幾類風險模型中的破產(chǎn)概率研究

1、 幾類風險模型中的破產(chǎn)概率研究摘要風險理論是近代應用數(shù)學的一個重要分支主要應用于保險、金融、證券投資以及風險管理等領(lǐng)域，它借助于概率論與隨機過程理論構(gòu)造數(shù)學模型，來描述各種風險業(yè)務過程。如今，風險理論已經(jīng)成為保險精算學的一個重要分支，在保險理論與實踐中具有十分重要的作用。對保險公司破產(chǎn)概率的研究不僅可以為保險公司的決策者提供參考，指導其健康發(fā)展，同時對穩(wěn)定整個金融市場也有很重要的作用。本文在經(jīng)典的破產(chǎn)理論上，研究了其相應的破產(chǎn)概率。全文共分為5章，具體安排如下：第l章主要介紹了破產(chǎn)概率的概述，一研究動機和目前國內(nèi)外研究的一些現(xiàn)狀和一些預備知識。第2章介紹風險理論的一些重要知識和破產(chǎn)理論的基本原

2、理，其中簡述了保險風險模型的兩個經(jīng)典模型包括短期個別風險模型和短期聚合模型并介紹了它們在保險中的應用。第3章研究了帶干擾的雙復合泊松風險模型的破產(chǎn)問題，在雙復合泊松風險模型的基礎上考慮了干擾項，運用教方法得出了破產(chǎn)概率滿足的Lundberg不等式和一般公式，并給出了不破產(chǎn)概率滿足的積分表示。第4章研究了考慮含有正、負風險和風險過程的破產(chǎn)概率問題，并且將保費收入推廣為一個隨機過程，給出該風險過程的破產(chǎn)概率所滿足的積分方程和指數(shù)不等式，研究正風險和類與負風險和類之間的相關(guān)性對破產(chǎn)概率的影響，并對具體實例給出數(shù)值比較結(jié)果。第5章全文總結(jié)。關(guān)鍵詞：調(diào)節(jié)系數(shù)；雙復合Poissona程；破產(chǎn)概率；負風險。

3、目錄TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 摘要1 HYPERLINK l bookmark4 第1章緒論6 HYPERLINK l bookmark6 1.1破產(chǎn)理論概述6 HYPERLINK l bookmark8 1.2研究動機和目的8 HYPERLINK l bookmark10 1.3破產(chǎn)理論的研究現(xiàn)狀11 HYPERLINK l bookmark12 1.4預備知識14第2章風險理論20 HYPERLINK l bookmark16 2.1短期個別風險模型20 HYPERLINK l bookmark20 2.2短期聚合風險模型22 HYPERLIN

4、K l bookmark44 2.3破產(chǎn)理論27 HYPERLINK l bookmark46 2.4本章小結(jié)29第3章帶干擾的雙復合泊松風險模型30 HYPERLINK l bookmark48 3.1模型的建立30 HYPERLINK l bookmark50 3.2預備引理30 HYPERLINK l bookmark74 3.3主要結(jié)果333.4預備知識35 HYPERLINK l bookmark82 第4章同時含有正、負風險過程的風險模型364.1同時含有正、負風險過程的風險模型及其主要性質(zhì)36 HYPERLINK l bookmark84 4.1.1模型介紹36 HYPERLIN

5、K l bookmark90 4.1.2模型的主要性質(zhì)37 HYPERLINK l bookmark92 4.2模型的破產(chǎn)概率39 HYPERLINK l bookmark94 4.2.1模型的最終破產(chǎn)概率39 HYPERLINK l bookmark96 4.3本章小結(jié)41第5章總結(jié)43 HYPERLINK l bookmark100 參考文獻44第1章緒論1.1破產(chǎn)理論概述在金融數(shù)學和保險數(shù)學的范疇內(nèi)，破產(chǎn)理論是風險理論的核心內(nèi)容。它運用隨機過程，軼等數(shù)學工具，在一系列合乎現(xiàn)實情況假設的基礎上，通過建立模型，進行分析和推導，最終得到保險公司的收益過程，并由此計算保險公司的破產(chǎn)概率，破產(chǎn)前盈

6、余等等。1903年，瑞典精算師FilipLundberg發(fā)表了他的博士論文ApproximeradFrastallningavsanolkhetsfunktionen開創(chuàng)了破產(chǎn)理論的研究。H.Camrer在完善E.Lundbeg的數(shù)學工作中起重要作用，同時也對概率論和數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展做出重要貢獻。H.Cramer也發(fā)展了嚴格的隨機過程理論F.Lundberg與H.Cramer的工作為經(jīng)典破產(chǎn)理論的基本定理打下了堅實的理論基礎。繼H.Camrer之后，WilliamFeller1和HomsU.Gerber2是當代研究破產(chǎn)理論的領(lǐng)先學者.HomnsU.Gerber不僅將較方法引入到破產(chǎn)理論的研究中，

7、而且深化了經(jīng)典破產(chǎn)理論的研究內(nèi)容。他在30年前寫的數(shù)學風險論導引一書，已成為當今研究這一領(lǐng)域的經(jīng)典著作J.Crandell3在為他的專著AspectsofRiskTheory所寫的序言中指出：“任一掌握了Gerber的著作數(shù)學風險論導引中所述風險理論知識的人皆可視為一精算師?！盕.Dufresne4等研究了Gamma過程和逆高斯過程兩類廣復合泊松過程研究的主要內(nèi)容仍為破產(chǎn)概率，可利用經(jīng)典破產(chǎn)理論的結(jié)果直接導出。當代風險理論還有若干其他的有代表性的研究方向。一種是完全離散的經(jīng)典風險模型。經(jīng)典風險模型大部分的研究是關(guān)于連續(xù)時間的，但也有一些學者對完全離散的經(jīng)典風險模型進行了研究。另一種是重尾分布的

8、風險理論。經(jīng)典風險模型大部分的研究是關(guān)于“小索賠”情形的破產(chǎn)理論，要求調(diào)節(jié)系數(shù)存在。對于“大索賠”情形的破產(chǎn)理論，確切地說，對于重尾分布的破產(chǎn)理論研究就必須啟用新的數(shù)學工具，如次指數(shù)分布.這樣的研究是用于火險，風暴險與洪水險等災難性保險。R.EmbrechtsC.Klupelberg5等在這方面開展了較系統(tǒng)的研究.再一種是具有復合資產(chǎn)的風險理論。迄今為止，絕大部分風險理論的研究都不計利率保費收入一成不變，即不隨瞬時盈余的多寡而有所調(diào)整，同時也不涉及投資收益。直至最近，對具投資收益的風險理論的興趣才猛增。還有一種是保險數(shù)學與金融數(shù)學的交叉研究。H.U.Gerber及其合作者幾乎已經(jīng)把經(jīng)典破產(chǎn)理論

