活用拋物線焦點弦的四個結(jié)論

1、活用拋物線焦點弦的四個結(jié)論1.數(shù)學抽象素養(yǎng)水平表現(xiàn)為能夠在得到的數(shù)學結(jié)論的基礎(chǔ)上形成新命題，能夠針 對具體的問題運用數(shù)學方法解決問題.本課時拋物線的焦點弦問題的四個常用結(jié) 論即為具體表現(xiàn)之一.2.設(shè)AB是過拋物線y2 = 2px(p0)焦點F的弦，若A(x 1，y1), B(x2, y2),貝Qx x =p212 ;yy2=p2.IABI=X+x2+p= P (q是直線AB的傾斜角).sin2Q TOC o 1-5 h z 12(4) +1 =2為定值(F是拋物線的焦點).IAFI IBFI p【例1】過拋物線y2=4x的焦點F的直線l與拋物線交于A, B兩點，若AFI =2IBFI，則 IA

2、BI 等于()A.4B?C.5D.62一般解法易知直線l的斜率存在，設(shè)為七則其方程為y=k(x1).yk (x 1)，由，得 k2X2 (2k2+4)x+k2=0，y2=4x得 Xa*b=1，因為IAFI = 2IBFI，由拋物線的定義得xA+1 = 2(xB+1)，即 Xa = 2Xb +1，由解得xA = 2，xB=， 29所以 ABI = AFI + IBFI=xA+xB+p=2.應(yīng)用結(jié)論法一 由對稱性不妨設(shè)點A在x軸的上方，如圖設(shè)A，B在準線上的 射影分別為D，。，作BE LAD于E，設(shè)IBF=m，直線l的傾斜角為仇則 IABI = 3m，由拋物線的定義知IADI = IAFI = 2

3、m, IBCI = IBFI=m, TOC o 1-5 h z 所以 cos。=匹=1,所以 tan 6=2 2.則 sin20=8cos2。，sin2=-.又 y2=4x, IABI 39知2p=4,故利用弦長公式IABI-2 =9 . sin26 21111323法二 因為IAFI = 2IBFI, 1 +工=+工=2=1,解得IBFI=3, AFIAFI IBFI 2IBFI IBFI 2IBFI p2=3，9故 IABI = IAFI + IBFI = 9 .2答案B 【例2】設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A,D.94r b9_J B. 8B兩點，O為

4、坐標原點，則方的面積為（）C，C.32一般解法由已知得焦點坐標為F4, ，因此直線AB的方程為 即 4x4 3y3 = 0.與拋物線方程聯(lián)立，化簡得4y2-12 3y9 = 0, 故 IyA-yB= （yA+yB）2-4yAyB = 6.1,13.9因此 S OAB = |OFIIyA-yB = X-X6 22 44應(yīng)用結(jié)論由2p = 3,及ABI=3 sin2Q得 ABI=A =3 =12.=3,8sin2Q sin230原點到直線AB的距離刁=IOFIsin 30,1139故 SA0=IABId= X12X3=9228 4.答案D【例3】（2019-益陽、湘潭調(diào)研）如圖，過拋物線y2 =

5、2px（p0）的焦點F的直線交拋物線于點A, 8,交其準線l于點C若F是AC的中點，且IAFI=4,則線段AB的長為（)A.5B.616C.3一般解法D.20如圖，設(shè)l與x軸交于點M,過點A作ADl交l于點D由拋物線的定義知IADI = IAFI=4，由 F 是 AC 的中點，知 ADI = 2IMFI = 2p,所以2p=4,解得p = 2，所以拋物線的方程為y2=4x.設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2），ijIAFI=x1+p=x1 + 1=4，所以 x1 = 3，可得 y1 = 2 3， 23所以A（3, 2 3），又F（1，0），所以直線AF的斜率k= =3，所以直線AF3-1的方程為y= 3(x 1)，代入拋物線方程y2=4x得3x210 x+3 = 0,所以x1+x2 =1, AB=x1+x2+p=6 故選 C.3 *應(yīng)用結(jié)論法又 x xp21 2 = 法二設(shè) Ag y) B(x2, y2)，則MAg=x1+P=x1 + 1=4,所以 x1 = 3, 211所以