人教數(shù)學旋轉(zhuǎn)的專項培優(yōu)練習題(含答案)及詳細答案

1、-旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)在平而直角坐標系中，四邊形AoBC是矩形，點O (0, 0),點4 (5, 0),點3 (0, 3).以點&為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADFF,點O, B, C的對應(yīng)點分別 為 D, & F.如圖，當點D落在3C邊上時，求點D的坐標：如圖，當點D落在線段3E上時，加與BC交于點H.求證 ADB里 AOBt求點H的坐標.記K為矩形AoBC對角線的交點，S為AKDF的而積，求S的取值范圍(直接寫出結(jié) 果即可)圖圖【答案】(I) D (1, 3) ；(2)詳見解析：H (, 3) ；(3)30-334 30 + 3344 _4【解析】【分析】如圖

2、，在Rt ACD中求出CD即可解決問題：根據(jù)HL證明即可：，設(shè) AH=BH=m.則 HC=BC-BH=5-m,在 Rt AHC 中，根據(jù) AH2=HC2+AC2,構(gòu)建方程求出 m即可解決問題；如圖中，當點D在線段BK上時，ADEK的而積最小，當點D在BA的延長線上 時，ADEK的面積最大，求出而積的最小值以及最大值即可解決問題：【詳解】如圖中，圖. A (5, O) , B (0, 3),.0A=5, OS=3,.四邊形&08C是矩形，：.AC=OB=39 OA=BC=59 Z OBC=Z C=90otT矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到，：.AD=AO=S9在 Rt ADC 中，CD= J

3、aD2-AC2 =4 BD=BC-CD=ItD (1, 3)如圖中，圖由四邊形ADEF是矩形，得到ZqDQ90。，.點D在線段BF上，/. Z D=90%由(1)可知，AD=AO.又 AB=AB. ZqoB=90,. Rf ADB R仏 AOB (HL )如圖中，由AADB旻 40B,得到Z BAD=A BAO. 又在矩形AOBC中，OAW BC, Z CBA=A OAB,：.Z BAD=A CBA,：.BH=AHf 設(shè) AH=BH=m.則 He=BCBH=5-m,在 RtA AHC 中,. AH2=HC2AC29. m2=32+ (5-n?) 217ZT)=,17.,.BH=,5（3）如圖中

4、，當點D在線段BK上時，ZEK的而積最小，最小值=iDfD=3（S 34 -30-334當點D在弘的延長線上時， D9E1K的而積最大，最大而積=-D,E,KD - 32 2(S+34 = 30 +3阿4綜上所述，3-3345 OM=4- X,. OM2+BN2=MN2.(42 - )2+2 = (2x)2,解得 = - 2J +2 或-2 返-26 (舍棄) MN= 2+46 【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考査了等腰直角三角形的性質(zhì)和判沱，全等三角形的判左和性 質(zhì)，勾般定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問 題，屬于中考壓軸題.如圖2,點O是正方形A3CD兩

5、對角線的交點.分別延長OD到點G, OC到點E,使 0G=20D. OQ20C,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG, DE.求證：DEAG:正方形ABCD固總 將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)G角(0。V 9y OG = OE在 40G和 DOE中，OA = ODZ10G = ZDOE = 90OG = OE AOGc2 DOE, AG0 = LDEO-AG0 + GA0 = 90o9Z.G/10 +乙 DEo = 90。.Zi4HE = 90o即 DE LAG.(2)如圖2.在旋轉(zhuǎn)過程中，OAGtf為直角有兩種情況:Q由。增大到90。過程中，當0AGt = 90o時,1 1OA

6、 = OD=oG = OGt9OA 1 在乩 OAG中，SinZ AGO=OGV 0/1 丄 OD OALAGt* 0DAGD0Gt = AGt0 = 3Qo9即 Q = 30。：(II)Q由9增大到180過程中，當0G,=9O。時, 同理可求乙BOG= 30。，. = 180-30 =150綜上所述，當4G = 90。時， = 30。或150。.當旋轉(zhuǎn)到0、F在一條直線上時，力F的長最大，Y正方形ABCD的邊長為1,2OA = OD = OC=OB = *-OG = 20D9oG = OG =込 OF = 2 AFI = AOOF = + 22fVZCOE, = 459此時 cr15點睛：考

