高中數(shù)學(xué)選修第一冊：選擇性必修第一冊第二章 2.2.3 直線的一般式方程

1、22.3直線的一般式方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線的一般式方程.2.理解關(guān)于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同時為0)都表示直線. 3.會進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化知識點(diǎn)一直線的一般式方程關(guān)于x和y的二元一次方程都表示一條直線我們把關(guān)于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式思考平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？答案都可以，原因如下：(1)若直線的斜率k存在直線可表示成ykxb，可轉(zhuǎn)化為kx(1)yb0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程(2)若直線的斜率k不存在，方程可表示成xa0，它可以認(rèn)為是關(guān)于x，

2、y的二元一次方程，此時方程中y的系數(shù)為0.知識點(diǎn)二直線的五種形式的方程形式方程局限點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)kxb不能表示斜率不存在的直線兩點(diǎn)式eq f(yy1,y2y1)eq f(xx1,x2x1)x1x2，y1y2截距式eq f(x,a)eq f(y,b)1不能表示與坐標(biāo)軸平行及過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0無思考當(dāng)A0或B0時，方程AxByC0分別表示什么樣的直線？答案(1)若A0，此時B0，方程化為yeq f(C,B)，表示與y軸垂直的一條直線(2)若B0，此時A0，方程化為xeq f(C,A)，表示與x軸垂直的一條直線知識點(diǎn)三直線各種形式方程的互化1任何

3、直線方程都能表示為一般式()2任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化()3對于二元一次方程AxByC0，當(dāng)A0，B0時，方程表示斜率不存在的直線()4當(dāng)A，B同時為零時，方程AxByC0也可表示為一條直線()一、直線的一般式方程例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是eq r(3)，且經(jīng)過點(diǎn)A(5,3)；(2)經(jīng)過點(diǎn)A(1,5)，B(2，1)兩點(diǎn)；(3)在x軸，y軸上的截距分別為3，1；(4)經(jīng)過點(diǎn)B(4,2)，且平行于x軸解(1)由點(diǎn)斜式，得直線方程為y3eq r(3)(x5)，即eq r(3)xy5eq r(3)30.(2)由兩點(diǎn)式，得直線方程為eq f(

4、y5,15)eq f(x1,21)，即2xy30.(3)由截距式，得直線方程為eq f(x,3)eq f(y,1)1，即x3y30.(4)y20.反思感悟求直線一般式方程的策略在求直線方程時，設(shè)一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式跟蹤訓(xùn)練1(1)根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并化成一般式斜率是eq f(1,2)，且經(jīng)過點(diǎn)A(8，6)的直線方程為_；在x軸和y軸上的截距分別是eq f(3,2)和3的直線方程為_；經(jīng)過點(diǎn)P1(3，2)，P2(5，4)的直線方程為_答案x2y402xy30 xy10(2)直線2xy20繞它與y軸的交點(diǎn)A按逆時針方

5、向旋轉(zhuǎn)90所得的直線方程是()Ax2y40 Bx2y40Cx2y40 Dx2y40答案D解析直線2xy20與y軸的交點(diǎn)為A(0，2)，所求直線過點(diǎn)A且斜率為eq f(1,2)，所求直線的方程為y2eq f(1,2)x，即x2y40.二、直線的一般式方程的應(yīng)用例2設(shè)直線l的方程為(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)已知直線l在x軸上的截距為3，求m的值；(2)已知直線l的斜率為1，求m的值解(1)由題意知m22m30，即m3且m1，令y0，則xeq f(2m6,m22m3)，eq f(2m6,m22m3)3，得meq f(5,3)或m3(舍去)meq f(5,3).(2)由題意知，2

6、m2m10，即meq f(1,2)且m1.由直線l化為斜截式方程得yeq f(m22m3,2m2m1)xeq f(62m,2m2m1)，則eq f(m22m3,2m2m1)1，得m2或m1(舍去)m2.延伸探究對于本例中的直線l的方程，若直線l與y軸平行，求m的值解直線l與y軸平行，eq blcrc (avs4alco1(m22m30，,2m2m10，,62m0，)meq f(1,2).反思感悟含參直線方程的研究策略(1)若方程AxByC0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.(2)令x0可得在y軸上的截距令y0可得在x軸上的截距若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式(3)解分式方程要注意驗(yàn)根