9、的研究做到了極致，而要從事現(xiàn)代破產(chǎn)理論的研究，需要較艱深的概率論方面的知識（如隨機分析，點過程等）這已經(jīng)遠遠超出了精算從業(yè)人員，乃至大多數(shù)從事精算理論研究人員的數(shù)學背景。從1994年起,H.U.Gerber的興趣開始轉(zhuǎn)向精算數(shù)學和金融數(shù)學的交叉研究。他和Shiu6合作，利用傳統(tǒng)精算學的工具，討論了未定權(quán)益和永久性期權(quán)的定價，發(fā)表了一系列引起廣泛反響的重要文章，從而為經(jīng)典破產(chǎn)理論的研究注入了新的活力，他們的研究成果也引起了從事金融數(shù)學研究人員的關(guān)注，金融數(shù)學和保險數(shù)學的交叉研究已成為精算學理論研究的新熱點，其研究前景被普遍看好。1.2研究動機和目的近年來，隨著經(jīng)濟的發(fā)展，保險行業(yè)在各國的金融體系

10、中占有的比重日益增大，保險公司能否健康的發(fā)展對整個經(jīng)濟的穩(wěn)定起著舉足輕重的作用，所以對于保險公司破產(chǎn)的風險度量與管理也日益引起人們的重視。我們知道保險公司的建立是為了減輕某些意外事件產(chǎn)生的影響。他自身就積聚了大量的風險，其經(jīng)營機制是保險公司以一定量的保險費向被保險人出售有某些保障功能的保單，在保單的有效期內(nèi)如果產(chǎn)生相關(guān)的意外或毀壞，保險公司將按保單的規(guī)定向被保險人支付賠償金。保險公司的經(jīng)營目標就是在較長時期建立保險人盈余。所謂盈余是指某初始基金加上收取的保費超過理賠的那一部分。如果盈余出現(xiàn)為負，在保險精算理論中就稱為破產(chǎn)發(fā)生，一旦出現(xiàn)破產(chǎn)，并不意味著保險公司已經(jīng)失去了生存的能力，但也在一定意義

11、上說明了該保險公司的償付能力7。所以對于保險公司來說，償付能力不強，當發(fā)生支付危機時，保險公司容易發(fā)生破產(chǎn)。所謂支付危機是指保險公司的責任準備金不足一履行起給付責任，而必須由其他來源的資或者是新增的保費收入進行彌補的一種狀況。在保險公司高速發(fā)展的階段，尤其是壽險公司，現(xiàn)金流入遠遠超過現(xiàn)金流出，因而支付危機不會顯現(xiàn)出來。但壽險公司的保費收入的增長有起固有的規(guī)律，不可能長期保持超常發(fā)展。因此，責任準備金長期不足而依賴新的保費收入彌補的狀況從長遠來看是難以維持，這樣保險公司較易發(fā)生破產(chǎn)。特別是在新興市場中，保險公司的經(jīng)營還處于基金積累階段，大規(guī)模的給付階段還沒有到來。此時保費收入高速增長而給付的負擔

12、較小，因此，公司的現(xiàn)金流量狀況近期可以滿足高額傭金支出和大規(guī)模的固定資產(chǎn)投資。但是，如果長期的責任準備金提取不足、資金運用不合理，那么到未來的給付階段，累積的準備金與實際給付之間很可能出現(xiàn)大量的缺口，而那時候的保費收入增長速度已經(jīng)趨于平穩(wěn)，在這種情況下，有可能爆發(fā)支付危機。而償付能力是指保險公司對所承擔責任的經(jīng)濟補償能力，幾償付到期債務的能力。它包含兩層意思：一是正常情況下，保險公司具有的完全承擔給付責任的能力。例如對于壽險公司，在理論上，如果正常年份沒有重大的傷亡事件發(fā)生（發(fā)生自然災害，如地震、洪水等等），只要保險公司厘定適當合理的保險費率，提取各項準備金，并合理投資，使保險公司的資金按照預

13、定的速度增值，保險公司就有足夠的資金給付，維持其償付能力。因此，是否具有償付能力主要取決于保險公司對其所承擔的義務是否建立起足夠的準備金。另一含義是在非正常年份，保險公司的實際資產(chǎn)減去負債后的余額就必須經(jīng)常保持在一定的最低額度，以應付可能發(fā)生的不利情況。但在本文中主要是考慮當保險公司的保費收入不足以應付大量的索賠而發(fā)生的破產(chǎn)概率，而沒有考慮保險公司將一定的保費進行投資，以及沒有考慮利率因素和通貨膨脹因素，之所以這樣是為了是模型較為簡單，便于求出其破產(chǎn)概率。在保險中，為了對保險合同的風險進行度量，Tetens把風險定義為：如果合同導致?lián)p失，則合同的預期損失就是風險。自E.Halley于1693年

14、編制了世界上第一個生命表算起，風險理論的發(fā)展已經(jīng)有300多年的歷史。風險理論是近代應用數(shù)學的一個重要分支，主要應用于保險、金融、證券投資以及風險管理等領(lǐng)域，它借助于概率論與隨機過程理論構(gòu)造數(shù)學模型，來描述各種風險業(yè)務過程。風險理論作為經(jīng)營者或決策者對風險進行定量分析和預測的一般理論已廣泛應用于投資和保險等行業(yè)之中。投資者經(jīng)常需要選擇那些損失小、收益大的項目；而保險公司是獲得投保人繳納的保費收益，同時承擔投保人所面臨的相關(guān)風險，保險公司和投保人也要面對風險和收益進行風險選擇8。為了更科學的進行選擇，就要對風險過程進行多方面的具體研究，其中對其穩(wěn)定性的重要指標一破產(chǎn)概率相關(guān)問題的研究，形成了一個重

15、要的研究領(lǐng)域，破產(chǎn)理論。破產(chǎn)理論(ruintheory)是風險理論(risktheory)的核心內(nèi)容，現(xiàn)己公認，破產(chǎn)理論的研究溯源于瑞典精算師FilipLundberg于1903年發(fā)表的博士論文，至今己有百余年的歷史。他的工作奠定了非壽險隨機模型的基本結(jié)構(gòu)形式，也奠定了保險風險理論的基礎，在此基礎上，HaraldCramer(1955)構(gòu)筑了非壽險數(shù)學模型的概率基礎，使得風險理論成為應用概率統(tǒng)計的一個非?；钴S的分支。破產(chǎn)理論是研究風險經(jīng)營者經(jīng)營狀況的方法理論，主要應用于風險經(jīng)營過程的穩(wěn)定性分析，預測經(jīng)營者在有限時間內(nèi)和最終破產(chǎn)的可能性大小，從而對經(jīng)營策略起到指導性作用。在進行風險決策前，對將來

