2022年高考理科《數(shù)學(xué)》人教A版總復(fù)習(xí)練習(xí)題-高考大題專(zhuān)項(xiàng)練四　高考中的立體幾何

1、高考大題專(zhuān)項(xiàng)練四高考中的立體幾何高考大題專(zhuān)項(xiàng)練第8頁(yè)一、非選擇題1.如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC為折痕將ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且ABDA.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=23DA,求三棱錐Q-ABP的體積.答案:(1)證明由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足為E,則QE13DC.由已知及(1)可得DC

2、平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱錐Q-APB的體積為VQ-ABP=13QESABP=13112322sin 45=1.2.如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=2,CE=EF=1. (1)求證:AF平面BDE;(2)求證:CF平面BDE;(3)求二面角A-BE-D的大小.答案:(1)證明設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G,因?yàn)镋FAG,且EF=1,因?yàn)檎叫蜛BCD邊長(zhǎng)AB=2,所以AC=2,AG=12AC=1,所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AFEG.因?yàn)镋G平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.(2)證明因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊

3、形ACEF所在的平面互相垂直,且CEAC,所以CE平面ABCD.如圖,以C為原點(diǎn),分別以CD,CB,CE的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.則C(0,0,0),A(2,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),B(0,2,0),F22,22,1.所以CF=22,22,1,BE=(0,-2,1),DE=(-2,0,1).所以CFBE=0-1+1=0,CFDE=-1+0+1=0.所以CFBE,CFDE,所以CF平面BDE.(3)解由(2)知,CF=22,22,1是平面BDE的一個(gè)法向量;BA=(2,0,0),設(shè)平面ABE的法向量n=(x,y,z),則nBA=0,nB

4、E=0,即(x,y,z)(2,0,0)=0,(x,y,z)(0,-2,1)=0,所以x=0,z=2y.令y=1,則z=2.所以n=(0,1,2),從而cos=nCF|n|CF|=32.因?yàn)槎娼茿-BE-D為銳角,所以二面角A-BE-D為6.3.如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)證明:AB1平面A1B1C1;(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.答案:解法一(1)證明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB,得AB1=A1B1=22,所以A1B12+

5、AB12=AA12,故AB1A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BC1BC,CC1BC,得B1C1=5,由AB=BC=2,ABC=120,得AC=23,由CC1AC,得AC1=13,所以AB12+B1C12=AC12,故AB1B1C1.因此AB1平面A1B1C1.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)C1作C1DA1B1,交直線A1B1于點(diǎn)D,連接AD.由AB1平面A1B1C1,得平面A1B1C1平面ABB1,由C1DA1B1,得C1D平面ABB1,所以C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.由B1C1=5,A1B1=22,A1C1=21,得cosC1A1B1=67,sinC1A1B1=17,所以C1D=

6、3,故sinC1AD=C1DAC1=3913.因此,直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是3913.解法二(1)證明:如圖,以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以射線OB,OC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:A(0,-3,0),B(1,0,0),A1(0,-3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1).因此AB1=(1,3,2),A1B1=(1,3,-2),A1C1=(0,23,-3).由AB1A1B1=0,得AB1A1B1.由AB1A1C1=0,得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為.由(1)可知AC1=

7、(0,23,1),AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2).設(shè)平面ABB1的法向量n=(x,y,z).由nAB=0,nBB1=0,即x+3y=0,2z=0,可取n=(-3,1,0).所以sin =|cos|=|AC1n|AC1|n|=3913.因此,直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是3913.4.如圖,正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD,EA=ED,AE平面CDE.(1)求證:AB平面ADE;(2)設(shè)M是線段BE上一點(diǎn),當(dāng)直線AM與平面EAD所成角的正弦值為223時(shí),試確定點(diǎn)M的位置.答案:(1)證明AE平面CDE,CD平面CDE,AECD.在正方形ABCD

8、中,CDAD,ADAE=A,CD平面ADE.ABCD,AB平面ADE.(2)解由(1)得平面EAD平面ABCD,取AD的中點(diǎn)O,取BC的中點(diǎn)F,連接EO,OF.EA=ED,EOAD,EO平面ABCD.以O(shè)A,OF,OE分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,則A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).設(shè)M(x,y,z).連接AM,BM=(x-1,y-2,z),BE=(-1,-2,1),B,M,E三點(diǎn)共線,設(shè)BM=BE(01),M(1-,2-2,),AM=(-,2-2,).設(shè)AM與平面EAD所成角為,平面EAD的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),sin =|

9、cos|=|2-2|62-8+4=223,解得=13或=-1(舍去),點(diǎn)M為線段BE上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).5.圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.答案:(1)證明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因?yàn)锳B平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.

