中學(xué)數(shù)學(xué)解題經(jīng)典研究精編版課件

1、中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究第一章 波利亞的解題觀點(diǎn)波利亞及其解題理論波利亞(1887.12.13-1985.9.7)作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻(xiàn)集中體現(xiàn)在怎樣解題(1945年)、數(shù)學(xué)與猜想(1954年)、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(1962年)三部世界名著上，涉及“解題理論”、“解題教學(xué)”、“教師培訓(xùn)”三個(gè)領(lǐng)域波利亞對(duì)數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過(guò)“怎樣解題”表來(lái)實(shí)現(xiàn)的。著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士蘇黎世大學(xué)的會(huì)議致詞中說(shuō)過(guò)：“每個(gè)大學(xué)生、每個(gè)學(xué)者、特別是每個(gè)教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書”(1952年2月2日) 數(shù)學(xué)解題教學(xué) 沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方。 美G. 波利亞 朱華偉單墫戴再平數(shù)學(xué)

2、解題策略北京：科學(xué)出版社,2009.8.解題研究M. 南京：南京師范大學(xué)出版社，2002.6數(shù)學(xué)習(xí)題理論M.上海：上海教育出版社，1991.3；1996.10.我國(guó)數(shù)學(xué)解題研究的代表人物和代表作羅增儒中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐M. 南寧：廣西教育出版社，2008年.9；前言數(shù)學(xué)解題學(xué)引論M 西安. 陜西師范大學(xué)出版社，1997.6觀點(diǎn)是指觀察事物所處的位置或采取的態(tài)度。解題教學(xué)中的解題觀點(diǎn)是指對(duì)“怎樣解題”、“為什么這樣解題”的整體認(rèn)識(shí)和基本態(tài)度。 怎樣解題喬治 波利亞數(shù)學(xué)與猜想 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn) 在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)中，波利亞共給出了四個(gè)具體的解題模式（雙軌跡、笛卡兒、遞歸、疊加）。下面我們借助于一些典型的

3、例子，對(duì)這些解題模式進(jìn)行論述。1.1 雙軌跡模式 給定一個(gè)三角形的三邊，求作這個(gè)三角形。第一節(jié) 四種具體的解題模式 求作三角形外接圓的圓心。這里同樣要對(duì)未知成分所應(yīng)滿足的條件進(jìn)行分割。未知量是 (x, y)，已知量是 “部分條件”是雞兔同籠問(wèn)題：一個(gè)農(nóng)夫有若干雞和兔子，它們共有 50 個(gè)頭 140 只腳，問(wèn)雞和兔子各有多少只？求解這個(gè)二元一次方程組這里，我們碰到的是一個(gè)“多元的”未知量。1.2 笛卡兒模式Descartes：我這兒有好東東呵第一，把任何問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二，把數(shù)學(xué)問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題。第三，把代數(shù)問(wèn)題化為方程式來(lái)求解。第二，把數(shù)學(xué)問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題。第三，把代數(shù)問(wèn)題化為方程式來(lái)求解

4、。 奇思妙想的解法 代數(shù)的解法：雞兔同籠問(wèn)題：一個(gè)農(nóng)夫有若干雞和兔子，它們共有 50 個(gè)頭 140 只腳，問(wèn)雞和兔子各有多少只？ 由代數(shù)方法可輕松地得到上述“奇思妙想”： 已知 有一正根，一負(fù)根，求a 的范圍 七位數(shù) 是99倍數(shù)，試確定x,y值。 Descartes 的思想對(duì)我們有什么指導(dǎo)意義？數(shù)學(xué)化、代數(shù)化、計(jì)算化！ 波利亞對(duì)其所說(shuō)的“笛卡兒模式”作了如下概括： 首先，要在很好地理解了問(wèn)題的基礎(chǔ)上，把問(wèn)題歸結(jié)為去確定若干個(gè)未知的量。 用最自然的方式通盤考慮一下問(wèn)題，設(shè)想它已經(jīng)解出來(lái)了。然后，根據(jù)條件，把已知量和未知量之間所必須成立的一切關(guān)系式都列出來(lái)。 析出一部分條件，使得你能用兩種不同的方

5、式去表示同一個(gè)量，這樣可以得出一個(gè)聯(lián)系未知量的方程。如此下去，就把條件分成了若干部分，從而得出與未知量個(gè)數(shù)相等的一組獨(dú)立方程式。1.3 遞歸模式 所謂遞歸，是指運(yùn)用收集到的知識(shí)作為行動(dòng)的基礎(chǔ)去獲得更多的知識(shí)。由于這里所涉及到的往往是多個(gè)，甚至是無(wú)窮多個(gè)未知量，因此，所謂的遞歸，事實(shí)上也就是指知識(shí)的“不斷擴(kuò)張”： 在解題的每一階段，我們都把關(guān)于一個(gè)新的分量的知識(shí)添加到已經(jīng)得到的知識(shí)上去，在每一階段，我們又都要用已經(jīng)得到的知識(shí)去得出更多的知識(shí)。 我們要靠逐省逐省的占領(lǐng)去最后征服一個(gè)王國(guó) 在每個(gè)階段，我們利用已被征服了的省份作為行動(dòng)基地去征服下一個(gè)省份。關(guān)于前 n 個(gè)自然數(shù)的 k 次冪之和的計(jì)算是應(yīng)