7、查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判左與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，旋轉(zhuǎn)變換的性 質(zhì)的綜合應(yīng)用，有一泄的綜合性，注意分類討論的思想.（12分）如圖2,在等邊AABC中，點D, E分別在邊AB, AC上，AD=AE,連接BE,CD,點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點.（1）觀察猜想：圖1中， PMN的形狀是:（2）探究證明：把AADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位宜， PM N的形狀是否發(fā)生 改變？并說明理由；（3）拓展延伸：把AADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=I, AB=3,請直接寫出APMN 的周長的最大值.AABPC圖1【答案】（1）等邊三角形:（2） PMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊

8、三角形,理由見解析;（3）6【解析】 分析：（1）如圖1,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC. ZABC=Z ACB=60。，則BD=CE.再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PMIl CE. PM=丄CE, PNW AD. PN=L BD,從而得到2 2PM=PN. Z MPN=60從而可判斷 PMAZ為等邊三角形；（2）連接CE、BD,如圖2,先利用旋轉(zhuǎn)的泄義，把AABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。可得到 CAE.貝IJ BD=CE9 Z 48D=Z ACE.與（2一樣可得 PM=PN. ZBPM=乙 BCEZCPN=Z CBD,則汁算岀Z 3PM+Z CP二:L20。，從而得到ZMPA/二60。，于是可

9、判斷 PM/V為 等邊三角形.（3）利用AB - ADBDAB+AD （當且僅當點8、久D共線時取等號）得到8D的最大值 為4,則PN的最大值為2,然后可確 PMN的周長的最大值.詳解：（1）如圖1. ABC為等邊三角形，AB=AC9 Z ABC=Z ACB=60o AD=AE9BD=CE點M、N、P分別是BE、CD、8C的中點，11/. PMW CEf PM=-CEt PNW AD. PN=-BD,22 PM=PN9 Z BPM=A BCA=60 Z CPV=Z CaA=60,Z MPN=60。， PMN為等邊三角形；故答案為等邊三角形；（2） APMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形.理

10、由如下: 連接CG BD9如圖2. AB=AC, AE=AD. Z BAC=A DAE=60.把厶ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60?？傻玫?CAE,：.BD=CE. Z ABD=A ACE,與（1） 一樣可得 PMll CE9 PM=-CE9 PNW ADt PN=-BD92 2：.PM=PN, Z BPM=Z BCE, Z CPV=Z CBD,：.Z BPM+Z CPN=乙 CBD+Z CBD=A ABC - Z ABD+Z &CB+Z C=60o+60o=120Z MPN=60 ：. PMN為等邊三角形(3).PM= -BD9 A當BD的值最大時，PN的值最大2AB - ADBDABAD (當且

11、僅當點氏 久D共線時取等號)BD的最大值為1+3=4, /. PN的最大值為2, PMN的周長的最大值為6.ri點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線 段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判左與性質(zhì)和三角 形中位線性質(zhì).如圖2,在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC, CD上，且BE=DF,點P是AF的中 點，點Q是直線AC與EF的交點，連接PQ, PD.求證：AC垂直平分EF；試判斷APDQ的形狀，并加以i正明；如圖2,若將ACEF繞著點C旋轉(zhuǎn)180。，貝余條件不變，則(2)中的結(jié)論還成立 嗎？若成立，請加以證明；若不成立，

