2022學(xué)年安徽省示范高中金榜教育高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(含解析)

1、2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為

2、（ ）ABCD2函數(shù)在上的最大值和最小值分別為（ ）A，-2B，-9C-2，-9D2，-23已知，且，則在方向上的投影為（ ）ABCD4設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）A21B22C11D125等差數(shù)列中，則數(shù)列前6項和為（）A18B24C36D726國家統(tǒng)計局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個月的中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）A12個月的PMI值不低于50%的頻率為B12個月的PMI值的平均值低于50%C12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D12個月的PMI值的中位數(shù)為50.3%7設(shè)直線的方程為，圓

3、的方程為，若直線被圓所截得的弦長為，則實(shí)數(shù)的取值為A或11B或11CD8若sin(+32)=33，則cos2=（ ）A-12B-13C13D129如圖在直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，過點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足分別為、，在矩形中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則它在陰影部分的概率為（ ）ABCD10下列不等式成立的是（ ）ABCD11設(shè)，則“ ”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件12設(shè)，是方程的兩個不等實(shí)數(shù)根，記（）.下列兩個命題（ ）數(shù)列的任意一項都是正整數(shù)；數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù).A正確，錯誤B錯誤，正確C都正確D都錯誤二、填空題：本題共4小題

4、，每小題5分，共20分。13數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_14已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，點(diǎn)P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點(diǎn)，若三棱錐P-ABC的外接球表面積恰為414，則此時點(diǎn)P構(gòu)成的圖形面積為_.15設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是_.16若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，平面，是的中點(diǎn).（）求證：平面平面；（）求直線與平面所成的角的正弦值.18（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指

5、數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如表：AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于0，50，（50，100的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)

6、損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.19（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，求證：.20（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線與曲線交于點(diǎn)，將射線繞極點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)交曲線于點(diǎn).（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）求面積的最大值21（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，.點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面.（2）判斷與平面的位置關(guān)系，并證明.22（10分）已知數(shù)列中，前項和為，若對任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列

7、為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列，使得對任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請說明理由.2022學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】直線的方程為，令和雙曲線方程聯(lián)立，再由得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【題目詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則，且將代入雙曲線方程中，得到設(shè)則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【答案點(diǎn)睛】此題考查雙曲線和直線相交問題，聯(lián)立直線

8、和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.2、B【答案解析】由函數(shù)解析式中含絕對值，所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【題目詳解】依題意，作出函數(shù)的圖象如下所示；由函數(shù)圖像可知，當(dāng)時，有最大值，當(dāng)時，有最小值.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法，由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.3、C【答案解析】由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計算【題目詳解】由可得，因?yàn)?，所以故在方向上的投影為故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵4、A【答案解析】由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項，

9、列出方程，即可求出的值.【題目詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以 ，即，解得.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項.對于等差數(shù)列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計算量大大減少.5、C【答案解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式可得結(jié)果.【題目詳解】等差數(shù)列中，即，故選C.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、D【答案解析】根據(jù)圖形中的信息，可得頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù)，從而得到答案.【題目詳解】對A

10、，從圖中數(shù)據(jù)變化看，PMI值不低于50%的月份有4個，所以12個月的PMI值不低于50%的頻率為，故A正確；對B，由圖可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正確；對C，12個月的PMI值的眾數(shù)為49.4%，故C正確，；對D，12個月的PMI值的中位數(shù)為49.6%，故D錯誤故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計、眾數(shù)、中位數(shù)計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【答案解析】圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長公式得，解得或，故選A8、B【答案解析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡即可.【題目詳解】因?yàn)閟in+32=33，由誘導(dǎo)公式得cos=-33，所以cos

11、2=2cos2-1=-13 .故選B【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、A【答案解析】設(shè)所求切線的方程為，聯(lián)立，消去得出關(guān)于的方程，可得出，求出的值，進(jìn)而求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【題目詳解】設(shè)所求切線的方程為，則，聯(lián)立，消去得，由，解得，方程為，解得，則點(diǎn)，所以，陰影部分區(qū)域的面積為，矩形的面積為，因此，所求概率為.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型，同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.10、D【答案解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)

12、函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【題目詳解】對于，錯誤；對于，在上單調(diào)遞減，錯誤；對于，錯誤；對于，在上單調(diào)遞增，正確.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題；關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.11、C【答案解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可【題目詳解】a，b（1，+），ablogab1，logab1ab，ab是logab1的充分必要條件，故選C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵12、A【答案解析】利用韋達(dá)定理可得,結(jié)合可推出,再計算出,