6、用遞歸模式解決問(wèn)題的典型例子。 如此下去，我們可以對(duì)任意的 k，依次求出前 n 個(gè)自然數(shù)的 k 次冪之和。 數(shù)學(xué)歸納法也可看成遞歸模式的直接應(yīng)用： 在此，我們同樣是利用“已被征服了的省份”（特例，數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)），作為行動(dòng)的基地去征服下一個(gè)“省份”，直至最終征服了“整個(gè)王國(guó)”，即獲得了普遍的公式或結(jié)論。1.4 疊加模式 圓周角與圓心角關(guān)系定理的證明。波利亞指出，借助于上面的例子，我們又可以引出一個(gè)十分重要的模式：疊加模式。具體地說(shuō)，所謂疊加模式就是指“從一個(gè)導(dǎo)引特款出發(fā)，利用特殊情形的疊加去得出一般問(wèn)題的解?！边@就是說(shuō)，疊加模式的應(yīng)用通常包括以下兩個(gè)步驟：第一，為了求得一般情形的解，首先處理

7、一個(gè)特殊情形。這一特殊情形應(yīng)當(dāng)滿足以下條件：它不僅易于解決，而且還特別有用，即可把我們引導(dǎo)到一般情形的解。因此，我們稱它為“導(dǎo)引特款”。第二，用某種指定的代數(shù)運(yùn)算（這就是所謂的“疊加”）把一些特殊情形組合起來(lái)，從而獲得一般情形的解。波利亞通過(guò)對(duì)各種典型問(wèn)題的細(xì)致剖析，提煉出四個(gè)常用的解題模式可供仿照的楷模 雙軌跡模式（1）把問(wèn)題歸結(jié)為要確定一個(gè)“點(diǎn)”（2）把條件分成兩部分，使得對(duì)每一部分，未知點(diǎn)都形成一個(gè)“軌跡”這兩個(gè)“軌跡”的交集，就是我們要求的“點(diǎn)”笛卡兒模式（1）把問(wèn)題歸結(jié)為去確定若干個(gè)未知的量（2）設(shè)想問(wèn)題已解出來(lái)了，列出已知量和未知量間根據(jù)條件必須成立的一切關(guān)系式（3）把某些關(guān)系式轉(zhuǎn)

8、化為方程，得出一個(gè)方程組（4）將方程組通過(guò)消元化歸成一個(gè)方程遞歸模式（1）設(shè)法將要求的量歸結(jié)為依次排列起來(lái)的某序列的一個(gè)項(xiàng)（2）確定這序列的第一項(xiàng)或前面幾項(xiàng)（3）找出遞推關(guān)系式，將序列的一般項(xiàng)與它前面的那些項(xiàng)聯(lián)系起來(lái)這樣，我們就可遞推地把所有的項(xiàng)都找出來(lái)疊加模式（1）先處理一、兩種特殊情形我們把它稱之為導(dǎo)引特款（2）利用導(dǎo)引特款的疊加去得出一般問(wèn)題的解教師十誡：第一，對(duì)自己的科目要有興趣第二，熟知自己的科目第三，要懂得學(xué)習(xí)的途徑：學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑就是靠自己去發(fā)現(xiàn)第四，要觀察你的學(xué)生的臉色，弄清楚他們的期望和困難，把自己置身于他們之中第五，不僅要教給學(xué)生知識(shí)，并且要教給他們“才智”，思維的

9、方式，有條不紊的工作習(xí)慣第六，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)猜測(cè)第七，要讓學(xué)生學(xué)習(xí)證明第八，要找出手邊題目中那些對(duì)解后來(lái)題目有用的特征即設(shè)法去揭示出隱藏在眼前具體情形中的一般模式第九，不要立即吐露你的全部秘密讓學(xué)生在你說(shuō)出來(lái)之前先去猜盡量讓他們自己去找出來(lái)第十，啟發(fā)問(wèn)題，而不要填鴨式地硬塞給學(xué)生接受 第二節(jié) 波利亞的怎樣解題表回答“一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的”這個(gè)令人困惑的問(wèn)題，波利亞致力于解題的研究，專門研究了解題的思維過(guò)程，并把研究所得寫成怎樣解題一書。核心是怎樣解題表，他把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程的“慢動(dòng)作鏡頭”，使我們對(duì)解題的思

10、維過(guò)程看得見，摸得著。 弄清題意擬定計(jì)劃執(zhí)行計(jì)劃?rùn)z驗(yàn)回顧變換,推廣,類比,作出新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).概括方法論因素,建立數(shù)學(xué)模型. 1 弄清問(wèn)題 （1）未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數(shù),條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? （2）畫張圖,并引入適當(dāng)?shù)姆?hào). （3）把條件的各部分分開,并把它們寫下來(lái).波利亞的怎樣解題表2. 擬訂計(jì)劃考慮以前是否見過(guò)它? 是否見過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同? 你是否知道一個(gè)可能用得上的定理?考慮具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題.能否利用它的結(jié)果或方法?為了利用它,是否引入某些輔助元素?能否用不同的方法重新

11、敘述它?回到定義去.如果你不能解決所提出的問(wèn)題,可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題.是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問(wèn)題中的所有必要的概念?3. 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃,檢驗(yàn)每一步驟.你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?能否檢驗(yàn)這個(gè)論證?你能否用別的方法導(dǎo)出結(jié)果?能不能一下子看出它來(lái)?能不能把這結(jié)果或方法用于其他問(wèn)題? 4. 回顧檢驗(yàn)與回顧解題，如同在黑暗中走進(jìn)一間陌生的房間回顧，則好像打開了電燈這時(shí)一切都清楚了：在以前的探索中，哪幾步走錯(cuò)了，哪幾步不必要，應(yīng)當(dāng)怎樣走，等等朦朧變成了自覺正如波利亞所說(shuō)，這是“領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)”，“當(dāng)讀者完成了

