浙教版八年級(jí)下冊(cè)5.3正方形(1)同步訓(xùn)練(解析版)

1、2）,求證：四邊形 ABCD是正方形.2）,求證：四邊形 ABCD是正方形.初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)5.3正方形（1）同步訓(xùn)練一、基礎(chǔ)夯實(shí).下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A. 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B.矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形C.菱形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形.要使菱形ABCD成為正方形，需要添加的條件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD.已知四邊形 ABCD是平行四邊形，再?gòu)?AB=BC ,/ ABC=90 ,AC=BD ,ACBD四個(gè)條件中,選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是

2、正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（）A.選B.選C.選D.選4.在四邊形中，O是對(duì)角線XC3Q的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形為正方形的是（ADlfBC, B= 5AC = BD, A=CD, .AD=BCoa = OC, OB=ODOA=OB=OC = OD ACBD.如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn)O,不添加任何輔助線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 ,使四邊形ABCD是正方形（填一個(gè)即可）.在平行四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC, DB相交于點(diǎn)O.要使四邊形 ABCD是正方形，還需添加一組條件.下面給出了四組條件： AB XAD ,且AB = AD ;AB = BD ,且AB，BD ;OB

3、= OC,且OB，OC ;AB =AD ,且AC = BD.其中正確的是 .（填序號(hào)）.如圖在 4ABC中，ZACB=90 , BC的垂直平分線 EF交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,且BE=BF,請(qǐng)你添力口 一個(gè)條件 ,使四邊形BECF是正方形.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A （-2,0）、B（0, -2）、C （2,0）、D （0,Z)(0t2)4(-2. Oj次 Q.T).如圖，點(diǎn)E,F, G,H分別是CD,BC,AB,DA 的中點(diǎn).（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形（2）若連接AC,BD,則當(dāng)AC,BD滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形 EFGH是正方形？青說明理由、

4、提高特訓(xùn).矩形各內(nèi)角的平分線能圍成一個(gè)（）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形.如圖，JC, aD是四邊形.伸8的對(duì)角線，點(diǎn)E, H分別是8匚的中點(diǎn)，點(diǎn)Af, a分別是AC, 5D的中點(diǎn)，連接EM, MF,斤八，NE,要使四邊形EAfFN為正方形,則需添加的條件是（）工 CDB二S,回目CC二8,D信二 CD, ADUBC12.如圖，在矩形ABCD 中，AD = 2AB，點(diǎn)E,F分別是 AD , BC的中點(diǎn)，連接 AF與BE , CE與DF分兩點(diǎn)，則四邊形 EMFN是（別交于點(diǎn)M, NA.正方形B.菱形C.矩形D.無法確定13.如圖，在矩形 ABCD中，M, N分別是邊 AD , BC的中點(diǎn)

5、，E, F分別是線段 BM , CM的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD是正方形，故 C不符合題意；NfAB:AD= 時(shí)，四邊形 MENF是正方形.14/ABC中，點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線 MN / BC ,若MN交/ BCA的平分線于點(diǎn) 巳交/ DCA的平分線于點(diǎn)F,連接AE、AF.(1)說明：OE= OF(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，求證：四邊形 AECF是矩形;(3)在(2)的條件下，當(dāng)4ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 AECF為正方形，并加以證明答案解析部分、基礎(chǔ)夯實(shí)A解：A. 一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是等腰梯形，符合題意；B.矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，根據(jù)矩形

6、性質(zhì)得出，不符合題意；C.菱形的一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；根據(jù)菱形性質(zhì)得出，不符合題意；D.對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，根據(jù)正方形判定得出，不符合題意；故答案為：A .【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及正方形的判定逐項(xiàng)分析即可D解：如圖，四邊形ABCD是菱形，要使菱形 ABCD成為一個(gè)正方形，需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是：/ ABC=90或AC=BD .故答案為：D .【分析】根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形和有一個(gè)角是直角的菱形是正方形即可得出答案B解：A 四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC ,四邊形ABCD是菱形，/ ABC=90四邊形ABCD是正方

7、形，故 A不符合題意；故B符合題意；B V四邊形ABCD是平行四邊形，/ ABC=90 （或AC=BD ）,四邊形ABCD是矩形，故B符合題意；C、四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC ,四邊形ABCD是菱形， AC=BDD、四邊形ABCD是平行四邊形，/ ABC=90 ,四邊形ABCD是矩形， ACXBD四邊形ABCD是正方形，故 D不符合題意； TOC o 1-5 h z 故答案為：B【分析】根據(jù)正方形的判定定理：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形，再對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可。D解： 因?yàn)閷?duì)角線相等，且互相垂直平分的四邊形是正方形，故答案為：D【分析】根據(jù)正方形的判定

