高三數(shù)學(xué)立體幾何經(jīng)典例題分析

1、高三數(shù)學(xué)立體幾何經(jīng)典例題分析高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道，主觀題1道)，共計(jì)總分27分左右，考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi).選擇填空題考核立幾中的計(jì)算型問(wèn)題，而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問(wèn)題，當(dāng)然，二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提.隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施，立體幾何考題正朝著多一點(diǎn)思考，少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看，以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T(mén)話題.例1 四棱錐P-ABCM底面是邊長(zhǎng)為 a的正方形，PBL面ABCD.(1)若面PAg面ABCD成的二面角為 60 ,求這個(gè)四棱錐的體積；(2)證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，面PAW

2、面PC所成的二面角恒大于 90講解：(1)正方形ABC皿四B隹P-ABCD勺底面，其面積 為a2,從而只要算出四棱錐的高就行了丁 PB，面 ABCD,BA是PA在面ABCDh的射影.又DALAB, PAI DA丁./ PAB是面PADf面ABC所成的二面角的平面角, / PAB=60 .而PB是四棱錐PABCM高，PB=AB- tg60 = J3 a,1 -,二 V錐=v3a32.3 3a =a .3(2)不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAM PCD值為全等三角形.作AE, DP，垂足為 E,連結(jié) EC,則 AD珞 CDE ,AE =CE,/CED =90：故/CEA是面PAD與面PCD所成的

3、二面角的平面角.設(shè)AC與DB相交于點(diǎn) 0,連結(jié)EQ則EQL AC,型a=OA AE ：AD” 2在 AAEC中,cos/AEC =AE2 EC2 -(2 OA)2 (AE . 20A)( AE -J20A)2AE ECAE2:二 0.例2 如圖，直三棱柱 ABC-ABiCi的底面故平面PAD與平面PC所成的二面角恒大于 90 .本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力，具有定的探索性，是一道設(shè)計(jì)新穎，特征鮮明的好題.點(diǎn)到AB的距離為CE= , D為AB的中點(diǎn).2(1)求證：AB，平面CEDC(2)求異面直線 AB與CD之間的距離;(3)求二面角BiAC B的平面角講

4、解：(1) .是AB中點(diǎn)， ABC為等腰直角三角形，/ ABC=90, z. CDLAB又AA， 平面 ABC 1 CDL AA.，CDL平面 ABBACAB,又 CUAB, ，AB，平面 CDE(2)由 CDL平面 AiBBA . .CDL DE. AB，平面 CDE .-.DEIABDE是異面直線AB與CD的公垂線段八 3 八八 .2 CE= , AC=1 , .1.CD=-.22DE =V；(CE)2 -(CD)2 =1 ；(3)連結(jié) BiC,易證 BiC AC 又 BC AC ,/BiCB是二面角 Bi-AC- B的平面角.在 RtCEA中,CE=, BC=AC=I, / BiAC=6

5、(5 ABI =二=2 ,BBI =v/(AB1)2 -(AB)2 =&,cos60BBItg BICB2 , . . B1cB = arctg . 2 .BC作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提，當(dāng)然，準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.例3 如圖al P是120的二面角，A, B兩點(diǎn)在棱上，AB=2, D在口內(nèi)，三角形ABD等腰直角三角形，/ DAB90 , C在P內(nèi)，AABC等腰直角三角形/ ACB900.(I)求三棱錐 D-ABC勺體積；(2)求二面角D AC-B的大??；(3)求異面直線 AB CD所成的角.講解：(1) 過(guò)D向平面P做垂線，垂足為 O,連強(qiáng)OA并延長(zhǎng)至E丫