12、任務(wù)，而且他的體驗(yàn)在頭腦中還是新鮮的時(shí)候，去回顧他所做的一切，可能有利于探究他剛才克服困難的實(shí)質(zhì)，他可以對(duì)自己提出許多有用的問(wèn)題：關(guān)鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒有覺察到這一點(diǎn)？要看出這一點(diǎn)我必須具備哪些知識(shí)？應(yīng)該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次遇到類似問(wèn)題時(shí)應(yīng)用？波利亞解題過(guò)程的四個(gè)階段:1. 弄清問(wèn)題認(rèn)識(shí)、并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征的過(guò)程 ，是成功解決問(wèn)題的一個(gè)必要前提 2. 擬訂計(jì)劃是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容。3. 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心” 4. 回顧是最容易被忽視的階段，波

13、利亞對(duì)其作。為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái)，是一個(gè)有遠(yuǎn)見的做法 .解題是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)例1：一大學(xué)教授向中學(xué)生介紹圖論 定義圖G=(V，E)，由頂點(diǎn)集V與一些連結(jié)V中兩個(gè)點(diǎn)的邊的集E組成定義 如果E由連結(jié)V中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的邊組成，那么G(V，E)稱為完全圖定義如果圖G1(V，E1)，G2(V，E2)具有相同的頂點(diǎn)集V，并且E1E2 ，(V，E1E2)是完全圖，那么稱G1為G2的補(bǔ)圖定理在|V|6時(shí)，G=(V，E)或它的補(bǔ)圖中必有三角形 解題是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)符合中學(xué)生特點(diǎn)的教法：“任意六個(gè)人中必有三個(gè)人互相認(rèn)識(shí)或三個(gè)人互不相識(shí)為什么？”為了解決這個(gè)問(wèn)題，為了敘述的方便，我們用六個(gè)點(diǎn)表示六個(gè)人如果兩個(gè)人互相認(rèn)識(shí)，

14、就將相應(yīng)的兩點(diǎn)用線連結(jié)起來(lái)這種由點(diǎn)及一些連結(jié)點(diǎn)的線組成的圖形，就稱為圖問(wèn)題就成為：“六個(gè)點(diǎn)的圖中，一定有三個(gè)點(diǎn)兩兩相連(即構(gòu)成三角形)，或者有三個(gè)點(diǎn)互不相連.”中小學(xué)開設(shè)數(shù)學(xué)課程的目的？數(shù)學(xué)技能就是解題能力不僅能解決一般的問(wèn)題，而且能解決需要某種程度的獨(dú)立思考、判斷力、獨(dú)創(chuàng)性和想像力的問(wèn)題所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題能力的訓(xùn)練” 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)第一卷序開設(shè)數(shù)學(xué)課程的主要目的是教會(huì)學(xué)生如何思考。“教會(huì)思考”意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅應(yīng)該傳授知識(shí)，而且也應(yīng)當(dāng)去發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所傳授的知識(shí)的能力 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)第二卷 中小學(xué)開設(shè)數(shù)學(xué)課程的目的？波利亞將學(xué)生依照未來(lái)的職業(yè)分為三類：數(shù)學(xué)家(包括理論物理學(xué)家

15、、天文學(xué)家及某些專門研究領(lǐng)域里的工程師)約占1%，用到數(shù)學(xué)的人(工程師、科學(xué)家及一些社會(huì)科學(xué)家、數(shù)學(xué)教師?？茖W(xué)教師等)約占29%，不用數(shù)學(xué)的人(實(shí)業(yè)家、律師、牧師等)約占70%，他指出數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)符合于兩個(gè)原則：第一，每一個(gè)學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠從他的學(xué)習(xí)中得到某些收獲而不管他以后的職業(yè)是什么第二，那些在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)出有一些資質(zhì)的學(xué)生應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)和吸引，而不要由于拙劣的教育使他們嫌棄數(shù)學(xué)弄清問(wèn)題 問(wèn)題應(yīng)當(dāng)用自己的語(yǔ)言重新敘述通過(guò)復(fù)述，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生是否理解了題意，有沒有忽略重要的部分凡有學(xué)生來(lái)問(wèn)問(wèn)題，首先讓他復(fù)述，切不可急急忙忙地把解答告訴他因?yàn)楸冉獯鸶匾氖墙夥?，即如何從已知走向未知，而將題目中的“信息

16、”重新編排，適當(dāng)整理，正是走向未知的第一步弄清問(wèn)題例 攝制組從A市到B市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯由于道路堵塞，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原計(jì)劃的三分之一過(guò)了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來(lái)休息司機(jī)說(shuō)再走從C市到這里的二分之一，就到達(dá)目的地了問(wèn)A、B兩市相距多少千米？ 圖中D是小鎮(zhèn)，E是傍晚休息處D、E之間的距離是 400千米EB是CE的二分之一，AD是AC的三分之一，AC比CB多100千米求AB的長(zhǎng)A D C E B弄清問(wèn)題實(shí)際上，改變問(wèn)題的提法已不僅是弄清題意，可以說(shuō)是向問(wèn)題的解決進(jìn)了一大步波利亞主張“不斷地變換你的問(wèn)題”，“我們必須一再地變化它，重新敘

17、述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止”“怎樣解題”表的實(shí)踐 例1給定正四棱臺(tái)的高h(yuǎn)，上底的一條邊長(zhǎng)a和下底的一條邊長(zhǎng)b，求正四棱臺(tái)的體積F(學(xué)生已學(xué)過(guò)棱柱、棱錐的體積) 講解第一，弄清問(wèn)題 問(wèn)題1你要求解的是什么? 問(wèn)題2你有些什么? 第二，擬定計(jì)劃 問(wèn)題3怎樣才能求得F?問(wèn)題4怎樣才能求得A與B? 問(wèn)題5怎樣才能求得x？ 第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃 ， 第四，回顧 (1)正面檢驗(yàn)每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的 (2)回顧解題過(guò)程 (3)在解題方法上 (4)在思維策略上 (5)在心理機(jī)制上 (6)在立體幾何學(xué)科方法上 (7)“你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?” (8)“你能不能把這一結(jié)果或

