彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程(第四版)-第八章-課后作業(yè)題答案

1、 第八章空間問題的解答【8-1】設(shè)有任意形狀的等截面桿，密度為p，上端懸掛，下端自由，如題8-1圖所示。試考察應(yīng)力分量a二0Q二0Q二pgz,T二0,T二0,T二0是否xyzyzzxxy能滿足所有一切條件。題i1附【解答】按應(yīng)力求解空間問題時(shí)，須要使得六個(gè)應(yīng)力分量在彈性體區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分方程，教材中式（7-1）；滿足相容方程，教材中式（8-13）；并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件，教材中式（7-5）。(1)-pg，很顯然，應(yīng)力分量滿足如下的平衡微分方程dadTdT=0,dTdadTdx=0,dTdTda二0。(1+y)v2axdx2(1+R)V2a+ydy2(1+R)V2azdz2（2）O=a+a

2、+a二pgz，應(yīng)力分量也滿足貝爾特拉米相容方程xyz(1+)v2T+竺二0,xydxdy(1+p)v2T+空=0,yzdydz(1+p)v2T+-d二0。dzdx（3）考察應(yīng)力邊界條件：柱體的側(cè)面和下端面，f=f=f=0。在（對(duì)）xyz平面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界（側(cè)面方向余弦分別為n=0,Im為任意的；在下端面方向余弦分別為n=-1,l=m=0），應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件，將應(yīng)力和面力分量、方向余弦分別代入下式TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark28 Cg+m+nr)=f,/xyxzxxsx HYPERLINK l bookmark30 (r+mG+nr)=f,

3、/xyyzysyVr+mr+nG)=f。s直桿的側(cè)面和下端的應(yīng)力邊界條件都能滿足。因此,所給應(yīng)力分量是本問題的解?！?-8】扭桿的橫截面為等邊三角形OAB,其高度為a（題8-8圖），取坐標(biāo)xzyzzsz試證應(yīng)力函數(shù)軸如圖所示，則AB,OA,OB三邊的方程分別為x-a二0,x、3y二0,x+j3y二0。=m(x-a)(x-J3y)(+、3y)能滿足一切條件，并求出最大切應(yīng)力及扭角。B【解答】（1）扭桿無(wú)孔洞，應(yīng)力函數(shù)顯然滿足側(cè)面邊界條件（）=0。由s桿滿足端部的邊界條件，教材中式(8-18)得2Ifm(x-a)(x-；3y)(+；3)dxdy=M,A2mfafa/3_C3-3xy2-ax2+3a

4、y2)dxdy=M,0-a/32mfatC4-ax3)dx=M,03占積分求解得m=-M。（2）將代入相容方程，教材中式（8-21）V2O=-2GK,C3-3xy2-ax2+3ay2)=4am=-?M。a462d2+、Qx26y2丿再將m代入上式結(jié)果，得-3-3M二2GK,a4Ga43）由教材中式（8-15）求切應(yīng)力分量得t耳蟲旳(x-a)y,xzdya5t=yz孔旦3M(3x2-2ax-3y2)dx2a5（4）由薄膜比擬法知，在扭桿的邊界上，三個(gè)邊的中點(diǎn)將發(fā)生最大剪應(yīng)力，為方便計(jì)算，考慮C點(diǎn)：tmaxzy=空M,2a3(t)=0。zxx=a,y=05）單位長(zhǎng)度上扭角為卩c15V3MK=2GGa4【8-10】設(shè)有一邊長(zhǎng)為a的正方形截面桿，與一面積相同的圓截面桿，受有相同的扭矩M,試比較兩者的最大切應(yīng)力和單位長(zhǎng)度的扭角?！窘獯稹浚?）根據(jù)教材中式（8-34）和式（8-35）可知任意矩形桿的最大切應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角的表達(dá)式，MMt=,K=,maxab2pab3Gp1對(duì)于邊長(zhǎng)為a的正方形截面桿，a=b,p=0.208,P1=0.141o將這些數(shù)值代入上式，得tmaxMab2p=4.808Ma3ab3Gp1=7.092Ma4G2）根據(jù)教材中式（8-27）和式（8-28）可知橢圓截面桿的最大切應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)角的表達(dá)式t，=斗max兀ab2的圓截面桿，上式中a對(duì)于面積為兀a