高階偏導(dǎo)數(shù)課件

1、第五節(jié) 高階偏導(dǎo)數(shù)本節(jié)主要講兩個(gè)問(wèn)題：一、什么是高階偏導(dǎo)數(shù)二、在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等 多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)類(lèi)似:一般情況下,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)還是的函數(shù),如果的偏導(dǎo)數(shù)還存在,則稱(chēng)它們的偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù).即:函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱(chēng)為原來(lái)函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),稱(chēng)為原來(lái)函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù).二階以及二階以上的稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù). 依此類(lèi)推,可定義多元函數(shù)的更高階的偏導(dǎo)數(shù).二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).對(duì)的二階偏導(dǎo)數(shù).對(duì)的混合對(duì)二階偏導(dǎo)數(shù).二階偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào): 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共 22 = 4 項(xiàng)二元函數(shù)三階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)共23=8項(xiàng).例1 求的二

2、階偏導(dǎo)數(shù).解例2 求處的二階混合偏導(dǎo)數(shù).問(wèn)題: 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?在解當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),顯然問(wèn)題: 在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)相等?定理若和在點(diǎn)處連續(xù),則這樣以來(lái),如果二元函數(shù)對(duì) 求 次,對(duì) 求 次的混合高階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),對(duì)自變量求偏導(dǎo)時(shí)可不分順序, 它們都是相等的(反復(fù)利用上述定理).其它多元函數(shù)類(lèi)似.例2 設(shè)求解例3 所確定的函數(shù)求解則故例:還是 的函數(shù)!注意:抽象復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),仍為抽象復(fù)合函數(shù).例4 設(shè)求解令則有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),令則例5 設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo),求解例6 設(shè)其中二階偏導(dǎo)連續(xù),求二階可導(dǎo),解 記例7 設(shè)求解例8 設(shè)可把方程:簡(jiǎn)化為求常數(shù)解 ,若由將上述結(jié)果代入原方程得:依題意:得例9 設(shè)求解 例10 設(shè)其中均二次可導(dǎo),求解 記則例11 設(shè)存在二階連偏導(dǎo)數(shù),且求解 記則小