概率論概率第一章1

1、第六節(jié) 獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用小結(jié) 布置作業(yè)顯然 P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性A=第二次擲出6點(diǎn)， B=第一次擲出6點(diǎn)，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè) 由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨(dú)立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受 P(B)0 或 P(A)0 的制約.若兩事件A、B滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱A、B相互獨(dú)

2、立，簡(jiǎn)稱A、B獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義 例 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 故 事件A、B獨(dú)立.問事件A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2, 前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計(jì)算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的, 在實(shí)際應(yīng)用中, 往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 可見 P(A)= P(A|B), 即事件A、B獨(dú)立.則P(A)=1/13, P(A|B)

3、=2/26=1/13 在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立 .甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記 A=甲命中, B=乙命中，A與B是否獨(dú)立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率） 一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè) Ai=第i件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的, 則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次 抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.請(qǐng)問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？ 即 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,則A與B不獨(dú)立.反之

4、，若A與B獨(dú)立，且P(A)0,P(B)0,則A 、B不互斥.而P(A) 0, P(B) 0故 A、B不獨(dú)立我們來計(jì)算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí).=P(A)1- P(B

5、)= P(A)- P(AB)P(A )= P(A - A B)A、B獨(dú)立概率的性質(zhì)= P(A)- P(A) P(B)僅證A與 獨(dú)立定理 2 若兩事件A、B獨(dú)立, 則 也相互獨(dú)立.證明= P(A) P( )故 A與 獨(dú)立二、多個(gè)事件的獨(dú)立性 對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四個(gè)等式同時(shí)成立,則稱事件A、B、C相互獨(dú)立.請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì) n (n 2)個(gè)事件?對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用即 例4 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解 將三人編號(hào)為1，2，3，所求為 記 Ai=第i個(gè)人破譯出密碼 i=1 , 2 , 3已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/412 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 3 例5 下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖. A、B、C、D、E、F、G、H 都是電路中的元件. 它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率. 求電路正常工作的概率. 解 將電路正常工作記為W，由于各元件獨(dú)立工作，有其中P(W)