18、方法用于其他問(wèn)題?” 例2、設(shè)AB是ABC的中線BC=a,AC=b，AB=c,求證：例3. “兩角和的余弦公式”的推導(dǎo)例4.已 知 是 個(gè)正數(shù)，滿足求證： （1989年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）例5.設(shè) 為實(shí)數(shù)，且 ，求 的值。四部曲第三節(jié) 解數(shù)學(xué)題的一般步驟1.梅森的解題模式過(guò)程 階段 點(diǎn)要 過(guò)程 狀態(tài)特殊化進(jìn)入著手一般化回顧所知道的所希望的受阻靈機(jī)一動(dòng)嘗試可能是為什么檢查回顧擴(kuò)展猜測(cè)檢驗(yàn)開始進(jìn)入琢磨繼續(xù)洞察懷疑沉思2.奧加涅相的解題過(guò)程理解數(shù)學(xué)題的條件制定解題計(jì)劃實(shí)行解題計(jì)劃研究所得1、理解數(shù)學(xué)題的條件（1）開始研究題的條件時(shí)，你應(yīng)當(dāng)仔細(xì)做出直觀的圖形、平面圖、表格或者說(shuō)明問(wèn)題的草圖，以幫助你思

19、考問(wèn)題。（2）清晰地理解題的情境中的各個(gè)元素；一定要弄清楚哪些元素是給定了的，哪些是所求的。（3）深入地思考習(xí)題敘述中的每一個(gè)詞的意義；盡力找出題的重要元素，在圖上用直觀的符號(hào)標(biāo)出已知元素和未知元素。（4）盡可能從整體上理解題的條件，找出它的特點(diǎn)。想想以前是否遇到過(guò)和這個(gè)題有些類似的題目。（5）仔細(xì)想想題的敘述是否可以做出不同的理解，題的條件中有沒有多余的，是否缺少什么條件。（6）認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)。根據(jù)所提出的目標(biāo)，哪些理論的法則同整個(gè)題目或者它的元素有些聯(lián)系。（7）如果在解題時(shí)有可能使用你熟悉的某種一般的數(shù)學(xué)方法，盡可能用那種方法的語(yǔ)言表示題的元素。2、制定解題計(jì)劃（1）想方設(shè)法將所給

20、的題同你會(huì)解的某一類題聯(lián)系起來(lái)。（2）要記住，題的目標(biāo)是尋求解答的主要方向。（3）將所得到的局部的結(jié)果同題的條件和目標(biāo)作比較，用這種辦法經(jīng)常檢查解題的意圖是否合理。（4）試試能不能部分地改變題目，換一種方式敘述它的條件，故意簡(jiǎn)化題的條件；試試能不能擴(kuò)大題的條件，而且將該題有關(guān)的概念用它的定義來(lái)代替。（5）將題的條件分成幾個(gè)部分，盡可能將這幾部分構(gòu)成一個(gè)新的組合。（6）試試能不能將所給的題目分成一連串的輔助問(wèn)題，依次解答這些輔助問(wèn)題就可以構(gòu)成所給題目的解；對(duì)于所給題目的情境中的各個(gè)部分編一些局部性的題，這樣做當(dāng)然要服從基本的目標(biāo)。（7）研究題的某些部分的極限情況，看看這樣會(huì)對(duì)題的基本目標(biāo)有什么影

21、響。（8）改變題的某一部分，看看這樣改變會(huì)對(duì)題的其他部分有什么影響；根據(jù)看到的改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果，試試能不能就題的目標(biāo)作出一個(gè)假設(shè)。(9)如果所給的題目解不出來(lái)，你可以從課本或參考書中找一個(gè)與所給題相似的，但已經(jīng)給出解答的題。3弗里德曼的解題過(guò)程怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題 他認(rèn)為：“應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)這樣一種對(duì)待習(xí)題的態(tài)度，即把習(xí)題看做是精密研究的對(duì)象，并把解答習(xí)題看做是設(shè)計(jì)和發(fā)明的目標(biāo)?！?他把解題過(guò)程分成8個(gè)階段： 第一階段分析習(xí)題 第二階段作習(xí)題的圖示 第三階段尋找解題方法 第四階段進(jìn)行解題 第五階段檢驗(yàn)題解 第六階段討論習(xí)題 第七階段陳述習(xí)題答案 第八階段分析題解4.國(guó)內(nèi)常見解數(shù)學(xué)題的思維程序釋

22、題找出問(wèn)題的已知條件和所求；將已知條件和所求分成若干部分；畫出圖形或列出一些數(shù)據(jù)；在圖形或數(shù)據(jù)中引入恰當(dāng)?shù)姆?hào)，并盡可能多地將已知和所求的標(biāo)出來(lái)。分析（1）尋找突破口，并努力向所求靠攏 (2)思維受阻后的迂回、轉(zhuǎn)換 解題 完成釋題、分析中認(rèn)為可行的一切細(xì)節(jié)，并加以完善，解題過(guò)程應(yīng)力求清晰、詳盡、規(guī)范。 邊完成解題細(xì)節(jié)，邊用邏輯推理或直觀觀察的方法加以驗(yàn)證。 反思 (1)檢驗(yàn)與改進(jìn) (2)總結(jié)與應(yīng)用 (3)引伸與拓廣 第二章 常用的數(shù)學(xué)解題方法第一節(jié) 化歸方法 有位數(shù)學(xué)教育工作者提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”對(duì)此，某人回答說(shuō)：“在壺中

