發(fā)表《基于點(diǎn)陣技術(shù)與幾何畫板結(jié)合的三角函數(shù)圖像變》電子稿

1、通信地址：江蘇省無(wú)錫市惠山新城政和大道1號(hào) 郵編：214174 聯(lián)系電話子信箱： HYPERLINK mailto: QQ:1652832778作者簡(jiǎn)介：吳寶瑩，男，1970.6.7出生，江蘇省特級(jí)教師，中國(guó)奧數(shù)優(yōu)秀教練員，中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員，發(fā)現(xiàn)雜志社副理事長(zhǎng)、高級(jí)編審，中學(xué)數(shù)學(xué)特約編委，江蘇省高考命題專家成員，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對(duì)象，江蘇省新課程改革實(shí)驗(yàn)先進(jìn)個(gè)人，江蘇省校本教研指導(dǎo)教師，無(wú)錫市領(lǐng)軍人才，享受政府專項(xiàng)津貼，無(wú)錫市首批數(shù)學(xué)名師工作室領(lǐng)銜人、導(dǎo)師，在數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)、數(shù)學(xué)通報(bào)等RCCSE中國(guó)核心學(xué)術(shù)期刊(A)、全國(guó)科技

2、核心、全國(guó)中文核心、國(guó)家級(jí)、省級(jí)刊物發(fā)表論文160余篇，其中十余篇被中國(guó)人民大學(xué)書報(bào)資料中心高中數(shù)學(xué)教與學(xué)全文轉(zhuǎn)載，主持國(guó)家級(jí)、省級(jí)教育科學(xué)規(guī)劃課題三項(xiàng)，入選江蘇教育新聞網(wǎng)首批18位駐站名師.基于點(diǎn)陣數(shù)碼筆技術(shù)與幾何畫板結(jié)合的三角函數(shù)的圖像變換陳敏 吳寶瑩 （江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)，江蘇無(wú)錫 214174）點(diǎn)陣數(shù)碼筆是依托于數(shù)字光學(xué)點(diǎn)陣技術(shù)的一種新型書寫工具. 主要組成部件有壓力傳感器、高速攝像頭、處理器、電池、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器、藍(lán)牙或USB通訊模塊等（如圖1所示）. 所用的點(diǎn)陣筆與普通紙張不同，但成本幾乎一樣，只是在普通紙張上印刷一層不可見(jiàn)的點(diǎn)陣圖案.圖1其工作原理是筆尖被壓下的同時(shí)，壓力傳感器被觸發(fā)

3、，啟動(dòng)內(nèi)置的高速攝像頭，以每秒100張的速度對(duì)筆尖所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)陣進(jìn)行隨時(shí)捕捉拍照，將點(diǎn)陣坐標(biāo)、筆跡順序、運(yùn)動(dòng)軌跡、壓力數(shù)據(jù)、運(yùn)動(dòng)速度等信息傳遞給內(nèi)置的數(shù)據(jù)處理器，最終通過(guò)藍(lán)牙或USB通訊單元向外輸出。三角函數(shù)的圖像變換教學(xué)是高中較全面、較集中的一次函數(shù)圖象變換研究，涉及到平移變換、周期變換（伸壓變換）、振幅變換，學(xué)生理解起來(lái)較為抽象，黑板加粉筆的傳統(tǒng)教學(xué)達(dá)不到理想的效果，學(xué)生大都是死記變換規(guī)律以應(yīng)付作業(yè)與考試.由于本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的特殊性，學(xué)生只有在自主探究、合作交流的基礎(chǔ)上，感受動(dòng)態(tài)的圖像變換，才能真正理解圖象變換規(guī)律，從而進(jìn)一步掌握應(yīng)用圖象變換規(guī)律解決相關(guān)問(wèn)題. 點(diǎn)陣數(shù)碼筆和幾何畫板能很好的解決