16、要進行的風險經(jīng)營過程進行穩(wěn)定性分析有重要的現(xiàn)實意義和理論意義，尤其在投資和保險行業(yè)，其現(xiàn)實意義更加明顯，通過對破產(chǎn)概率的估計和預測，可決定是否對一項目進行投資，通過一新險種將來經(jīng)營過程的穩(wěn)定性分析，可以決定是否開發(fā)這一險種，同時對該險種保費厘定也有指導作用，可以通過調(diào)節(jié)保費來達到減小風險經(jīng)營過程的破產(chǎn)可能性的目的。如今，風險理論已經(jīng)成為保險精算學的一個重要分支，在保險理論與實踐中具有十分重要的作用。對保險公司破產(chǎn)概率的研究不僅可以為保險公司的決策者提供參考，指導其健廢發(fā)展，同時對穩(wěn)定整個金融市場也有很重要的作用。1.3破產(chǎn)理論的研究現(xiàn)狀破產(chǎn)理論的研究既有其實際的應用背景，也有其概率論上的研究價

17、值。事實上，一類非常重要的隨機過程，即Poisson過程，正是Lundberg首次在1903年博士論文中提出的，不過Lundberg的工作不符合現(xiàn)代數(shù)學的嚴格標準，它的嚴格化是以HaraldCramer為首的瑞典學派完成的，Cramer將Lundberg的工作建立在堅實的數(shù)學基礎之上，與此同時，Cramer也發(fā)展了嚴格的隨機過程理論。另外HansGerber是Cramer之后當代研究破產(chǎn)論的國際領(lǐng)先學者，他不僅將鞅方法引入到破產(chǎn)論的究中，而且深化了經(jīng)典破產(chǎn)論的研究內(nèi)容。另一方面，人們依據(jù)風險模型的不同提法，針對保險公司運作中遇到的種種問題，通過對概率或統(tǒng)計模型進行修正，附加必要條件，得到種種在

18、不同方面進行完善的保險風險模型，使得模型更接近保險公司的實際運作過程，這使得風險模型的研究變得非常富有挑戰(zhàn)性，所以對不同風險模型的破產(chǎn)概率研究在國際上一直是人們關(guān)注的一個焦點，但國內(nèi)從事這方面研究的人員還比較少，有關(guān)破產(chǎn)論的發(fā)展和研究現(xiàn)狀的綜述性文獻和專著有：Gerber(1979)，Grandell(1993)，Asmussen(2000)等。現(xiàn)已公認，Lundberg與Cramer的工作為經(jīng)典破產(chǎn)論的基本定理。Lundberg一Cramer經(jīng)典風險模型是這樣描述的(以下簡稱L-C模型)：理賠的到達次數(shù)用Poisson過程來表示；由保險公司支付的個別理賠額表示為一類獨立同分布的隨機變量序列；

19、理賠過程與表示理賠額的隨機變量序列是獨立的；單位時間保費收入是常數(shù)。其鳳險過程定義為：50子皿-底roJ-1其實際背景為：u(t)是保險公司f時刻的盈余資產(chǎn)，U是保險公司的初始盈余，c是單位時間保費收入率，置是個體理賠額，Xi是表示理賠到達的Poisson過程7。Lundberg和Cramer給出了關(guān)于破產(chǎn)概率的近似式及指數(shù)型上界。他們指出：初始盈余為0時，破產(chǎn)概率屮(0)的解僅依賴于相對安全負載8，而和個體理賠額分布的具體形式無關(guān)；若初始盈余很大，保險公司在經(jīng)營“小索賠”業(yè)務時,破產(chǎn)是不易發(fā)生的。雖然Lundberg和Cramer7的工作奠定了風險論的基礎，并為精算師處理絕大多數(shù)實際的保險問

20、題提供了主要的分析工具，但其分析方法較冗繁，其后最令人矚目的方法論的改進就是Willia-imFeller的更新論證技巧和HansGerber的辯證法。WilliaimFelleri證明了破產(chǎn)概率滿足的更新方程，運用關(guān)鍵更新定理得到了破產(chǎn)概率的近似表達式。HansGerber通過盈余過程構(gòu)造鞅，運用停時定理及鞅收斂定理證明了破產(chǎn)概率滿足的Lundberg型指數(shù)上界。這兩種方法已成為后續(xù)研究該領(lǐng)域的主要方法。關(guān)于風險模型中破產(chǎn)概率的研究，可以根據(jù)風險模型的不同提法，再針對保險公司運作中遇到的種種實際問題，通過對概率或統(tǒng)計模型進行修正，附加種種條件，使得模型更接近保險公司的實際運作。因此破產(chǎn)概率的

21、研究變得非常富有挑戰(zhàn)性，一直成為人們關(guān)注的焦點。常見的對L-C經(jīng)典風險模型的推廣，主要分為四類：第一類：理賠到達過程的推廣。將理賠到達過程推廣為更薪過程、廣義復合Poisson過程、Cox過程、Gamma過程和逆高斯過程等等。這些過程的推廣可以顧及到由于季節(jié)或政治等因素所引起的理賠到達過程中其強度不是常數(shù)的性質(zhì)，所以在理論界與實務界得到了廣泛的應用。第二類:對保費到達過程的推廣。同理賠到達過程的推廣類似,保費到達過程也可推廣為Poisson過程、Cox過程、更新過程等。同時，保費收入率不再是一成不變的常數(shù)，而是更貼近實際情況的隨機變量。第三類：引入利率和投資因素，考慮Wiener過程等對盈余過

22、程的干擾，或者考慮支付紅利情形，從而使得風險模型更接近保險公司的實際運作。實際中，保險公司的大部分盈余來自于投資的收入，所以具有利率因素的風險模型正日益受到人們的關(guān)注。SundtTengels(1995)研究了常利率下復合Poisson模型的最終破產(chǎn)概率。在常利率且有隨機投資收入的假設下，Paulsen和Gjessing(1997)得到了破產(chǎn)概率的Lundberg指數(shù)型上界8。此外，外部因素的干擾及保險公司管理或經(jīng)營的偏差，都會對保險公司的財務造成影響，因此考慮受到隨機干擾的風險過程就顯得尤其要。Gerber(1970)首先提出了帶干擾的經(jīng)典風險模型,Durfesne和Gerber(1991)