8、方法逐一判斷即可./ BAD=90 （答案不唯一）解：當(dāng)/BAD=90,.菱形ABCD四邊形ABCD是正方形；當(dāng) BD=AC,.菱形ABCD四邊形ABCD是正方形；故答案為：/ BAD=90 （答案不唯一）【分析】利用有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，可添加四邊形ABCD 的一個(gè)內(nèi)角是90，或添加對(duì)角線相等。解：ABLAD說明有一個(gè)角是直角，AB=AD說明有一組鄰邊相等，有一個(gè)角是直角，有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形，所以正確；AB=BD說明一條邊與對(duì)角線相等，AB XBD說明一條邊與對(duì)角線垂直，沒有這樣的判定條件可以判定 平行四邊形是正方形，所以錯(cuò)誤；OB=OC說明對(duì)角線相等，OBLOC說明

9、對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線相等且垂直的平行四邊形是正方形，所以正確； AB=AD 說明有一組鄰邊相等，AC=BD 說明對(duì)角線相等，有一組鄰邊相等，對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形，所以正確。故答案為：四邊形ABCD為矩形,四邊形ABCD為矩形,【分析】中有一個(gè)角是直角，一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形，這是正方形的定義，所以能判定平行四邊形ABCD是正方形；中對(duì)角線相等說明這個(gè)平行四邊形是矩形，且對(duì)角線互相垂直說明這個(gè)平行四邊形是菱形，所以這個(gè)平行四邊形是正方形；中一組鄰邊相等說明這個(gè)平行四邊形是菱形，對(duì)角 線相等說明這個(gè)平行四邊形是矩形，所以這個(gè)平行四邊形是正方形，唯獨(dú)中的條件不能判定這個(gè)平行四

10、 邊形是正方形。AC=BC解：.EF垂直平分BC ,.BE=EC , BF=CF , BF=BE ,.BE=EC=CF=BF ,四邊形BECF是菱形；當(dāng)AC=BC時(shí)，ACB=90 ,則/A=45時(shí)，菱形 BECF是正方形.【分析】由條件可知四邊形 BECF是菱形，要想成為正方形需保證/ ACB=90,即/ ABC=45,也就是4ABC 是等腰直角三角形。8.證明：由四邊形 ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 A(-2.0)、B(0, -2)、C(2, 0)、D(0 , 2), 可知 OA=OB=OC=OD=2 ,四邊形ABCD為矩形.*，四邊形ABCD是正方形解：由點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)可得 OA=OB

11、=OC=OD=2 ,根據(jù)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，由 圖知，ACXBC,根據(jù)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形可求證。9. (1)證明：如圖，連接 BD, E、F分別是CD和CB的中點(diǎn),EFABCD的中位線，1 EF II BD , EF=2 BD ,1同理 HG / BD , HG=?BD, EF II HG , EF=HG ,四邊形EFGH是平行四邊形.(2)解：如圖，連接 AC、BD,當(dāng)AC,BD相等且互相垂直時(shí)，四邊形 EFGH是正方形，理由如下: 111由上題知 EF=HG= B BD , EH=FG= 2 AC , AC=BD ,EF=FG=HG=EH , EH / AC ,

12、HG / BD ,./ EHF= / CMB=90 ,四邊形EFGH是正方形.解：(1)連接BD, E、F分別是CD和CB的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理可知EF平行等于BD的一半，同理得出HG平行等于BD的一半，則EF和HG平行且相等，可證四邊形 EFGH是平行四邊形.(2)當(dāng)AC=BD時(shí)，由中位線定理可得四邊形 EFGH的各邊相等，因?yàn)樗倪呅蔚泥忂吅?AC和BD分別平 行，可知它們的夾角相等，故 AC和BD垂直時(shí)，四邊形 EFGH的各內(nèi)角也等于90,故四邊形EFGH是 正方形.、提高特訓(xùn)D解：如圖,/ DAC=90 , / ABC=90 ,AE 平分/ DAC , BE 平分/ ABC ,貝U

13、 / BAE+ / ABE=45 +45 =90 ,/ AEB=90 ,同理得/ EFG=/FGH=/GHE=90 ,四邊形EFGH為矩形，/ BAF= / HCB=45 ,. BHC為等腰直角三角形，BH=HC ,/ AEB= / DGC, / EAB= / GDC=45 , AB=DC , ABEA DGC (AAS),BE=GC ,. BH-BE=HC-GC ,即 HE=HG ,四邊形EFGH為正方形；故答案為：D.【分析】由四邊形 ABCD為矩形，得/ DAC和/ABC都是直角，AE平分/ DAC , BE平分/ ABC , 求得/ BAE和/ ABE之和為90 ,則/ AEB為直角，