13、從而推出正確;再利用遞推公式依次計算數(shù)列中的各項,以此判斷的正誤.【題目詳解】因?yàn)?是方程的兩個不等實(shí)數(shù)根,所以,因?yàn)?所以,即當(dāng)時,數(shù)列中的任一項都等于其前兩項之和,又,所以,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項都是正整數(shù),故正確;若數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù),則此項個位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,依次計算可知,數(shù)列中各項的個位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個位數(shù)字為0或5的項,故錯誤;故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】先計算

14、平均數(shù)再求解方差與標(biāo)準(zhǔn)差即可.【題目詳解】解：樣本的平均數(shù), 這組數(shù)據(jù)的方差是 標(biāo)準(zhǔn)差,故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了標(biāo)準(zhǔn)差的計算,屬于基礎(chǔ)題.14、.【答案解析】設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉，分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1，先確定球心O在線段AC和A1C1中點(diǎn)的連線上，先求出球O的半徑R的值，然后利用勾股定理求出OO的值，于是得出OO1=OO1-OO，再利用勾股定理求出點(diǎn)P在上底面軌跡圓的半徑長，最后利用圓的面積公式可求出答案【題目詳解】如圖所示，設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉，分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1，則點(diǎn)O在線段OO1上，由于正方體ABCD-A1B1C1D1的棱

15、長為2，則ABC的外接圓的半徑為OA=2，設(shè)球O的半徑為R，則4R2=414，解得R=414.所以，OO=R2-OA2=34，則OO1=OO1-OO=2-34=54而點(diǎn)P在上底面A1B1C1D1所形成的軌跡是以O(shè)1為圓心的圓，由于OP=R=414，所以O(shè)1P=R2-OO12=1，因此，點(diǎn)P所構(gòu)成的圖形的面積為O1P2=.【答案點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動點(diǎn)的軌跡，屬于中檔題.15、1【答案解析】根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后判斷求出目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解【題目詳解】作出實(shí)數(shù)，滿足表示的平面區(qū)域，如圖所示：由可得，則

16、表示直線在軸上的截距，截距越小，越大.由可得，此時最大為1，故答案為：1【答案點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想16、【答案解析】由題意可得導(dǎo)數(shù)在恒成立，解出即可【題目詳解】解：由題意，當(dāng)時，顯然，符合題意；當(dāng)時，在恒成立，故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、 ()詳見解析；()【答案解析】試題分析：（）連接交于，得，所以面，又 ，得面，即可利用面面平行的判定定理，證得結(jié)論；（）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求的平面的一個法向量 ，利用

17、向量和向量夾角公式，即可求解與平面所成角的正弦值試題解析：（）連接BD交AC于O，易知O是BD的中點(diǎn)，故OG/BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以O(shè)G/面BEF；又EF/AC，AC在面BEF外，AC/面BEF，又AC與OG相交于點(diǎn)O，面ACG有兩條相交直線與面BEF平行，故面ACG面BEF；（）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C、OD、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ，設(shè)面ABF的法向量為，依題意有，令，直線AD與面ABF成的角的正弦值是 18、（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）會超過；詳見解析【答案解析】（1）利用組合進(jìn)行計算以及概率表示，可得結(jié)果.（2）（i）寫

18、出X所有可能取值，并計算相對應(yīng)的概率，列出表格可得結(jié)果.（ii）由（i）的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對應(yīng)的概率，可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和，最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬元比較，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（2），P（3），則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為；（2）（i），X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）02201480302（元），故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E（X），即30E（X）9060元，設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為Y元，可得：，E（Y）02201480

19、320（元），所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望為320（31+31）19840（元），由19840+90602890028800，即7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會超過2.88萬元.【答案點(diǎn)睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬基礎(chǔ)題。19、（1）；（2）證明見解析.【答案解析】（1）分、三種情況解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）利用分析法可知，要證，即證，只需證明即可，因式分解后，判斷差值符號即可，由此證明出所證不等式成立.【題目詳解】（1）.當(dāng)時，由，解得，此時；當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解

20、集為；（2）要證，即證，因?yàn)椋裕?所以，.故所證不等式成立.【答案點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的求解，同時也考查了利用分析法和作差法證明不等式，考查分類討論思想以及推理能力，屬于中等題.20、（1）（為參數(shù)）；（2）.【答案解析】（1）根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線的參數(shù)方程可得出曲線的參數(shù)方程；（2）將曲線的方程化為普通方程，然后化為極坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程，得出和關(guān)于的表達(dá)式，然后利用三角恒等變換思想即可求出面積的最大值【題目詳解】（1）由于曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，則曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程得，化為極坐標(biāo)方程得，即，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程得，的面積為，當(dāng)時，的面積取到最大值.【答案點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查了伸縮變換，同時也考查了利用極坐標(biāo)方程求解三角形面積的最值問題，要熟悉極坐標(biāo)方程所適用的基本類型，考查分析問題和解決問題的能