23、發(fā)現(xiàn)該模型中生存概率滿足的虧損更新方程，討論了經(jīng)典風險模型在有不同干擾時破產(chǎn)概率的上下界問題。由于保險業(yè)的競爭日益激烈化和人們對保險產(chǎn)品認知程度的逐漸提高，帶有分紅性質(zhì)的保險產(chǎn)品已經(jīng)進入大家的實際生活中,同時保險公司如何回饋股東使得股東利益最大化也隨之成為一個重要的話題。因此研究支付紅利情形下保險公司的破產(chǎn)概率及何時實施最優(yōu)紅利策略就十分具有現(xiàn)實意義。此外，近年來，隨著風險管理的發(fā)展，人們越來越重視風險理論，并對其某些方面進行了深入研究。例如，(1)混合分布的研究，考慮理賠量的分布次數(shù)N的分布中的參數(shù)也是隨機變量，所得的總理賠量的分布即為混合分布，混合分布更適宜于描述實際情況。(2)如何根據(jù)保

24、險實際，利用極大似然法等統(tǒng)計方法選擇符合實際的風險模型，并對模型中的有關(guān)參數(shù)進行估計。(3)破產(chǎn)概率的其它更為簡便的求解方法，有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時間、停時等問題的研究。(4)再保險的不同形式對風險控制的作用。(5)考慮通脹和利率因素的風險模型。(6)各種風險模型的數(shù)值計算方法等。另外，鞅方法的引入也給風險理論的研究注入了新的活力。1.4預備知識先給出本文常用的隨機過程的一般定義：定義4.1設(Q,F，P)是概率空間，T是給定的參數(shù)集，若對于每個t屬于T，有一個隨機變量X(t,w)與之對應，則稱隨機變量族x(t，w)，t屬于T是(Q，F(xiàn)，P)上的隨機過程，簡記為隨機過程x(t)，t屬于T

25、。T稱為參數(shù)集。定義4.2稱隨機過程N(t),tO為計數(shù)過程，若N(t)表示到時刻t為止發(fā)生的事件的總數(shù)，且N(t)滿足下列條件：N(t)$0;N(t)取正整數(shù)值；若st，則N(s)WN(t);當st時，N(t)-N(s)等于區(qū)間(s，t中事件發(fā)生的次數(shù)。泊松過程是計數(shù)過程的最重要的類型之一，其定義如下：定義4.3稱計數(shù)過程N(t),t$0為具有參數(shù)的泊松過程，若它滿足下列條件：N(0)=0N(t)是獨立增量過程；N(t)滿足下列兩式：P(N(t+h)-N(t)=l)=入h+o(h)P(N(t+h)-N(t)2)=o(h)定義中的條件(3)說明，在充分小的時間間隔內(nèi)，最多有一個事件發(fā)生，而不能

26、有兩個或兩個以上事件同時發(fā)生。因此泊松過程常被用來描述稀有事件的發(fā)生過程。泊松過程的來到時間間隔是獨立同分布的指數(shù)隨機變量，一種自然的推廣是考慮來到時間間隔獨立同分布，但分布函數(shù)是任意的計數(shù)過程。這樣的計數(shù)過程稱為更新過程。設Xn，n=1,2,3是一列非負的隨機變量，具有共同的分布F，假設F(0)=P(Xn=0)1則Xn表示第n1個與第n個事件之間的時間，記表示相繼發(fā)生的兩事件的間隔的均值，并且注意到從假設Xn0與F(0)l可得0卩W，令：可知Sn是第n個事件發(fā)生的時刻。因為到時刻t已發(fā)生的事件個數(shù)等于使第n個事件在時間t或t之前發(fā)生的n的最大值。所以到時刻t己發(fā)生的事件個數(shù)N(t)為N(t)

27、=supn:Sn=t定義4.4上述的計數(shù)過程N(t),t0稱為更新過程.由于到時刻t為止的更新次數(shù)大于或等于，當且僅當在t之前或在t時刻發(fā)生第n次更新，即N(t)=sup:Sn0為一常數(shù)，表示保險公司在單位時間收取的保險費率，S(t)表示至。時刻t為止的索賠總額。記，t$0,其中xk表示第k次索賠額，N(t)則表k示至時刻t為止發(fā)生的索賠次數(shù)。N(O),t$0是以為參數(shù)的泊松過程，由于未來時刻的盈余是未知的，U(t)便是一個連續(xù)時間的隨機變量。此模型即為經(jīng)典Lundbergcrame;風險模型?？紤]保險公司的資本金盈余過程u(t):t之0隨時間的積累問題：由于掙得的保費，隨機過程u(t)隨著時

28、間連續(xù)增加，但是又由于對索賠的賠付，該隨機過程會逐段有下跳當盈余過程首次出現(xiàn)負值，我們就說發(fā)生了破產(chǎn)。而相應的概率就稱為破產(chǎn)概率，即屮(妨=P(71V811/(0)=0其中T=inft:U(t)0通常稱為破產(chǎn)時刻，顯然汕山i-t加為生存概率，P(T=-)即為永不破產(chǎn)概率。而相應的有限時間破產(chǎn)概率就可以表示為屮仏門=Pt0但是盈余過程為負值并不等價于保險公司無力償付債務或真的破產(chǎn)，如果我們考慮了其它許多影響盈余的因素，盈余任有可能為正的或回復為正。破產(chǎn)概率可以作為綜合保費和索賠過程的保險公司穩(wěn)健性的一個指標，是風險管理的一個有用工具。破產(chǎn)概率高意味著保險公司不穩(wěn)定，這時保險公司必須采取措施，例如

29、進行再保或提高保費等，或設法吸收一些額外的資本金。破產(chǎn)概率的計算是精算數(shù)學的一個經(jīng)典的問題。雖然有可能求出沒有破產(chǎn)的概率的矩母函數(shù)，但是破產(chǎn)概率僅僅對兩種類型的索賠分布才容易計算出來。他們是指數(shù)分布及其和、混合或組合以及只取有限個值的分布。不過對其他一些分布來說，通常我們可以建立一個足夠精確的上界估計屮(u)We-Ru該表達式中的實數(shù)R被稱為調(diào)節(jié)系數(shù)。這個所謂的Lundberg上界常常被用來代替真正的破產(chǎn)概率值。R越大，破產(chǎn)概率的上界就越小，從而形勢就越安全。調(diào)節(jié)系數(shù)R可以通過求解方程：】4亍=見(町來得到。其中Mx(r)表示理賠X的矩母函數(shù)：叭E嚴-屮亦E=L+pnl-F)dxc=(i+e)