7、跟蹤訓(xùn)練2(1)若直線l：axy20在x軸和y軸上的截距相等，則a_.答案1解析由題意知a0，當(dāng)x0時，y2；當(dāng)y0時，xeq f(2,a)，2eq f(2,a)，a1.(2)已知(k1)x(k1)y2k0為直線l的方程，求證：不論k取何實(shí)數(shù)，直線l必過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)解整理直線l的方程得(xy)k(xy2)0.無論k取何值，該式恒成立，所以eq blcrc (avs4alco1(xy0，,xy20，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1.)所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)M(1，1)一般式下直線的平行與垂直的問題典例已知直線l1：3x(m1)y60，l2：mx2y(m2)0，

8、分別求滿足下列條件的m的值(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)l1l2，3m(m1)20，meq f(2,5).(2)l1l2，32m(m1)，m3或m2，當(dāng)m3時，l1l2；當(dāng)m2時，l1與l2重合，不符合題意，舍去m3.素養(yǎng)提升(1)一般式下，兩直線平行與垂直的判定如下：設(shè)直線l1與l2的方程分別為A1xB1yC10(A1，B1不同時為0)，A2xB2yC20(A2，B2不同時為0)，則l1l2eq blcrc (avs4alco1(A1B2A2B10，,B1C2B2C10或A1C2A2C10.)l1l2A1A2B1B20.(2)對于這類題目既要借助圖形，更要選擇運(yùn)算方法，通過計算，確

9、定結(jié)果，所以突出考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)1直線eq f(x,3)eq f(y,4)1化成一般式方程為()Ayeq f(4,3)x4 Byeq f(4,3)(x3)C4x3y120 D4x3y12答案C2在直角坐標(biāo)系中，直線xeq r(3)y30的傾斜角是()A30 B60 C150 D120答案C解析直線斜率keq f(r(3),3)，所以傾斜角為150，故選C.3若方程AxByC0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為()AA0 BB0CAB0 DA2B20答案D解析方程AxByC0表示直線的條件為A，B不能同時為0，即A2B20.4已知直線kxy13k0，當(dāng)k變化時，所有直線都恒過點(diǎn)

10、()A(0,0) B(0,1) C(3,1) D(2,1)答案C解析kxy13k0可化為y1k(x3)，所以直線過定點(diǎn)(3,1)5若直線(2m25m2)x(m24)y5m0的傾斜角是45，則實(shí)數(shù)m的值是_答案3解析由已知得eq blcrc (avs4alco1(f(2m25m2,m24)1，,m240，)m3.1知識清單：(1)直線的一般式方程(2)直線五種形式方程的互化(3)利用直線方程判定直線的平行與垂直2方法歸納：分類討論法、化歸轉(zhuǎn)化3常見誤區(qū)：忽視直線斜率不存在情況；忽視兩直線重合情況1過點(diǎn)(2,1)，斜率k2的直線方程為()Ax12(y2) B2xy10Cy22(x1) D2xy50

11、答案D解析根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可得，y12(x2)，即2xy50.2過點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2xy50的直線方程為()Ax2y40 B2xy70Cx2y30 Dx2y50答案A解析過點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2xy50的直線的斜率為eq f(1,2)，由點(diǎn)斜式求得直線的方程為y3eq f(1,2)(x2)，化簡可得x2y40，故選A.3直線3x2y40的截距式方程是()A.eq f(3x,4)eq f(y,2)1 B.eq f(x,f(4,3)eq f(y,2)1C.eq f(x,f(1,3)eq f(y,f(1,2)4 D.eq f(3,4)xeq f(y,2)1答案B解析由3x2y40

12、，得3x2y4，即eq f(3,4)xeq f(2,4)y1 , 即eq f(x,f(4,3)eq f(y,2)1，所以直線的截距式方程為eq f(x,f(4,3)eq f(y,2)1.4已知直線l1：ax(a2)y20與l2：xay10平行，則實(shí)數(shù)a的值為()A1或2 B0或2C2 D1答案D解析由l1l2知，aa1(a2)，即a2a20，a2或a1.當(dāng)a2時，l1與l2重合，不符合題意，舍去；當(dāng)a1時，l1l2.a1.5已知直線axby10在y軸上的截距為1，且它的傾斜角是直線eq r(3)xyeq r(3)0的傾斜角的2倍，則a，b的值分別為()Aeq r(3)，1 B.eq r(3)，

