微積分應(yīng)用基礎(chǔ)第五章常微分方程課件

1、第一節(jié) 常微分方程的基本概念第二節(jié) 建立微分方程 第三節(jié) 用MATLAB求解微分方程學(xué)習(xí)指導(dǎo) 本章簡(jiǎn)要介紹常微分方程的基本概念以及如何建立簡(jiǎn)單的微分方程，能夠使用軟件求解一階微分方程?？山惦A的二階微分方程，二階常系數(shù)線性微分方程等，了解微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用。本章內(nèi)容提要 引例1【人口問(wèn)題】 英國(guó)學(xué)者馬爾薩斯（Malthus）認(rèn)為人口的相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù)，即如果設(shè) t 時(shí)刻人口數(shù)為x(t），則人口增長(zhǎng)速度與人口總量x（t）成正比，從而建立了Malthus模型這是一個(gè)含有一階導(dǎo)數(shù)的模型。其中 0第一節(jié) 常微分方程的基本概念 引例2【貨輪制動(dòng)】 貨輪在平靜的海面上以20m/s的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)，貨輪加

2、速度為-0.4m/s2，求制動(dòng)后貨輪的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解 設(shè)貨輪開始制動(dòng)后t秒內(nèi)行使了s米，按題意，欲求出未知函數(shù)s=s（t）。已知加速度 這是一個(gè)含有二階導(dǎo)數(shù)的模型。 象這種含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。 方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為該微分方程的階。例如 ， 是一階微分方程 ， 是二階微分方程 。階微分方程的一般形式為： 二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。 如果函數(shù)y=f (x)滿足一個(gè)微分方程，xD則稱它是該微分方程的解。 微分方程的解可以是顯函數(shù)，也可以是由關(guān)系式F(x,y)=0 確定的隱函數(shù).如果微分方程的解中

3、含有任意常數(shù)，且任意個(gè)不相關(guān)的常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同時(shí)，這樣的解稱為微分方程的通解。如 是 的通解。 是微分方程 的通解。 當(dāng)自變量取某值時(shí)，要求未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)取給定值，這種條件稱為初始條件。 滿足給定的初始條件的解，稱為微分方程滿足該初始條件的特解。 如 ，是 滿足初始條件y(0)=1的特解。 微分方程的特解計(jì)y=f (x)的幾何圖形，稱為該方程的一條積分曲線，而通解的圖形在幾何上則表示積分曲線族。 形如 的微分方程稱為可分離變量的微分方程。 例如 ， ， 等等都是可分離變量的微分方程。 形如 的微分方程稱為齊次微分方程。 例如 ， 為齊次微分方程。 形如 的方程稱為一階線性微分方

4、程。 “線性”是指在方程中含有未知函數(shù)y和它的導(dǎo)數(shù)y的項(xiàng)都是關(guān)于y,y的一次項(xiàng). 而q(x)稱為自由項(xiàng)。當(dāng)q(x)=0時(shí)， 稱為一階線性齊次微分方程，當(dāng)時(shí)，稱為一階線性非齊次微分方程。 例如 為一階線性非齊次微分方程。 形如 的微分方程，當(dāng)p、q是常數(shù)時(shí)，稱為二階線性常系數(shù)齊次微分方程。 形如 的二階微分方程，方程中未知函數(shù)y及其各階導(dǎo)數(shù)y， y“是以一次方形式出現(xiàn)，稱為二階線性微分方程。其中p(x),q(x),f(x) 都是自變量x的已知函數(shù)，當(dāng)時(shí) ，方程稱為二階線性齊次微分方程。當(dāng) 時(shí) ，稱為二階線性非齊次微分方程。 例如 為二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。練習(xí) 指出下列微分方程的階數(shù)（1）

5、 （2） （3） （4） 2.驗(yàn)證所給的函數(shù)是否為對(duì)應(yīng)方程的解（1） （2） （3） （4） 3. 識(shí)別下列微分方程的類型（1） （2）（3） （4） 在生產(chǎn)和生活實(shí)際中，微分方程有著十分廣泛的應(yīng)用。下面僅就幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明如何建立微分方程，并熟悉建立微分方程的基本方法和步驟。案例1【跳傘規(guī)律】 求高空跳傘者的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。（設(shè)阻力與降落速度成比）解 假設(shè)質(zhì)量為m的物體在降落傘張開后降落時(shí)所受的空氣阻力與速度成正比，開始降落時(shí)速度為零。 當(dāng)降落傘降落速度為 (t )時(shí)，降落傘所受重力mg的方向與 (t )的方向一致，并受阻力-k （k為比例系數(shù)，與降落傘的受風(fēng)面積有關(guān)，且大于0），負(fù)號(hào)