30、入ij，卩=ex，這里e$0,稱為相對安全附加因子。我們的目的是獲得對破產(chǎn)概率的具體表達式。要想直接得到這個函數(shù)表達式非常困難，但Lundberg(1919)發(fā)現(xiàn)一個間接的表達方法，即引入一個能起到中介作用的參數(shù)，稱為Lundbe電系數(shù)或調(diào)節(jié)系數(shù)，先把破產(chǎn)概率表達為調(diào)節(jié)系數(shù)的函數(shù)，再尋求對調(diào)節(jié)系數(shù)的計算。由上面兩公式知，調(diào)節(jié)系數(shù)R滿足下述等式：注意到即知，非負函數(shù)不是一個概率密度函數(shù)。但若令C由上式，即知f(x)為一概率密度函數(shù)，這就是調(diào)節(jié)系數(shù)R命名的由來。第2章風險理論風險理論有三個基本的模型：短期個別風險模型、短期聚合風險模型、長期聚合風險模型。前兩個模型可直接應用于保險產(chǎn)品純保費的計算，

31、而長期聚合風險模型對再保險、保險監(jiān)管、非壽險利潤與定價的有關(guān)測算等都有重要的作用。在本章中只介紹前兩個基本模型，并闡述破產(chǎn)理論的基本原理。21短期個別風險模型在介紹短期個別風險模型之前，先介紹風險理論的2個重要函數(shù)(矩母函數(shù)Laplace變換)及2個條件期望和條件方差基本公式。設X為一隨機變量，其分布函數(shù)為F(X)。令Mx(t)=Eetx=jetxdF(X),稱Mx(t)為x的矩母函數(shù)(簡記為m.g.f)。矩母函數(shù)可以完全刻畫隨機變量X的分布特征：如果2個隨機變量具有相同的矩母函數(shù)，則它們的分布函數(shù)也相同。由于這種對應的關(guān)系，矩母函數(shù)便成為研究隨即變量的一個得心應手的工具，以矩母函數(shù)表達的結(jié)論

32、均可以轉(zhuǎn)換成關(guān)于分布的結(jié)論。另外，矩母函數(shù)與原點矩有關(guān)系：酹=必捫(0)二務加川)|“(2-1)對于任意k$1成立，這也就把Mx(t)稱為矩母函數(shù)的原因10。矩母函數(shù)有一個很好的性質(zhì)：獨立和的矩母函數(shù)等于各個變量的矩母函數(shù)之積，即設：S=X1+X2+Xm，其中X1,X2，Xm相互獨立，則有：叫(0=(f)M忍這一性質(zhì)在研究總理賠量的分布時具有重要的意義。再來看隨機變量的另一個常用函數(shù)，Lx(t)=Eetx=/etxdF(X)對任意的tO成立，則稱Lx(t)為X的Laplace變換(簡記為LT)。顯然Lx(t)=Mx(-1)。利用全概率公式，可以得到下列2個條件期望和條件方差的基本公式11：EY

33、=EEY|X(2-2)VarY二EVarY|X+VarEY|X(2-3)公式(2-2)稱為期望的累計法則。公式(2-3)則表明，總的方差可以分解為方差的期望與條件期望的方差之和。下面來介紹短期個別風險模型。對于保險機構(gòu)，設其某種風險的隨機損失(理賠量)為S，且S=X1+X2+Xm,，其中Xi是保單i的損失，其分布函數(shù)為Fi(X),n是保單數(shù)。假定X1，X2,Xm相互獨立，現(xiàn)在的問題是求出S的分布，主要有兩種方法：方法l,由概率論可知，S的分布函數(shù)FS=F(n)，其中F(n)為分布函數(shù)。F1,F2,，F(xiàn)n的卷積，其計算采用遞歸的方法，F(xiàn)(1)=F1，F(xiàn)(2)=F2*F(1),F(n)=Fn*F(

34、n-1)特別地，當X1,X2,，Xn都具有同一分布函數(shù)F(x)時，F(xiàn)(n)記為F*n，稱為F的n重卷積。方法2,利用矩母函數(shù)性質(zhì)，S的矩母函數(shù)Ms(t)=M(t)M(t)x1x2M(t)，特別地，當X1，X2,，Xn都和X具有同一分布時，即具有xn相同的矩母函數(shù)Mx(t)時，Ms(t)=Mx(t)n，求出矩母函數(shù)后，利用矩母函數(shù)的連續(xù)性與唯一性，便可以得到S的分布。對于方法1，當n較大時，卷積的計算是相當復雜的。而方法2的優(yōu)點是Ms(t)的計算非常簡便，其難點在于識別出Ms(t)是何種分布的矩母函數(shù)，有時需要高深的數(shù)學工具才能求出S的分布。因此，在實際應用中往往是求得S的分布的數(shù)值近似。利用X

35、1X2,，Xn的獨立性，有：ES=E(Xt吩昭級XJ而由中心極限定理，當n較大時(在保險中n般都比較S-ES大)，近似服從標準正態(tài)分布N(O,1)。短期個別風險模型可用于單險種的有關(guān)問題的研究，如人壽保險、汽車保險、火災保險等；也可用于某一險種的再保險研究,如自留額的計算等，在這里就不作詳細的介紹了。22短期聚合風險模型在上一節(jié)我們討論的個別風險模型是基于對個別保單理賠量分別考慮的，保單數(shù)是非隨機的，且總理賠量為所有保單理賠量的總和。而本節(jié)要介紹的聚合風險模型則將個別理賠的產(chǎn)生視為一隨機過程，短期聚合風險模型簡述如下：設N是給定時期中保單的理賠次數(shù)，它是一個取非負整數(shù)的隨機變量，Xi是第i次的

36、理賠量(i=1,2,，N)，則這一時期的總理賠量S可以表示為：S=X+x+x12N這里我們假定：(1)X1，X2，Xn都是和X同分布的隨機變量，分布函數(shù)為P(x)；(2)隨機變量N，X1，X2，,Xn相互獨立。本節(jié)的主要問題仍然是求出S的分布，令Pk=EXk%x的k階原點矩。首先由(2-2)，(2-3)式有：ES=EX*EN=P1EN(2-4)VarS=VarN(EX)2+ENVarX二P/VarN+(P2-P2)EN11(2-5)這兩個等式的證明過程如下:證明：ES=EES|N二工卡兀豐+乂川|N二hPtN二n二E盡+花+十X二閏PrW二旳特MJn二可禺+兀+*PrN+Ha=0=工昭PN=舟