23、倒上水，點(diǎn)燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上。”提問(wèn)者肯定了這一回答；但是，他又追問(wèn)道：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠多的水，那你又應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”這時(shí)被提問(wèn)者往往會(huì)很有信心地說(shuō)：“點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！钡?，提問(wèn)者指出，他對(duì)這樣的回答并不滿意，因?yàn)?，“只有物理學(xué)家才會(huì)這樣做，而數(shù)學(xué)家們則會(huì)倒掉壺中的水，并聲稱把后一問(wèn)題化歸為前面所說(shuō)的問(wèn)題了?！?匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎彼得在其名著無(wú)窮的玩藝中曾通過(guò)一個(gè)有趣的事例化歸方法 一、化歸方法的含義 1. 所謂“化歸”，可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)方法論中的化歸方法是指：將一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行變換，使其歸結(jié)為另一個(gè)已能（或已經(jīng)）解決的

24、問(wèn)題，最終獲得問(wèn)題的解的一種求解問(wèn)題的手段和方法。或簡(jiǎn)單地說(shuō)，化歸就是問(wèn)題的規(guī)范化、模式化。 其解決問(wèn)題的思維方式是“轉(zhuǎn)化”或“再轉(zhuǎn)化”，解題過(guò)程可用下列框圖來(lái)表述： 2. 化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的.從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程.化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次

25、轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn). 3.轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化.等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等 價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證. 4.化歸方法包括三個(gè)要素： 化歸對(duì)象：即把什么東西進(jìn)行化歸； 化歸目標(biāo)：即化歸到何處去； 化歸途徑：即如何進(jìn)行化歸。 5.化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則： （1）熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決. （2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解

26、題的啟示和依據(jù).（3）和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其變?yōu)橛欣谶\(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或使其方法符合人們的思維規(guī)律. （4）直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決. （5）正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解. 例1 .（2007北京宣武區(qū)模擬題）某廠2006年生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同

27、，問(wèn)全年總利潤(rùn)m與全年總投入N的大小關(guān)系是（ ） A.mN B.m0，By|y26y80，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析由題意得Ay|ya21或ya，By|2y4，我們不妨先考慮當(dāng)AB時(shí)a的取值范圍如圖：例6. 已知a、b、c(0,1),求證:(1-a)b, (1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于 .證明 “不能同時(shí)大于 ”包含多種情形,不易直 接證明,可用反證法證明. 假設(shè)三式同時(shí)大于 ， a、b、c(0,1),三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a .這與假設(shè)矛盾，故原命題正確. 轉(zhuǎn)化與化歸的常見方法(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題(2)

28、換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過(guò)互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑(4)參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問(wèn)題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化(5)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題(6)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題，是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑(7)類比法：運(yùn)用類比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化途徑(8)特殊化方法：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問(wèn)題(9)一般化方法：若原問(wèn)題是某個(gè)一般化形式問(wèn)題的特

29、殊形式且又較難解決，可將問(wèn)題通過(guò)一般化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化(10)等價(jià)問(wèn)題法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的(11)加強(qiáng)命題法：在證明不等式時(shí)，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即把命題的結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件，從而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較易證明的命題加強(qiáng)命題法是非等價(jià)轉(zhuǎn)化方法(12)補(bǔ)集法：如果正面解決原問(wèn)題有困難，可把原問(wèn)題結(jié)果看作集合A，而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類比為全集U，通過(guò)解決全集U及補(bǔ)集UA獲得原問(wèn)題的解決以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割Relation Mapping Inversion Method關(guān)系映射反演法中國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)方

30、法論專家-徐利治 如果原問(wèn)題“化歸”為一個(gè)新問(wèn)題后，新問(wèn)題與原問(wèn)題是同構(gòu)的（即，只是形式不同，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)完全相同），這種“化歸”在數(shù)學(xué)上又稱為“RMI”方法。一、關(guān)系映射反演方法原象關(guān)系結(jié)構(gòu)（原象系統(tǒng)中的問(wèn)題）映射映射關(guān)系結(jié)構(gòu)（映射系統(tǒng)中的問(wèn)題）在映射系統(tǒng)中求得解決在原象系統(tǒng)中作出解決反演二、關(guān)系映射反演方法的基本含義問(wèn)題問(wèn)題*解答*解答映射法稱大象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化稱石頭的問(wèn)題石頭問(wèn)題得到解決大象問(wèn)題得到解決轉(zhuǎn)化映射反演原象系統(tǒng)中的問(wèn)題映象系統(tǒng)中的問(wèn)題在映象系統(tǒng)中求得解決在原象系統(tǒng)中作出解決曹沖稱象與關(guān)系映射反演法 利用映射，雙二次方程可化歸為二次方程而得到解決。例如： 對(duì)數(shù)計(jì)算法是應(yīng)用映射法來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)

31、題的典型例子。取對(duì)數(shù)取反對(duì)數(shù)這是求取某個(gè)未知量的具體問(wèn)題。幾何問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題代數(shù)結(jié)論 幾何結(jié)論 解析幾何的創(chuàng)立也可歸結(jié)為映射法的成功應(yīng)用。解析表示（坐標(biāo)系）這是涉及到理論的整體性結(jié)構(gòu)的高層次的問(wèn)題化歸與轉(zhuǎn)化思想在教學(xué)中應(yīng)用非常普遍，我們?cè)诮饷恳坏李}時(shí)，實(shí)際上都在轉(zhuǎn)化和類比。將問(wèn)題由難轉(zhuǎn)易，由陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)為熟悉的問(wèn)題，從而從問(wèn)題得到解決，類比與轉(zhuǎn)化的類型很多，歸納如下：高次問(wèn)題 低次問(wèn)題 復(fù) 雜 未 知多元問(wèn)題 一元問(wèn)題 問(wèn) 題 問(wèn) 題超越運(yùn)算 代數(shù)運(yùn)算 轉(zhuǎn) 化 轉(zhuǎn) 化無(wú)限問(wèn)題 有限問(wèn)題 簡(jiǎn) 單 已 知空間問(wèn)題 平面問(wèn)題 問(wèn) 題 問(wèn) 題幾何問(wèn)題 代數(shù)問(wèn)題 第二節(jié) 構(gòu)造法1.在科學(xué)發(fā)展的歷史中我們可