6、 AB_LAD,OA為DA在平面P上的射影 AB1OA/. / DAE為二面角a-l P的平面角.DAE =120 , . DAO = 60 . AD = AB = 2, DO = . 3.丁 AABC是等腰直角三角形，斜邊 AB=2.二S&bc =1,又D到平面P的距離DO=3. V D UBC,33(2)過(guò)O在P內(nèi)作OM_AC交AC的反向延長(zhǎng)線于 M連Zn DM則AC!DM，/ DMO為面角 D AC B 的平面角.又在 DOA中，O盒2cos60 =1.且OAM CAE =45 ,. OMy. tg. DMO = .6.DMO = arctg 6.(3)在P平在內(nèi)，過(guò) C作AB的平行線交

7、AE于F, / DCF為異面直線 AB CD所成的角.丁 AB.LAF, CF.LAF 二 CF_LDF,又/CAF =45：即&ACF 為等腰直角三角形，又 AF等于C到AB的距離，即 ABC斗邊上的高，. AF =CF =1.222DF 一一DF =AD AF -2AD AF cos120 =7. tg DCF =晶=7. tg DCF = . 7.異面直線AB,CD所成的角為arctg . 7.比較例2與例3解法的異同，你會(huì)得出怎樣的啟示？想想看.例4在邊長(zhǎng)為a的正三角形的三個(gè)角處各剪去一個(gè)四邊形.這個(gè)四邊形是由兩個(gè)全等的 直角三角形組成的， 并且這三個(gè)四邊形也全等， 如圖.若用剩下的部

8、分折成一個(gè)無(wú)蓋的正 三棱柱形容器，如圖.則當(dāng)容器的高為多少時(shí)， 可使這個(gè)容器的容積最大，并求出容積的最大值.講解：設(shè)容器的高為x,則容器底面正三角形的邊長(zhǎng)為a-2 G分別為EB AB的中點(diǎn)， HYPERLINK l bookmark34 o Current Document _ 1 _ _ 7 .FG=EA,又 EA DC都垂直于面 ABC, FG=DC,G、2，四邊形FGCM平行四邊形，F(xiàn)D/ GC又6儀面人36FD/ 面 ABC. AB=EA 且 F 為 EB 中點(diǎn)，. AF EB 又 FG/ EA, EAL面 ABC.FG1面 ABC .G為等邊 ABC AB邊的中點(diǎn)，AGLGC.AF

9、GC又 FD/ GC - AF FD 由、知 AH面EBD 又BA面EBD，AF BD.(3)由(1)、(2)知 FGL GB GCLGBGBL面 GCF.過(guò) G作 GHL FC,垂足為 H,連 HB,HB FC. / GH斯二面角 B-FC-G的平面角.一.3a易求 GH = a,. tg. GHB =23a22 33DP： PA=DQ QB=5 ： 12.(2)求證 PQL AD(1)求證PQ/平面CD例8 如圖，正方體 ABCD-A1B1CD的棱長(zhǎng)為1, P、Q分別是線段AD和BD上的點(diǎn)，且(3) 求線段PQ的長(zhǎng).講解：(1)在平面 AD內(nèi)，作PR/AD與DD交于點(diǎn)Pi,在平面 AC內(nèi)，

10、作QQ/ BC交 CD點(diǎn) Q,連結(jié) PiQ.汕=嗎，,.PR/QQ.PA QB 12由四邊形PQQPi為平行四邊形， 知PQ/ PiQ而PiQc平面CDDC,所以PQ/平面 CDDCi(2)AD，平面 DDCC,AD RQ,又 PQ/ PQ,/.ADI PQ.(3)由(1)知 PQ/ PQ,DQ1 DQ 5Q1c QB 12,而棱長(zhǎng)CD=1.DQ=. 同理可求得 P iD=.1717在RtPiDQ中，應(yīng)用勾股定理,立得PQ= . Pi D2 DQ 21317做為本題的深化，筆者提出這樣的問(wèn)題：P, Q分別是BD,ADi上的動(dòng)點(diǎn)，試求PQ的最小值，你能夠應(yīng)用函數(shù)方法計(jì)算嗎？試試看.并與如下2002年全國(guó)高考試題做以對(duì)照，你會(huì)得到什么啟示？如圖，正方形ABCD ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面 ABCD ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng),點(diǎn)N