4、學(xué)生自主探究、合作交流以及動(dòng)態(tài)的圖像變換這兩個(gè)問(wèn)題.一、實(shí)時(shí)總覽全局，前臺(tái)“指點(diǎn)江山”學(xué)生用點(diǎn)陣數(shù)碼筆在紙上書寫的同時(shí)，他們的書寫結(jié)果會(huì)同步抓拍傳輸?shù)降诫娔X中，老師在講臺(tái)前對(duì)每一個(gè)學(xué)生的探究過(guò)程盡收眼底、一覽無(wú)余，可以從全局上掌握每個(gè)人在紙上的書寫內(nèi)容.必要時(shí)在前臺(tái)適時(shí)適度點(diǎn)撥.本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于第一步平移變換，這一種變換理解清楚了，其他的幾種圖象變換完全可以類比，就容易多了. 教材用“”作為平移變換的例子，在用五點(diǎn)法列表時(shí)，明顯地可以看出函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去1后對(duì)應(yīng)于函數(shù)的圖象上的點(diǎn)（縱坐標(biāo)不變），學(xué)生描點(diǎn)后，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象上的所有的點(diǎn)向左平移1個(gè)單位而得

5、到的.這只是通過(guò)畫出這兩個(gè)具體的函數(shù)圖象感覺(jué)是這樣的，一般情況下怎樣由的圖象得到的圖象，又是為什么？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，教師在講臺(tái)前很清楚地看到學(xué)生的點(diǎn)陣紙上的探究情況遇到障礙，這時(shí)教師就可以適時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo).教師引導(dǎo)學(xué)生觀察與兩個(gè)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，用自己的點(diǎn)陣筆（筆跡設(shè)成紅色），把前者的“”和后者的“”用紅筆圈起來(lái)加以對(duì)照，用“相當(dāng)于”的方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解平移變換的規(guī)律：不難發(fā)現(xiàn)，從結(jié)構(gòu)上看，中的作為一個(gè)整體相當(dāng)于中的，而縱坐標(biāo)不變，即點(diǎn)的高度不變，這說(shuō)明是左右平移，而且平移后的點(diǎn)的橫坐標(biāo)要小，怎么小法？應(yīng)當(dāng)是平移前的橫坐標(biāo)減去1（因?yàn)樗由?后才相當(dāng)于平移前中的），所以，函數(shù)的圖象可以看作是

6、由函數(shù)的圖象上的所有的點(diǎn)向左平移1個(gè)單位而得到的.事實(shí)上就是換元法，令，函數(shù)的圖象上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于函數(shù)圖象上的點(diǎn)，但這種換元的方法遠(yuǎn)不如“相當(dāng)于”的方法更接近于知識(shí)理解的教育形態(tài).圖2周期變換、振幅變換也是這樣.如周期變換：由的圖象如何變換得到的圖象，觀察二者的結(jié)構(gòu)，中的作為一個(gè)整體相當(dāng)于中的，而縱坐標(biāo)不變，即平移后點(diǎn)的橫坐標(biāo)要小，小到什么程度？小到是平移前橫坐標(biāo)的二分之一（因?yàn)槠揭坪簏c(diǎn)的橫坐標(biāo)的兩倍才相當(dāng)于平移前的相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)），所以，將的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的二分之一（縱坐標(biāo)不變）就可以得到的圖象.幾何畫板的突出特點(diǎn)是可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)演示（如圖2所示），這正是三角函數(shù)圖象變換所需要的，傳統(tǒng)

7、的粉筆加黑板就顯得很蒼白無(wú)力、呆板單調(diào).學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，用“相當(dāng)于”的方法理解了平移變換之理，再用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，知其然而知其所以然，教學(xué)效果很好.二、深入學(xué)生中間，現(xiàn)場(chǎng)特寫 “解剖”由于筆跡的記錄過(guò)程與書寫過(guò)程同步，點(diǎn)陣數(shù)碼筆可以通過(guò)投影同步顯示學(xué)生的探究過(guò)程.教師深入學(xué)生中間，“蹲下來(lái)”與學(xué)生平起平坐，在學(xué)生探究的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的問(wèn)題，然后大屏幕切換到這個(gè)學(xué)生（組）的點(diǎn)陣紙，局部特寫放大，全體學(xué)生圍觀，現(xiàn)場(chǎng)會(huì)診，進(jìn)行針對(duì)性 “解剖”. 圖3由的圖象怎樣得到的圖象是本節(jié)課的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，要給學(xué)生較為充分的時(shí)間探究討論，可能剛開(kāi)始學(xué)生會(huì)認(rèn)為把的圖象向右平移個(gè)單位就可以得到的圖象，因?yàn)?/p>