14、同理求得/ EFG、/ FGH和/ GHE都是直角， 則四邊形EFGH為矩形；因?yàn)? BAF= / HCB=45 ,等角對(duì)等邊得 BH=HC ,然后再根據(jù)角角邊定理證得 ABEADGC ,由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，得 BE=GC,于是根據(jù)等式的性質(zhì)得 HE=HG ,則鄰邊相等的 矩形是正方形。A解：丁點(diǎn)E, F分別是 皿 8C的中點(diǎn)，點(diǎn) U, N分別是JC,aD的中點(diǎn)， JEN、NF、EM. .ME分別是 1180、38、工工8的中位線，二四邊形EAfFN為平行四邊形,當(dāng)e二CD 時(shí)，EN=FM = ME=NF ,二平行四邊形il3CD是菱形；當(dāng) ABLCD時(shí),ENME,即乙WEN = 90-

15、二菱形WAfFJV是正方形； 故答案為：【分析】根據(jù)三角形中位線定理得出 樂A1EMCDUNF, =5 = AE= 3CD = NF,進(jìn)而根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EAFFM為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，在時(shí)=FAF=&fE=NF,根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形得出：平行四邊形菱形，當(dāng).1S_LS時(shí)，ENME,即,根據(jù)有一個(gè)角的直角的菱形是正方形得出結(jié)論. 12.A 解：二.四邊形ABCD為矩形， . AD / BC, AD=BC , 又E, F分別為AD , BC中點(diǎn)， . AE / BF,AE=BF,ED / CF, DE=CF ,四邊形ABFE為平行四邊形，四邊形 BFDE為

16、平行四邊形， BE / FD,即 ME / FN ,同理可證EN / MF ,四邊形EMFN為平行四邊形，四邊形ABFE為平行四邊形，/ ABC為直角，. ABFE為矩形，AF, BE互相平分于M點(diǎn)， ME=MF ,，四邊形EMFN為菱形。.AD = 2AB,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)， AE=DE=AB=CD , 而/ ABC= / ADC=9。./ AEB= / DEC=45,/ men= 180145n - 4S = 90,四邊形EMFN是正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）。故答案為：A.【分析】由矩形的性質(zhì)可得 AD / BC, AD=BC ,再根據(jù)三角形的中位線定理可得AE / BF,AE

17、=BF,ED / CF ,DE=CF,由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABFE為平行四邊形，四邊形BFDE為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得BE / FD,即ME / FN,同理可證EN / MF ,根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形EMFN為平行四邊形，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可得ME=MF ,再根據(jù) AD = 2AB和已知條件可得ABFE為矩形，所以由矩形的對(duì)角線相等且互相平分可得AB=AE=DE ,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得/AEB= / DEC=45,則/ MEN= 1 SO-45-453 = 96 ,根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形可得

18、四邊形EMFN是正方形。13.1:2解：當(dāng) AB : AD = 1: 2 時(shí)，四邊形 MENF 是正方形，理由是：: AB : AD = 1 : 2, AM = DM , AB = CD , .AB = AM = DM = DC,/ A = Z D=90,/ ABM = / AMB = / DMC = / DCM = 45,./ BMC = 90,四邊形ABCD是矩形，/ ABC = / DCB = 90,./ MBC =/ MCB =45,BM = CM ,N、E、F分別是 BC、BM、CM的中點(diǎn)，BE=CF, ME = MF, NF / BM , NE / CM ,四邊形MENF是平行四邊

19、形， ME = MF, / BMC =90,四邊形MENF是正方形，即當(dāng)AB : AD = 1: 2時(shí)，四邊形 MENF是正方形，故答案為：1:2.【分析】當(dāng)AB= 21時(shí)，四邊形MENF為正方形，因?yàn)榇藭r(shí)，AB=AM=BN，并且4ABM、 MDC、 BEN , NCF都是等腰直角三角形，并且點(diǎn) E、F分別是BM和CM的中點(diǎn)，所以四邊形 MENF是正方形.(1)證明：. MN / BC,/ OFC= / FCD,又 CF平分/ ACD ,/ OCF= / FCD, ./ OFC=/OCF,.OF=OC,同理：OE=OC,OE=OF.(2)證明：當(dāng)點(diǎn) O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，OA=OC,由第(1)知，OE=OF,四邊形AECF是平行四邊形.CF、CE分別是/ ACD和/ ACB的角平分線，1/ AC