圖所示接觸一般分為剛一柔接觸和柔柔接觸，接觸 方式一般分為三種形式：面面接觸、點(diǎn)面接觸和 點(diǎn)點(diǎn)接觸。輪胎路面接觸屬于典型的剛一柔面面接觸。 在剛?cè)崦婷娼佑|中，需要把一個(gè)個(gè)面設(shè)置為“目 標(biāo)”面，而把另一個(gè)面設(shè)置為“接觸面”，通常選 擇剛性路面為“目標(biāo)面”，而接觸面選擇柔性的胎 面花紋表面。這兩個(gè)面共同組成“接觸對(duì)”，使用 相同的實(shí)常數(shù)號(hào)，有限元程序則是通過這組相同 的實(shí)常數(shù)號(hào)來識(shí)別該接觸對(duì)。接觸分析中，接觸區(qū)域需要同時(shí)滿足運(yùn)動(dòng)和力學(xué) 兩方面約束條件。運(yùn)動(dòng)約束條件是指接觸的兩個(gè)