13、1 Ceq r(3)，1 D.eq r(3)，1答案A解析原方程化為eq f(x,f(1,a)eq f(y,f(1,b)1，eq f(1,b)1，b1.又axby10的斜率keq f(a,b)a，且eq r(3)xyeq r(3)0的傾斜角為60，ktan 120eq r(3)，aeq r(3)，故選A.6斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)的直線的一般式方程為_答案2xy10解析由y32(x1)得2xy10.7已知直線(a2)x(a22a3)y2a0在x軸上的截距為3，則該直線在y軸上的截距為_答案eq f(4,15)解析把(3,0)代入已知方程，得(a2)32a0，a6，直線方程為4x45y12

14、0，令x0，得yeq f(4,15).8若直線l過點(diǎn)(1,3)且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的斜率k_.答案1或3 解析直線l經(jīng)過原點(diǎn)時，可得斜率k3.直線不經(jīng)過原點(diǎn)時，直線l過點(diǎn)(1,3)且在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等，經(jīng)過點(diǎn)(a，0)，(0，a)(a0)k1.綜上可得，直線l的斜率k1或3.9已知直線l的方程為3x4y120，求直線l的一般式方程，l滿足：(1)過點(diǎn)(1,3)，且與l平行；(2)過點(diǎn)(1,3)，且與l垂直解方法一由題意l的方程可化為yeq f(3,4)x3，l的斜率為eq f(3,4).(1)由l與l平行，l的斜率為eq f(3,4).又l過(1,3)，由點(diǎn)斜式知方程為y

15、3eq f(3,4)(x1)，即3x4y90.(2)由l與l垂直，l的斜率為eq f(4,3)，又過(1,3)，由點(diǎn)斜式可得方程為y3eq f(4,3)(x1)，即4x3y130.方法二(1)由l與l平行，可設(shè)l方程為3x4ym0.將點(diǎn)(1,3)代入上式得m9.所求直線方程為3x4y90.(2)由l與l垂直，可設(shè)其方程為4x3yn0.將(1,3)代入上式得n13.所求直線方程為4x3y130.10已知直線l1：(k3)x(4k)y10與l2：2(k3)x2y30.(1)若這兩條直線垂直，求k的值；(2)若這兩條直線平行，求k的值解(1)根據(jù)題意，得(k3)2(k3)(4k)(2)0，解得keq

16、 f(5r(5),2).若這兩條直線垂直，則keq f(5r(5),2).(2)根據(jù)題意，得(k3)(2)2(k3)(4k)0，解得k3或k5.經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意若這兩條直線平行，則k3或k5.11直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A.eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4) B.eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)答案D解析keq f(1,a21)，1k0.所以傾斜角的取值范

17、圍是eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，).12兩條直線mxyn0和xmy10互相平行的條件是()Am1 Bm1C.eq blcrc (avs4alco1(m1，,n1) D.eq blcrc (avs4alco1(m1，,n1)或eq blcrc (avs4alco1(m1，,n1)答案D解析令mm11，得m1.當(dāng)m1時，要使xyn0與xy10平行，需n1.當(dāng)m1時，要使xyn0與xy10平行，需n1.13直線ymx3m2(mR)必過定點(diǎn)()A(3,2) B(3,2)C(3，2) D(3，2)答案A解析由ymx3m2，得y2m(x3)，所以直線必過點(diǎn)(3,2)14垂直于直線

18、3x4y70，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線l的方程為_答案4x3y120或4x3y120解析由題意可設(shè)與直線3x4y70垂直的直線的方程為4x3yc0(c0)，令y0，得xeq f(c,4)，令x0，得yeq f(c,3)，則Seq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(f(c,4)eq blc|rc|(avs4alco1(f(c,3)6，得c2122，c12，直線l的方程為4x3y120或4x3y120.15(多選)若直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則直線l的斜率為()A1 B1C2 D. 2答案BD解析當(dāng)直線axy2a0過原點(diǎn)時，可得a2.當(dāng)直線axy2a0不過原點(diǎn)時，由題意知，當(dāng)a0時，直線l與x軸無交點(diǎn)，當(dāng)a0時，直線l在x軸上的截距為eq f(2a,a)，與在y軸上的截距2a相等，可得eq f(2a,a)2a，解得a1或a2(舍)綜上知，a2或1.所以直線l的斜率為1或2.16