8、平移變換是針對(duì)于變量本身，學(xué)生經(jīng)過(guò)一番探究討論后，把變成了，再觀察與兩個(gè)解釋式的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)后者的就相當(dāng)于前者的，這時(shí)筆者就把大屏幕切換到該同學(xué)的點(diǎn)陣紙，走到這個(gè)學(xué)生面前，用紅色的點(diǎn)陣筆畫出關(guān)鍵的步驟，并且對(duì)兩式中的與標(biāo)注對(duì)比，（如圖3所示，標(biāo)注內(nèi)容在大屏幕上同步實(shí)時(shí)局部特寫放大），并給該同學(xué)一個(gè)大大的“紅對(duì)勾”，難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)頃刻間在笑聲中灰飛煙滅！三、練習(xí)反饋?lái)槙常纬蓪?duì)比激勵(lì)學(xué)生理解掌握教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)以后，接下來(lái)是數(shù)學(xué)運(yùn)用與數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)反饋環(huán)節(jié)，點(diǎn)陣數(shù)碼筆技術(shù)在此環(huán)節(jié)也有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，教師可以很清楚地看到每一個(gè)學(xué)生知識(shí)的掌握情況，反映在做題的思維品質(zhì)、解題方法、準(zhǔn)確性、速度等方面，尤其是點(diǎn)陣

9、數(shù)碼筆技術(shù)可以很方便地把學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)用的不同情況進(jìn)行比較研究，比較中見(jiàn)真知，實(shí)現(xiàn)“1+12”的教學(xué)效果為了全面地對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行訓(xùn)練，筆者比教材上多增加了一些結(jié)論逆用和變用的練習(xí).如逆用題組：.為了得到y(tǒng)=sinx的圖象，只需把y=sin(x+)的圖象上所有的點(diǎn)向_平移_個(gè)單位；.為了得到y(tǒng)=sinx的圖象，只需把y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)_；.為了得到y(tǒng)=sinx的圖象，只需把y=2sinx的圖象上所有的點(diǎn)_.再如變用題組：把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所到得的圖象的函數(shù)解析式為 ，再將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），則所到得的圖象的函數(shù)解析式為 . . 為了得到y(tǒng)=cosx

10、的圖象，只需把y=sinx的圖象上的所有的點(diǎn) .四、文檔脫機(jī)緩存，批注錄音回放由于點(diǎn)陣數(shù)碼筆將紙張上書寫的文字或者圖片以位圖的形式存儲(chǔ)在電腦中，形成文檔，同步保存到電腦、平板和智能手機(jī)上，所以，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)字化脫機(jī)緩存，批注錄音，筆記回放. 這樣課堂上不懂得問(wèn)題，學(xué)生回家后可以“課堂再現(xiàn)”，甚至對(duì)某一個(gè)環(huán)節(jié)反復(fù)回放，便于學(xué)生課后的回顧和復(fù)習(xí).當(dāng)然，學(xué)生在“課堂再現(xiàn)”或在完成課后作業(yè)的過(guò)程中有什么疑問(wèn)、想法都可以隨時(shí)用點(diǎn)陣筆寫下來(lái)，保存起來(lái)與老師互動(dòng)反饋.本節(jié)課筆者布置了兩個(gè)課后挑戰(zhàn)性的探討問(wèn)題：1、除了常規(guī)的三角函數(shù)的圖像變換題目外，推廣為一般意義上的函數(shù),（其中）；2、由函數(shù)的圖象變換到函數(shù)（其中）的圖象，先作周期變換后作平移變換與先作平移變換后作周期變換，兩種不同的方法中平移的幅度不一樣,為什么？能不能從生活中舉例說(shuō)明？關(guān)于第二個(gè)問(wèn)題可以這樣理解：周期變換實(shí)際上是伸壓變換，要比平移變換高一個(gè)“等級(jí)”，周期變換變換得更“厲害”一些，所以，先作周期變換后作平移變換比先作平移變換后作周期變換，平移的幅度要來(lái)得小一些.正如一件純棉布料，先縮水再裁剪與先裁剪再縮水，兩種不同的方法中，因?yàn)榭s水較為厲害，所以