37、=MV即等式(2-4)得證(注意其中的Xi與N是相互獨立的)。VarS=EVar(SN)+VarES|AQ二ENVar(X)UrAJ=Var(X)EN+pVarN之乃一卅)可旳十比臨N即等式(2-5)得證(注意其中的N與X是相互獨立的)。(2-4)式表明，總的理賠量的期望值等于理賠次數(shù)的期望值與個別理賠量的期望的乘積，而(2-5)式則表明，總的理賠量的方差可以分解為兩個分量：第一個分量反映了理賠量次數(shù)是隨機的，第二個分量反映了個別理賠量是隨機的。S的矩母函數(shù)為：Ms(t)二Eets二MjlnMx(t)(26)其中mn，Mx分別為n和x的矩母函數(shù)。該式的證明如下：證明：(0=E/=EEeIJVJ

38、二言可/分並+心)jN=呵Pr(N=h)=E0WF+7牛珊n=n)nO=M龍(/)rPr(Nm)=E(/心屮1n=0即等式(2-6)得證。利用全概率公式，可以知道S的分布函數(shù)為：F(x)=n(x)Pr(N=ft)(2-7)其中P*為P(x)的口階卷積，特別規(guī)定特別，如果個別理賠量是離散型分布，其概率函數(shù)為p(x)=Pr(X=x)，則總理賠量S也是離散型的，其概率函數(shù)為：/=Pr(S=x)=pH(x)Pr(N=)其中p*ff(jc)=p*p*p=Pr(Arl中兀+無幷-x)c理賠次數(shù)N取不同的分布，個別理賠量取不同的分布P(x)，就得到了總理賠量S的不同復合分布。如果N為Poisson分布，貝吧

39、的相應分布便成為復合Poisson分布；當n為負二項分布時，S的分布則稱為負二項分布。N也可以取二項分布，對數(shù)分布等。對于個別理賠量x的分布，由于計算s的分布F(x)時需要作卷積運算，所以應該盡可能選擇便于計算的分布函數(shù)。下面介紹2種重要的復合分布：復合Poisson分布和復合負二項分布。1.復合Poisson分布。當理賠次數(shù)N服從參數(shù)為入的Poisson分布，個別理賠量的分布函數(shù)為P(x)時，稱s的分布為由參數(shù)入，分布函數(shù)P(x)決定的復合Poisson分布，由(2-4)至(2-7)式有：ES二入p,VarS二入p212K（0=嚴沁円,F（x）=”（旳耳_-n!復合Poisson分布有一個非

40、常好的性質(zhì)，如定理2.1所示。定理2.112（復合泊松的和仍然是復合泊松分布）如果S1,S2,Sm是一系列獨立的復合泊松隨機變量，分別具有參數(shù)入和理賠分布P1，i=1,2,，m,那么S=S1+S2+Sm仍然是一個復合泊松隨機變量，具有參數(shù)：ffiLwJj-lr-|幾由定理2.1,我們知道辨?zhèn)€獨立復合泊松保單的總和仍然服從復合泊松分布，或者對同一個復合泊松保單觀測m年且假設逐年的結(jié)果相互獨立，貝血年結(jié)果的總和也仍然是服從復合泊松分布的。這一性質(zhì)在建立保險模型中有2個重要的應用：第一，如果有m個險種，每個險種總理賠量是復合泊松分布并且相互獨立，則總理賠量也是復合泊松分布；第二，考慮m年期的單個險種

41、，假設m個年總理賠量均是復合泊松分布（其分布也可以不同），貝則n年期的總理賠量也服從復合泊松分布。我們來看一個特例，當每一個St有非隨機的理陪額x時，我們有S=xN，其中NiPoisson（入i）。iii現(xiàn)在設所有X全不相同，則隨機變量：iS=x1N1+x2N2+xmNm（2-8）是一個復合泊松隨機變量，參數(shù)為：兄=人+益+九和卩（兀）二牛=12冊我們還可以證明逆命題如下：定理2.213（理賠次數(shù)服從獨立泊松分布）設s服從復合泊松分布，其中參數(shù)為入，理陪分布是一個離散型分布，滿足：n=p(x)=PrX=x,i=l,2,miii如果把S寫成(2.8)式那樣，其中M表示理陪額X。發(fā)生的次數(shù)(即Si

42、的和式里面值Xi出現(xiàn)的次數(shù))，那么Nl,N2,，Nm構(gòu)成一列獨立Poisson(入ni)隨機變量。定理2.314(復合泊松分布與中心極限定理)設S服從復合泊松分布，其中參數(shù)為入，理賠分布P(*)具有有限方差。記U=ES和O2=VarS,則:iimPrEN工=0，0p1,q=1-p,此時S的分布被稱為復合負二項分布。對復合負二項分布S，由(2-4)至(2.7)式有：ESpvt如陽瞠p嚴嗎p；PPP-0，只有滿足了這個條件保險公司的破產(chǎn)概率才不會以1發(fā)生，所以稱其為安全附加系數(shù)。保險公司在實際的經(jīng)營中，最關(guān)心的是破產(chǎn)概率，當盈余首次在某一時刻為負值時。理論上便認為保險公司破產(chǎn)。記破產(chǎn)發(fā)生的時刻為：

43、T=inft:tO且U(t)0，則約定T=g，表示保險公司不會發(fā)生破產(chǎn)。記屮(U)=Pr(T0(2-12)對于方程(2-12)，求出R(U)的Laplace變換，再求Laplace的逆變換，便可以得出R(U)的表達式。利用定理2.6,可以求出當保險公司沒有初始盈余時，其存活概率為R(0)=0/1+0，有趣的是，這一概率僅僅依賴于安全附加系數(shù)e，而與參數(shù)入以及個別理賠量分布函數(shù)P(x)無關(guān)。2.4本章小結(jié)本章對短期個別風險模型、短期聚合風險模型以及主要破產(chǎn)理論的主要內(nèi)容進行了討論，應用到了2個重要的的函數(shù)：矩母函數(shù)和Laplace變換，利用他們來求解破產(chǎn)概率，求解過程比較復雜。近年來，人們越來越

44、重視風險理論，并對其某些方面進行了深入的研究，如破產(chǎn)概率的其它更為簡便的求解方法，有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時間、停時研究等等。第3章帶干擾的雙復合泊松風險模型31模型的建立：考慮下面的風險過程：MN(t)u+工G-工+(3)2丄丿其中M=M(t),t$0是強度為a的齊次泊松過程，即EM(t)=at,M(t)表示至時刻t止收到的保單數(shù);C=Ci,i$1是獨立同分布隨機變量序列，具有共同的分布函數(shù)G(x),G(0)=0,ECi=q,Ci表示每張保單的保費，表示至時刻t的總保費收入。假定過程M與C相互獨立，N=N(t),t$0是強度為0的齊次泊松過程，即EN(t)二Pt,N(t)表示至時刻t收到的