32、以看到，科學(xué)的發(fā)展總是和思維的發(fā)展有著緊密的聯(lián)系。數(shù)學(xué)的主要思維方法是什么？這是數(shù)學(xué)家們歷來(lái)關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題。2.歷史上不少著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里德，高斯，歐拉，拉格朗日維爾斯特拉斯，康托等人，都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功的解決過(guò)數(shù)學(xué)上的難題。 一 構(gòu)造法的概述1.歐幾里德的素?cái)?shù)定理2.構(gòu)造法的歷史及作用直覺數(shù)學(xué)階段（克隆尼克，彭加勒 ） ；算法數(shù)學(xué)階段（馬爾科夫及其合作者 ） ；現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段（比肖泊 ）3.構(gòu)造法的基本概念和特點(diǎn)構(gòu)造法解題模式對(duì)題設(shè)條件特征的分析通過(guò)創(chuàng)新思維實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化構(gòu)造通過(guò)推演實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化結(jié)論函數(shù)關(guān)系式圖像方程等二、構(gòu)造法舉例1、構(gòu)造輔助數(shù)與式例1、正數(shù) 滿足 求證：2、構(gòu)造函數(shù)

33、1）構(gòu)造函數(shù)解方程例2、解方程2）構(gòu)造函數(shù)證明等式例3、已知 互不相等，求證：例4、設(shè) 兩兩不等，證明： 3）構(gòu)造函數(shù)解不等式例5、解不等式 4）構(gòu)造函數(shù)證明不等式例6、已知： 為三角形的邊， 求證：5）構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)的范圍例7、已知不等式 對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n都成立,試求實(shí)數(shù) 的范圍.分析：本題的關(guān)鍵是找到 的最小值,構(gòu)造函數(shù)f(n),則可以找到解題的突破口.3、構(gòu)造方程例8、已知 ， ， 求 的值例9、設(shè) 且 , , 求 的范圍 4、構(gòu)造圖形例10、求函數(shù) 的值域 例11、求函數(shù) 的最值。例12、若求證：5、構(gòu)造向量法例13、求函數(shù) 的最大值。 例14、 已知a,b,c為正數(shù),求函數(shù)y

34、=的最小值.例15、 已知:a,b ,a+b=1。求證: 6、構(gòu)造模型法 例16、 求不定方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。 例17、 若 ， ，求證7、構(gòu)造數(shù)列例18、設(shè)任意實(shí)數(shù) ， 滿足 求證： （第19屆莫斯科數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）例19、 求證：(其中nN+)8、構(gòu)造等式例20、 解方程9、構(gòu)造特例例21、證明存在兩個(gè)無(wú)理數(shù) ，使得 是有理數(shù)。10、構(gòu)造對(duì)偶式例22、已知 是方程 的兩個(gè)根，且 ，不解方程，求 的值。例23、對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f（x）=,計(jì)算f（ ）+f（ ） +f（ ）+f（ ）+f（ ）+f（1）+f（1）+f（2）+f（3）+ +f（2004）+f（2005）+f（2006）= .例2

35、4、求 的值。三 構(gòu)造法的優(yōu)點(diǎn)1.還原功能（轉(zhuǎn)化到已知的熟悉的領(lǐng)域）2分解功能（分解成若干步驟）3簡(jiǎn)化功能（加工、處理、換元）4數(shù)形轉(zhuǎn)化功能（數(shù)形結(jié)合） “抽屜原理”又稱“鴿巢原理”，最先是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來(lái)的，所以又稱“狄利克雷原理”。抽屜原理的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問(wèn)題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。 狄利克雷（18051859）一:引子 晏子春秋里有一個(gè)“二桃殺三士”的故事，大意是： 齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。 這三名勇士都力大無(wú)比，武功超群，為齊景公立下過(guò)不少功勞。 但他們也剛愎自用，目中無(wú)人，得罪了齊國(guó)的宰相晏嬰。晏子

36、便勸齊景公殺掉他們，并獻(xiàn)上一計(jì)：以齊景公的名義賞賜三名勇士?jī)蓚€(gè)桃子，讓他們自己評(píng)功，按功勞的大小吃桃。 三名勇士都認(rèn)為自己的功勞很大，應(yīng)該單獨(dú)吃一個(gè)桃子。于是公孫接講了自己的打虎功，拿了一只桃子；田開疆講了自己的殺敵功，拿起了另一桃。兩人正準(zhǔn)備要吃桃子，古冶子說(shuō)出了自己更大的功勞。 公孫接、田開疆都覺得自己的功勞確實(shí)不如古冶子大，感到羞愧難當(dāng)，趕忙讓出桃子。并且覺得自己功勞不如人家，卻搶著要吃桃子，實(shí)在丟人，是好漢就沒有臉再活下去，于是都拔劍自刎了。 古冶子見了，后悔不迭。仰天長(zhǎng)嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴(yán)；為了維護(hù)自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。 如今兩個(gè)伙伴都為此而死了，我