10、(2)解作EHBC,垂足為H.因?yàn)镋H平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.由已知,菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2,EBC=60,可求得BH=1,EH=3.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HC的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,3),CG=(1,0,3),AC=(2,-1,0).設(shè)平面ACGD的法向量為n=(x,y,z),則CGn=0,ACn=0,即x+3z=0,2x-y=0.所以可取n=(3,6,-3).又平面BCGE的法向量可取為m=(0,1,0),所以cos=nm|n|m|=32.因此二面角B-CG-A的大小為30

11、.6.(2020全國(guó),理18)如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點(diǎn),PO=66DO.(1)證明:PA平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.答案:(1)證明設(shè)DO=a,由題設(shè)可得PO=66a,AO=33a,AB=a,PA=PB=PC=22a.因此PA2+PB2=AB2,從而PAPB.又PA2+PC2=AC2,故PAPC.所以PA平面PBC.(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OE的方向?yàn)閥軸正方向,|OE|為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O - xyz.由題設(shè)可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C-32,12,

12、0,P0,0,22.所以EC=-32,-12,0,EP=0,-1,22.設(shè)m=(x,y,z)是平面PCE的法向量,則mEP=0,mEC=0,即-y+22z=0,-32x-12y=0.可取m=-33,1,2.由(1)知AP=0,1,22是平面PCB的一個(gè)法向量,記n=AP,則cos=nm|n|m|=255.所以二面角B -PC-E的余弦值為255.7.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=5,且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn).(1)求證:MN平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)設(shè)E為棱A1

13、B1上的點(diǎn),若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為13,求線段A1E的長(zhǎng).解:如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因?yàn)镸,N分別為B1C和D1D的中點(diǎn),得M1,12,1,N(1,-2,1).(1)證明:依題意,可得n=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量.MN=0,-52,0.由此可得MNn=0,又因?yàn)橹本€MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)AD1=(1,-2,2),AC=(2,0,0).設(shè)n1=(x1,y1,z

14、1)為平面ACD1的法向量,則n1AD1=0,n1AC=0,即x1-2y1+2z1=0,2x1=0.不妨設(shè)z1=1,可得n1=(0,1,1).設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面ACB1的法向量,則n2AB1=0,n2AC=0,又AB1=(0,1,2),得y2+2z2=0,2x2=0.不妨設(shè)z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos=n1n2|n1|n2|=-1010,于是sin=31010.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值為31010.(3)依題意,可設(shè)A1E=A1B1,其中0,1,則E(0,2),從而NE=(-1,+2,1).又n=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量,由已知

15、,得cos=NEn|NE|n|=1(-1)2+(+2)2+12=13,整理得2+4-3=0,又因?yàn)?,1,解得=7-2.所以,線段A1E的長(zhǎng)為7-2.8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD,E為棱AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90.(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM平面PBE,并說(shuō)明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小為45,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.解:(1)在梯形ABCD中,AB與CD不平行.延長(zhǎng)AB,DC相交于點(diǎn)M(M平面PAB),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下:由已知,BCED,且BC=ED.所以四邊形BC

16、DE是平行四邊形.從而CMEB.又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE.(說(shuō)明:延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N,使得AP=PN,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))(2)(方法一)由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.從而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以PDA=45.設(shè)BC=1,則在RtPAD中,PA=AD=2.過(guò)點(diǎn)A作AHCE,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PH.易知PA平面ABCD,從而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.過(guò)A作AQPH于Q,則AQ平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中,AEH=45,AE=1,所以AH=22.在RtPAH中,PH=PA2+AH2=322,所以sinAPH=AHPH=13.(方法二)由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.于是CDPD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.由PAAB,可得PA平面ABCD.設(shè)BC=1,則在RtPAD中,PA=AD=2.作Ay平面PAD