12、請說明理由.【答案】(1)證明見解析：(2) PDQ是等腰直角三角形；理由見解析(3)成立：理 由見解析.【解析】試題分析：(1)由正方形的性質(zhì)得出AB二BC=CD二AD, Z B=Z ADF=90o,ZBCA二ZDCA=45。，由BE=DF,得出CE=CF, CEF是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論：(2)由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD=2AF, PQ=2AF1得岀PD二PQ,再證明ZDPQ=90。，即可得出結(jié)論;(3由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD=2AF, PQ=2AF,得岀PD=PQ,再證明點 A、F、Q、P四點共圓，由圓周角立理得出Z DPQ=2Z DAQ=900,即可得出

13、結(jié)論. 試題解析：(1)證明：T四邊形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD. Z B=Z ADF=90o, Z BCA=Z DCA二45, BE=DF, CE=CF,AC垂直平分EF：解：APDQ是等腰直角三角形；理由如下：點P是AF的中點,Z ADF=90o,1. pd=2AF=PAf Z DAP=Z ADP, AC垂直平分EF, Z AQF=90,1PQ遼AF=PA, Z PAQ=Z AQPt PD=PQtT Z DPF=Z PAD+Z ADP, Z QPF=Z PAQ+Z AQP, Z DPQ=2Z PAD+2Z PAQ=2 (Z PAD+Z PAQ) =245o=90PDQ是等腰

14、宜角三角形：成立：理由如下：點P是AF的中點,Z ADF=90o,1. pd=2AF=PAfTBE=DF, BC=CD, ZFCQ=ZACD二45, ZECQ=ZACB=45, CE=CF Z FCQ=Z ECQ,.CQ丄 EF, ZAQF二901 PQ=JAF=AP=PF,. PD=PQ=AP=PF,點A、F、Q、P四點共圓， Z DPQ=2Z DAQ=90o,PDQ是等腰直角三角形.考點：四邊形綜合題.在AAOB中，C, D分別是OA, OB邊上的點，將 OCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到AOCD.(1)如圖1,若Z AOB=90 OA二OB, C, D分別為OA, OB的中點，證明：AcJBDL

15、AU丄BDL（2）如圖2,若ZkAOB為任意三角形且ZA0B=, CDIl AB, AU與BD咬于點E,猜想 Z AEB=是否成立？請說明理由.B【答案】（1）證明見解析：（2）成立，理由見解析【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得岀0C=OC, OD=OD, Z AOC=Z BOD證出OooM 由SAS證明 AOC竺 BOD得出對應(yīng)邊相等即可;由全等三角形的性質(zhì)得岀Z OACf=Z OBD又由對頂角相等和三角形內(nèi)角和左理得出Z BEA=90o,即可得出結(jié)論:（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC=OC, OD=ODS ZAOU=ZBOD餐由平行線得出比例式纟二奧，得出咯二纟證明aaocjabodj得出Z

16、 OAe=Z OBDW由對頂角相 OA OB ODI OB等和三角形內(nèi)角和立理即可得出Z AEB=.試題解析：（1）證明： OCD旋轉(zhuǎn)到 0CD, OOOU, OD=OD Z AOe=Z BODS. OA=OB, C、D 為 OA、OB 的中點，OC=ODtOOODSOA = OB乙AoC 二 bod0C, = OD1在厶 AOe BOD中，UL =UU , AOC竺 BODr ( SAS), ACjBDL延長AU交BD于E,交Bo于F,如圖1所示：. AOC竺 BODS Z OAe=Z OBD,又Z AFO=Z BFE Z OAC+Z AFO=90 Z OBDz+Z BFE=90% Z BE

17、A=90o,AU丄BDI(2)解：ZAEB%成立，理由如下：如圖2所示: OCD旋轉(zhuǎn)到 OUDS OC=OCS OD=ODz, Z AOc=Z BOD食 CDIl AB,OCODOAOBOCt0DOAOBOC_ OAOD OB Z AEB=Z AOB=.圖1考點：相似三角形的判左與性質(zhì)：全等三角形的判泄與性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).又Z AOCZ=Z B0D AoCJ BOD Z OACz=Z OBD 又Z AFO=Z BFE,在平而直角坐標系中，四邊形40BC是矩形，點O GO),點4(5,0),點B(0,3).以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF ,點0, B, C的對應(yīng)點分別為(