37、獨(dú)自活著，算什么勇士！說(shuō)罷，也拔劍自殺了。 晏子采用借“桃”殺人的辦法，不費(fèi)吹灰之力，便達(dá)到了他預(yù)定的目的，可說(shuō)是善于運(yùn)用權(quán)謀。漢朝的一位無(wú)名氏在一首詩(shī)中曾不無(wú)諷刺的寫道：“一朝被讒言，二桃殺三士。誰(shuí)能為此謀，相國(guó)務(wù)晏子!” 值得指出的是，在晏子的權(quán)謀之中，包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)原理抽屜原理。 在“二桃殺三士”的故事中，把兩個(gè)桃子看作兩個(gè)抽屜，把三名勇士放進(jìn)去，至少有兩名勇士在同一個(gè)抽屜里，即有兩人必須合吃一個(gè)桃子。如果勇士們寧死也不肯忍受同吃一個(gè)桃子的羞恥，那么悲劇的結(jié)局就無(wú)法避免。抽 屜 原 則把n1個(gè)元素分為n個(gè)集合，那么必有一集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素。把nm+1個(gè)元素分為n個(gè)集合，

38、那么必有一集合中元素含有m+1個(gè)或m+1個(gè)以上的元素。把n個(gè)元素分為k個(gè)集合，那么必有一個(gè)集合中元素的個(gè)數(shù) n/k，也必有一個(gè)集合中元素的個(gè)數(shù) n/k把q1q2qnn1個(gè)元素分為n個(gè)集合，那么必有一個(gè)i(1 n)。在第i個(gè)集合中元素的個(gè)數(shù) qi。把無(wú)窮多個(gè)元素分為有限個(gè)集合，那么必有一個(gè)集合含有無(wú)窮多元素例1在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意放置5個(gè)點(diǎn)，試證：其中必有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于 。證明：將邊長(zhǎng)為1的正方形劃分成如圖所示的四個(gè)邊長(zhǎng)為 的小正方形，則每個(gè)小正方形中任意兩點(diǎn)間的距離不大于 ，據(jù)抽屜原理：5個(gè)點(diǎn)放入四個(gè)正方形中，其中至少有一個(gè)正方形中至少有2個(gè)點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)間的距離不大于 。例

39、2證明：邊長(zhǎng)為1的的正三角形內(nèi)任意放置5個(gè)點(diǎn)，其中必有兩點(diǎn)，其距離不超過(guò) 。例3在邊長(zhǎng)為1的正方形中有任意九個(gè)點(diǎn)。試證：在以這些為頂點(diǎn)的各個(gè)三角形中，至少有一個(gè)三角形，其面積不大于 。例2證明：邊長(zhǎng)為1的的正三角形內(nèi)任意放置5個(gè)點(diǎn)，其中必有兩點(diǎn)，其距離不超過(guò) 。例3在邊長(zhǎng)為1的正方形中有任意九個(gè)點(diǎn)。試證：在以這些為頂點(diǎn)的各個(gè)三角形中，至少有一個(gè)三角形，其面積不大于 。例4、設(shè)ABC為一個(gè)等邊三角，E是三邊上點(diǎn)的全體，對(duì)于每一個(gè)把E分成兩個(gè)不相交子集的分劃，問(wèn)這兩個(gè)子集中是否至少有一個(gè)子集包含著一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)。例5、九條直線中的每一條直線都把正方形分成面積比為2：3的兩個(gè)四邊形，證明：

40、這九條直線中至少有三條經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)例6求證：任給五個(gè)整數(shù)，必能從中選出三個(gè)，使得它們的和能被3整除。例7、在1、4、7、10、13、100中任選出20個(gè)數(shù)，其中至少有不同的兩組數(shù)，其和都等于104，試證明之。證明：因?yàn)槿我庖粋€(gè)整數(shù)被3除的余數(shù)只能是0，1，2，若任給的5個(gè)整數(shù)被3除的余數(shù)中0，1，2都出現(xiàn)，則余數(shù)為0，1，2的三個(gè)整數(shù)之和能被3整除；若5個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)只出現(xiàn)0，1，2中的兩個(gè)，則據(jù)抽屜原理知：必有3個(gè)整數(shù)的余數(shù)相同，而余數(shù)相同的3個(gè)數(shù)之和能被3整除。故任給五個(gè)整數(shù)，必能從中選出三個(gè)，使得它們的和能被3整除。例8求證：對(duì)于任給的1987個(gè)自然數(shù)，從中總可以找到若干個(gè)數(shù)，使它們的和

41、能被1987整除。例9在任意一次集會(huì)中，其中必有兩個(gè)人，他們認(rèn)識(shí)的人一樣多，試證明之。例10證明：在全世界所有人中任選六個(gè)人，其中一定有三個(gè)人，他們之間或者互相認(rèn)識(shí)，或者互相不認(rèn)識(shí)。例11平面上有1987個(gè)點(diǎn)，任取三個(gè)點(diǎn)都有兩點(diǎn)的距離小于1。求證：存在半徑為1的圓，它至少蓋住994個(gè)點(diǎn)。例11十七個(gè)科學(xué)家，其中每一個(gè)和其他所有的人都通信。在他們的通信中，只討論三個(gè)題目，而且每?jī)蓚€(gè)科學(xué)家之間只討論一個(gè)題目。求證：至少有三個(gè)科學(xué)家相互之間在討論同一個(gè)題目。例12一個(gè)國(guó)際社團(tuán)的成員來(lái)自六個(gè)國(guó)家，共有1978人，用來(lái)編號(hào)。試證明：該社團(tuán)至少有一個(gè)成員的編號(hào)與他的兩個(gè)同胞的編號(hào)之和相等，或是其一個(gè)同胞編

