生醫(yī)高數(shù)6二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)

1、第二節(jié)微積分的基本公式一、引例二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)三、公式一、引例在變速直線運動中, 已知位置函數(shù)之間有關系:與速度函數(shù)st內經過的路程為物體在時間間隔T2v(t)ts)(T )T1這種積分與原函數(shù)的關系在一定條件下具有普遍性 .二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)則變上限函數(shù)定理1.若y fxyxa(t) d t(x)oxabx證:xxx (, b , 則有) 1 xf (d)f (d)hhaa 1 f (t) d t fx h)(xhx (x) x lim fh0 f (x) limh0h說明:定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的. 同時為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路.變限積分求導:da

2、x x ffdx)dxddat d t axxxfdftddx dxx f (x)x)f(例1.求ecos21x(in x解:原式limx02 e2x確定常數(shù) a , b , c 的值, 使例2. b .0解:原式=a .1c 1 .c 0 , 故又由, 得200證明例3.內為單調遞增函數(shù).在xx00 t ft) d t f (xx f (t) d t證:x0 2ffdxf ( )0(t) d tx ( ) x 0 x0 x0 2( 2fdfdx設 f ( x)在0,1上連續(xù)，且 f ( x) 1.證明x例 42x f (t )dt 1在0,1上只有一個解.0 xF ( x) 2 x f (t

3、 )dt 1,證令0 f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,F ( x)在0,1上為單調增加函數(shù). F (0) 1 0,1010F (1) 1 f (t )dt 1 f (t )dt0,所以F ( x) 0即原方程在0,1上只有一個解.三、公式定理2.函數(shù), 則bax F) f (x)(a)(-公式)故根據(jù)定理 1,證:x ax) dx CF (xafxdxF(a)因此得記作例5. 計算3 arctandx31 arctan x解:3arctan(1)1 x21 ) 7 (3412例6.計算正弦曲線的面積.y sinA 0 sin x dx解: 0 xo 1 2cos x到某

4、處需要減剎車, 問從開始剎例7. 汽車以每小時 36 km 的速度行駛 ,速停車, 設汽車以等加速度 a 5 m s2車到停車走了多少距離?解: 設開始剎車時刻為則此時刻汽車速度361000360010mmss行駛, 其速度為剎車后汽車當汽車停住時,即得故在這段時間內汽車所走的距離為 22210 10(m)252td t(10 )5d0001. 微積分基本公式設 f ( x) Ca, b, 且F(x) f (x),則有baf (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F (b) F (a)積分中值定理微分中值定理公式2. 變限積分求導公式備用題1. 設求f ( x).解：定積分

5、為常數(shù) , 故應用積分法定此常數(shù) .12f (x)d x a , 設, 則f (x)d x b00f (x)d x x bx 2ax b 2aa b 03232f (x)d x x bx 2ax 2 8 2b 4a320 4 x 23 a 1 ,b 4 f (x)3333I 2 sin 2nx d x 的遞推公式(n為正整數(shù)) .2.nsin x0sin 22)0解：由于 Ix因此n1sin xcos(221)sin x dx0 2nn1sin x)n102 1)2cos 2dxn 2(1)n1(n 2, 3,)所以nn12n 1其中2 2 cos x d x 2I10思考題xa設 f ( x)在a, bf (t )dt 與上連續(xù)，則bf (u)du是x的函數(shù)還是 t 與 u的函數(shù)？x它們的導數(shù)存在嗎