18、I)如圖，當點D落在BC邊上時，求點Z)的坐標：()如圖，當點D落在線段施上時，AD與BC交于點H.求證AADB今AAOB ；求點H的坐標.(In)記K為矩形AOBC對角線的交點，S為AKDE的而積，求S的取值范圍(直接 寫出結(jié)果即可).【答案】(I)點D的坐標為(1,3). ()i正明見解析；點H的坐標為3).(In) 30-3辰加三30 + 3辰4_ _4【解析】分析：(I)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AO=5,設(shè)CD=x,在直角三角形ACD中運用勾股泄理可CD的值，從而可確定D點坐標；()根據(jù)直角三角形全等的判左方法進行判定即可；由知ABAD = ZBAO，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得ZCBA = ZO

19、AB .從而ZBAD = ZCBA ,故BH=AH,在Rt ACH中，運用勾股泄理可求得AH的值，進而求得 答案：(In) 30-3屈 vs3O + 3 辰.44詳解:(I) .點 A(5,0),點 B (0,3),. OA = 5, 0B = 3.T四邊形AOBC是矩形，. AC = OB = 3, BC = OA = 5, ZOBC = ZC = 90.V矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的，. AD = AO = 5.在 RlbADC 中，有 AD2 =AC2+DC2DC = AD-ACI =52 - 32 = 4-. BD = BC-DC = L點D的坐標為(1,3).()由四邊形A

20、DEF是矩形，得ZADE = 90. 又點D在線段BE上，得ZADB = 90。.由(I)知，AD = AO,又AB = AB, ZAoB = 90。，. RADBRtAOB.由 ADBAOB,得曲AD = ZBAO. 又在矩形AOBC中，OAUBC,. ZCBA = ZOAB.:. ZBAD = ZCBA.:. BH = AH 設(shè)BH=I,則AH = /, HC = BC-BH=5-1. 在用d4HC 中，有 AH2 =AC2+HC2=5 :180r2=32+(5-r)2.解得 = BH=-.（In） 30-3兩 vs 7）、3 （5, 5） . C （7, 5）、D （5,2）（1）將線段

21、繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到對應(yīng)線段BF當BE與CD第一次平行時，畫岀 點&運動的路徑，并直接寫出點力運動的路徑長：C【解析】（2）線段A3與線段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點旋轉(zhuǎn)一個角度可以 得到另一條線段，直接寫出這個旋轉(zhuǎn)中心的坐標.（2）旋轉(zhuǎn)中心P的坐標為（3, 3）或（6, 6）【分析】（1）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)中心即可得到點A運動的路徑為弧線，再運用弧長 計算公式即可解答：（2）連接兩對對應(yīng)點，分別作岀它們連線的垂直平分線，其交點即為所求.【詳解】解:（I）點&運動的路徑如圖所示，岀點A運動的路徑長為9 X穴X 4 + AA（2）如圖所示，旋轉(zhuǎn)中心P的坐標為（3, 3

22、）或（6, 6）C【點睛】本題主要考査了利用旋轉(zhuǎn)變換及其作圖，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)角以及確左旋轉(zhuǎn)中心的方法是解答本題的關(guān)鍵9正方形&3CD和正方形AEFG的邊長分別為2和22 點B在邊AG 點D在線段EA 的延長線上，連接8E.（1）如圖1,求證：DG丄BE；（2）如圖2,將正方形ABCD繞點力按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當點8恰好落在線段DG h時， 求線段BE的長.【答案】（1）答案見解析：（2） y2+y6【解析】【分析】（1）由題意可證 AADG 竺可得 AAGD=A AEB,由 ZADG+Z AGD=90。，可得Z &DG+Z AFB = 90,即 DG丄 BG（2）過點A作AM丄3D,垂足為M,根據(jù)勾股定理可求MG的長度，即可求DG的長度, 由題意可證 DAG A BAE.可得BE=DG.【詳