42、號(hào)的二倍。例13在100個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，任取51個(gè)數(shù)，試證明在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。例14任給7個(gè)實(shí)數(shù)，證明其中必有兩個(gè)數(shù)，記為 ，滿足例15、設(shè)a ,a ,a 是嚴(yán)格上升的自然數(shù)列：a a a 求證：在這個(gè)數(shù)列中有無(wú)窮多個(gè)a 可以表示為a =xa +ya ,這里pq是兩個(gè)正整數(shù)，而x,y是兩個(gè)適當(dāng)?shù)恼麛?shù)。例16、設(shè) 為實(shí)數(shù)，滿足 求證：對(duì)于每一個(gè)整數(shù) 存在不完全為零的整數(shù) 使得 并且例17、在直角坐標(biāo)系中，格上點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足1 ，將這144個(gè)格點(diǎn)分別染成紅、藍(lán)、白三色，證明：存在一個(gè)矩形它的邊平行于坐標(biāo)軸，它的頂點(diǎn)具有相同顏色。例18、已知1與90之間的

43、19個(gè)不同的正整數(shù)，兩兩的差中是否一定有三個(gè)相等？例19、在一個(gè)面積為2025的長(zhǎng)方形內(nèi)任意放進(jìn)120個(gè)面積為11的正方形，證明：在這個(gè)長(zhǎng)方形內(nèi)一定還可以放下一個(gè)直徑為1的圓，它和這120個(gè)正方形的任何一個(gè)都不相重疊。例20、任意地給定一個(gè)三角形ABC及其一個(gè)內(nèi)點(diǎn)p，直線AP，BP，CP與對(duì)邊的交點(diǎn)分別記為A ， B ， C ,求證：在下列三個(gè)比值A(chǔ)P：PA , BP：PB , CP：PC 中至少有一個(gè)不大于2，也至少有一個(gè)不小于2。 第三節(jié) 分類討論【例】（2009連云港調(diào)研）已知不等式 的解集為a，b（a,b是常數(shù)，且 0ab）,求a、b的值. 分析 由于 的對(duì)稱軸為x=2,區(qū)間 含參數(shù)可

44、按a、b、2的大小關(guān)系進(jìn)行分類. 解 設(shè) 顯然，其對(duì)稱軸為x=2. （1）當(dāng)a2b時(shí)，如圖1所示，函數(shù)f(x)的最小值 為1，a=1. 又axb,圖1 此時(shí)，函數(shù)f(x)在a，b上的最大值為f(1)或 f(b). f(b)為最大值. 又由于f(x)在1,b上的值域?yàn)?,b， f（b）=b. （2）當(dāng)2ab時(shí)，如圖2所示， 函數(shù)f(x)在a,b上遞增， f（a）=a，f（b）=b.圖2 解之，得a=b=4,這與已知0ab矛盾，應(yīng)舍去. （3）當(dāng)0ab2時(shí)，如圖3所示，函數(shù)f(x)在a,b 上遞減， f（a）=b，f（b）=a， 圖3 解之，得 這與0ab矛盾，應(yīng)舍去. 綜上可知,a=1,b=4.

45、 探究拓展 對(duì)稱軸與目標(biāo)區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系影 響函數(shù)最值的獲取，本例是典型的“定軸，動(dòng)區(qū) 間”類問(wèn)題，要圍繞目標(biāo)區(qū)間是否覆蓋定軸作討 論.另一類與之相對(duì)應(yīng)的問(wèn)題是“定區(qū)間動(dòng)軸”問(wèn) 題。 當(dāng)被解決的問(wèn)題出現(xiàn)兩種或兩種以上情況時(shí)，為 敘述方便，使問(wèn)題表述有層次、有條理，需作討 論分別敘述. 例.設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0），aR，求曲 線y2=2x上的點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值d. 分析 本題是求兩點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題，代入 距離公式、轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題.注意拋 物線上的點(diǎn)（x,y）應(yīng)滿足x0. 解 設(shè)M（x,y）為曲線y2=2x上一點(diǎn) （2）當(dāng)a0 且a1)、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax (a0,a1)

46、中底數(shù)a的 范圍對(duì)單調(diào)性的影響；等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中公 比q的范圍對(duì)求和公式的影響；復(fù)數(shù)概念的分類； 不等式性質(zhì)中兩邊同時(shí)乘以正數(shù)與負(fù)數(shù)對(duì)不等號(hào) 方向的影響；排列組合中的分類計(jì)數(shù)原理；圓錐 曲線離心率e的取值與三種曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系；運(yùn)用 點(diǎn)斜式，斜截式直線方程時(shí)斜率k是否存在；角的 終邊所在象限與三角函數(shù)符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，等等.3.分類討論產(chǎn)生的時(shí)機(jī)： （1）涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的. （2）運(yùn)算公式、法則、性質(zhì)是分類給出的. （3）參數(shù)的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果. （4）幾何圖形的形狀、位置的變化會(huì)引起不同的 結(jié)果. （5）所給題設(shè)中限制條件與研究對(duì)象不同的性質(zhì) 引發(fā)不同的結(jié)論. （6）復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題或非常規(guī)問(wèn)題需分類處理才便 于解決. （7）實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義決定要分類討論.避免分類討論的有關(guān)策略 (一) 用等比定理推導(dǎo)當(dāng) q = 1 時(shí) Sn = n a1因?yàn)樗?合比定理：第四節(jié) 一題多解專題例1、等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)：Sn = a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +.+ a1qn-2 + a1qn-1= a1+ q ( a1 + a1q + .+ a1qn-3 + a1qn-2 )= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn an )Sn = a1 ( 1 q