45、索賠次數(shù)，Y=Y,i$1是相互獨立同分布的隨機變量序列，具有共同的分布函數(shù)F(x),EYi=p,Yi表示第i次的索賠量，表示至時刻t的總索賠量，W(t)為一個標準的維納過程，表示保險公司不確定的收益和付款，常數(shù)p$0。并且M(t),t$0,Ci,i$1,N(t),t$0,Yi,i$1W(t),t$0相互獨立保險公司為運作上的安全，要求ER(t)0,即EM(t)ECi-EN(t)EYi=(qa-pp)t0。3.2預備引理引理31liniLr(C=證明：由IlinEM(/)=limtzZ=co,limEN(t)=lim/Sf=ooT顯然ioo時，jfMinfMWOf8衛(wèi)4“(f)T8衛(wèi)斗所以據(jù)強大

46、數(shù)定律知：呦W)險型=1迅竺-進+邊T郎t/-f/|=恤呈如卜li證也+Iim2*fM(l)t1*eN(t)fr*t=aECt一沖+pEW(t=gar-p00,故limLYf)=ao.定義3.2根據(jù)模型(3T)的假定，定義Ci的Laplace變換(r)=p-G(x)?r0定義Yi的矩母函數(shù)m(r)=ndFx)引理3.3對于過程R(t),t$0，存在函數(shù)g(r)，使得:Ee-rR(t)=etg(，且方程g(r)=0的解有唯一正解R,稱之為調(diào)節(jié)系數(shù)。“呦證明：Ee曲=Eexp-r(-監(jiān)+護)41I=expat(r)一lexp-1exp()t=expa(p(r)一1+pmr)-1+令g(r)=創(chuàng)哄尸

47、)-1+-1+子又：2aEle-C)+J3EeY+p2rdr=aE嚴C2+PEY1J+p1所以生二|心=-円+如VOar內(nèi)是一個凸函數(shù)，進而故函數(shù)g(，只要理賠量Y以正概率取足夠大的值，dg(r)/dr將一直保持為正，從而g(r)在r0內(nèi)有唯一的極小值點，又g(0)=0，于是g(r)=0方程有唯一的正根，我們記之為R。在后文中出現(xiàn)的R皆指該處的調(diào)節(jié)系數(shù)，不再說明。引理3.4對于盈余過程，定義事件流=CT(Lr(/),/0,則:何毗；0是鞅口證明：對stt得fE嚴麗捫-札s劉馳皿砌饑r二樂w+s仏比門E甲叫n閥$texp-1+-1+()(*)_c得證。則R(t)-R(s)=S(t)-S(s)+S

48、(t)-S(s)+pW(t)-W(s)，其中S(t)-S(s),S(t)-S(s),W(t)-W(s)是相互獨立的,且S(t)-S(s)服從參數(shù)為a(t-s)的復合泊松分布，S(t)-S(s)服從參數(shù)為0(t-s)的復合泊松分布，W(t)-W(s)服從N(0,t-s)分布。又由引理3.3,所以有(*)式成立。3.3主要結(jié)果定理3.1破產(chǎn)概率的表達式為：證明：顯然，T是oU(t),t$0的停時，選取tt0=E嚴門卩三怙jPT“+E嚴1広r0)又0MEe-(I(TD)0)O(/og%)*所以在上式中令t。too,得：嚴=Ec-flt/(r)|roop(roo)Ru所以()=E嚴推論3.2破產(chǎn)概率的

49、一個上界。屮(u)We-Ru證明：顯然U(T)O)l-G(y-u)dy證明:在很小的時間區(qū)間(0,t)內(nèi)，我們分以下四種情況來考察。在(0,t內(nèi)，M和N均無跳躍發(fā)生，其概率為(l-at)(l-0t+o(At)在(0,t內(nèi)，M有一跳，N無跳躍，其概率為a(1-0t)+o(At)在(0,t內(nèi)，M無跳躍，N有一跳，其概率為那才0(1一at)+o(At)(W)在(0，t內(nèi)，M(N)至少有兩個以上的跳躍，或M，N同時有跳躍發(fā)生，其概率為0。t)有全概率公式有：(u)=(1-aA/)(l-(it+pW(A/)+aA?(l-0A/)Ef(“+x+pW(Af)dG(x)+0A/(1-辺)E即+p琢(Az)dF

50、(y)+o(AO利用泰勒展開式及(u)具有可微性17我們有:(+pPF(AZ)=(叭+x?山+O(A/)(2.4.1)2將(241)代入上式，令A/T0得：(a+0)依)一)b=a(I(”+Jt)dG(x)+0f(y)(l-G(y)dy-f(y)(G(y)-G(y-z)dy2占(2,43)+/?fo(r)(l-F(z-/)*在(243中令z-8,因(參看14)&(b)=0得；殳(0)訂03(1G(刃燭(2.4.4)(2A4)代入(2.43)得：2牛(町=0(1-F(u-f)側(cè)-aA)l-G(j-u)(fy34本章小結(jié)本章對雙復合Poisson風險模型作了一定的研究，其中在單位時間內(nèi)的保費收入不

51、再是一個常數(shù)，而是一個隨機變量，這與保險公司中的實際情況是一致的，并對該模型的最終破產(chǎn)概率屮(U)的一般表達式作了推導，對涉及到的一些定理破產(chǎn)概率上界也給出了證明過程。第4章同時含有正、負風險過程的風險模型對保險公司而言，除了擁有財產(chǎn)保險這類險種之外，還會擁有壽險年金這類保險業(yè)務。通常我們將財產(chǎn)保險這類險種視為正風險過程，而將壽險年金這類險種視為負風險過程。本章將基本負風險過程改進為同時含有正、負風險過程的風險模型，并且正、負這兩個類之間是相關(guān)的，即針對這兩類風險的索賠往往會在某一不確定因素下同時發(fā)生。本章參照文獻18、19得到了同時含有F、負風險過程的風險模型的主要性質(zhì)和破產(chǎn)概率的相關(guān)結(jié)論，

52、并將模型與正、負兩類風險過程相互獨立時的情況進行比較。主要工作在于利用鞅的方法得到了模型的破產(chǎn)時刻的條件期望的顯式，并對含有正、負兩個相關(guān)類的風險模型的破產(chǎn)概率進行數(shù)值模擬，分析了相關(guān)性對于模型破產(chǎn)概率的影響。4.1同時含有正、負風險過程的風險模型及其主要性質(zhì)4.1.1模型介紹為了描述在某一共同因素的影響下針對正、負兩類險種提出的索賠，我們引入了正負風險同時存在的風險模型。定義4.1設正、負兩類風險過程分別定義為閃久(。=叭十川S=碼+卯一工乙7?2(r)=u2-c2t+S2(/)=叫詁十工y/2則同時含有正、負兩類風險過程的風險模型定義為R(t)二R1(t)+R2(t)二u+ctS(t)(4

53、-1)(1)u=ul+u2,u1,u2O分別表示這兩個類的初始盈余；c=c1-c2；c10，c20分別表示保險公司從第一個類中收取的保費的費率以及保險公司支付給被保險人的常年金率；呵詔-荻)=嶺門1-0i=lYi(i)Yi(2)分別為i.i.d序列，其共同分布分別記為Fl、F2,pl(k)、p2(k)分別表示Yi、Yik階原點矩(k=1,2,3)，表示第1類理賠的第i次理賠量，Yi(2)(i=1,2,3)表示保險公司從第二類的第i次理賠中獲得的“理賠量，Yi、Yi0,隨機變量Yi(i)、Yi的第k階原點矩分別為p1(k)、p2(k(3)N1(t),N2(t)為兩個計數(shù)過程，且N1(t)=N11

54、(t)+N12(t)，N2(t)=N22(t)+N12(t)用以反映兩類風險間具有的相關(guān)關(guān)系，其中N11(t)表示由正風險過程所產(chǎn)生的理賠的次數(shù)，N22(t)表示由負風險過程產(chǎn)生的“理賠“的次數(shù)，N12(t)則表示受某一因素的影響，使得正、負兩個風險過程同時產(chǎn)生的理賠的次數(shù)。N1l(t)、Nl2(t)、N22(t)相互獨立，分別服從參數(shù)為入1,入12,入2的泊松過程。為了使保險公司的期望賠付大于單位時間的支出，設：U(t)=ctS(t)=(c1c2)t一(S1(t)一S2(t)那么應有EU(t)$0，即卩&(入1+入12)p1一(入2+入12)p2(i).4.1.2模型的主要性質(zhì)性質(zhì)4.1定義

55、4.1中同時含有正、負兩類風險的風險過程R(t)具有平穩(wěn)獨立增量性。證明：令osqr0時,R(t+s)-/?(/)=cs-S(r+$)-S(01+s2(/+5)-S2(0,而對S(+s)-S&)和S2(f+$)-S2(/)來說，相應的差分別都是同分布的,所以弘)具有平穩(wěn)增量性。綜上所述尺具有平穩(wěn)獨立增量性。性質(zhì)4.2設M2)、A/2(門分別為乙、乙的矩母函數(shù)，則定義4.1中S(/)的矩母函數(shù)Ms“)(門和分布函數(shù)F分別為：yJMt尸)卡2(F+I(f)M2(-r)-1)飾+飾+警耳呵證明:嚴仰pr(耳-即)i=i=Eexpr(X+工叩工叩一口)TOC o 1-5 h z仕1i=lZ加1譏)臥鄧

56、也)啞)=exp(r呼現(xiàn)牢-r/2)-exp(-r叩)注If=!丘1Z=exp2jf(M(r)一1)+(一尸)一1)+(r)Af2(-r)一1)=exp(令M&)+傘“2(-”+孕冋(r)M2(-r)-1)AAA又由唯一性可知S的分布函數(shù)F=片+性質(zhì)4.3索賠過程S1(t)與S2(t)之間是正相關(guān)的。證明：VarSx+S2（f）=（入+人2）+（易+人?）pt+2右2刃刃叫而Cov(Sx-+4兀rS|%尬22COy(S,(f),S2(Q)因此對于盈余模型（4.1）,正風險過程與負風險過程是正相關(guān)的。42模型的破產(chǎn)概率421模型的最終破產(chǎn)概率定理4.1設定義4.1中同時含有正、負兩類風險的風險過

57、程的盈利過程U(t)二ct-S(t),則存在函數(shù)g(r)，使得Ee-rU(t)二etg(r)。證明：EerU(t)=Ee-rltS,)=Eerct+rS)=EeE/)=exp-ret+2/(r)+M2(-r)+(r)M2(-r)-1),22A令g(r)=cr+2.M,(r)+A2M2(-r)+(r)M2(-r)-A,則EerU(,)=etg(r)定理4.2當。沢人+心加卩-+如)/)時，方程cr+AjM(r)+22A/2(-r)+A12Ml(r)M2(-r)2=0,有唯一正根R。稱為風險模型(4-1)的調(diào)節(jié)系數(shù)。證明:g(r)=cr+A,A/,(r)+(-r)+(r)Af2(-/|)-2,有g(shù)

58、(0)=0；limg(r)=oo；0(0)=(人+人2)卩一(人+入2)T-c0,由此可知函數(shù)g(r)為(0,+oo)上的凹函數(shù)，故在(O.+oo)上存在唯一的R0,使得g(/?)=0o定理4.3對于負風險模型(4.1),其破產(chǎn)概率訓()=(4.2)Ee_|7|oo證明：利用全概率公式及Chebyshev不等式證明。E嚴=EerRi，T小PTt,(4.3)又.)=“+),貝q：exp-rwexpM2)+扌M?(-尸)Eerttl=E嚴s=exp-rw-e_rV(0J冏(尸)見(“)一1)一紂)將(4.3)式等號右端第1項記為為，可將盹)寫為:R(t)=R(T)+R(t)R(T)=R(門十U(t

59、)-t7(r),對于給定的7R(T)與U(t)-U(T)之間相互獨立，并且有：=exp-r/e(T)exp(2(牛岡(r)+Af2(-r)TOC o 1-5 h zArA+牛(r)M2(-r)-1)-cr)(_T)|gPTSt.A令y=R,即調(diào)節(jié)系數(shù)，利用定理(2.1)可將(4.3)式化為：eRu=e-r|TVtPTtPT/,(4.4)當ftoo時，(4.4)式可化為：eRu=EeRR(T)TaoPTPToo.(4.5)將(4.5)式右端第2項記為若能證明日2-0,則定理得證。設C-(人+人2)刃-(易+血0)，滬=(石+人2)即+無)附-2石2才農(nóng)，2則有ER(t)=u+att如/?)=少，

60、令A=u+at-Ot11當f充分大時，A0并且當f00時，A-00。H2=我roo,0J?(r)00,R(T)APToo,R(T)AP0R（T）A+,由Chebyshev不等式可知：po0t3,叫=門，逖?。?因此當/TOO時，已20。再由（4.5）式可知：eRu附仙）0時，存在R20使得定義4.1給出的同時含有正、負兩類風險過程的模型的破產(chǎn)概率y/（u）=eRu.證明：參照文獻21的證明，設0 xu,則人8q/8,從而Pinf(w+/(/)017；oo=Pinf(w+U(t)0|7；ao,=PTUoo忙oo0(“)二墜8_P迅00,7；80(X)PTx8PTxoo=Pinf(w+U(t)o|