6、表示阻力的第二節(jié) 建立微分方程 方向與 (t )的方向相反，所受的合外力為F=mg- k ，根據(jù)牛頓第二定律F=ma，及 （為加速度），得微分方程即 這是一個(gè)一階線性非齊次的微分方程。案例2 【R-L-C電路】 如圖所示的R-L-C電路。它包含電感L,電阻R，電容C及電源e(t)。設(shè)L,R,C均為常數(shù)，e(t)是時(shí)間t的已知函數(shù)。試求當(dāng)開關(guān)K合上后，電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系。 解 電路的基爾霍夫（Kirchhoff）第二定律: 在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和為零。 設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后，電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為I(t)，則電流經(jīng)過(guò)電感L，電阻R和電容的電壓降分別為其中Q為電量，

7、于是由Kirchhoff第二定律，得到 因?yàn)橛谑堑玫?這就是電流強(qiáng)度I與時(shí)間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式，它是一個(gè)二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。案例3【衰變規(guī)律】 求放射性元素的質(zhì)量衰變規(guī)律。解 放射性元素衰變的速度 正比于該元素的質(zhì)量m，即 其中為衰變系數(shù)，負(fù)號(hào)表示質(zhì)量衰減。 這是一個(gè)可分離變量的微分方程，解這個(gè)方程得到 其中mo是該放射性元素的初始質(zhì)量，放射性元素衰減到初始質(zhì)量的一半所花費(fèi)的時(shí)間T稱為該元素的“半衰期”。根據(jù)這個(gè)定義，半衰期T應(yīng)滿足即 每一種放射性元素的半衰期是一個(gè)固定的常數(shù)，式表明半衰期取決于衰變系數(shù)。目前人們已測(cè)得了許多放射性元素的半衰期，例如，鉛214的半衰期為26.8分鐘，

8、鐳226的半衰期為1600年，鈾238的半衰期為 4.5109 年。案例4【油井收入】 練習(xí) 4.設(shè)一初始溫度為o的物體放到恒溫介質(zhì)中（溫度為r），假定物體的溫度是均勻冷卻，且介質(zhì)溫度始終為r。求這物體的溫度 隨時(shí)間t變化的規(guī)律。 5.發(fā)生一起謀殺案,警察下午4:00到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)。法醫(yī)測(cè)得尸體溫度為30度，室溫20度，已知尸體在最初2小時(shí)降低2度。謀殺是什么時(shí)間的? 微分方程是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，而解微分方程卻是一個(gè)繁難的工作，Matlab提供了非常強(qiáng)大的求解常微分方程的功能.其語(yǔ)句為dsolve（eq1，eq2，cond1，cond2,，v） 說(shuō)明: 對(duì)給定的常微分方程(組)eq1，eq2,

9、中指定的符號(hào)自變量，與給定的邊界條件和初始條件cond1,cond2,求符號(hào)解(即解析解) 若沒(méi)有指定變量v,則缺省變量為t 在微分方程(組)的表達(dá)式eq中，大寫字母D表示對(duì)自變量t的微分算子:Dy=dy/dt，D2y= ，微分算子D后面的第三節(jié) 用MATLAB求解微分方程字母則表示為因變量,即待求解的未知函數(shù) 初始和邊界條件由字符串表示下面看幾個(gè)例子。例1 解微分方程 (2)解 (1) dsolve(D2y+y=2*cos(x) ans = sin(t)*C2+cos(t)*C1+2*cos(x) (2) dsolve(D2y=Dy+exp(x) ans = exp(t)*C1-exp(x)

10、*t+C2例2 求解微分方程 （1） ， 。 （2） 。解 (1) dsolve(D2y+4*y=3*x,y(0)=0,Dy(0)=1,x) ans = 1/8*sin(2*x)+3/4*x (2) dsolve(D2y-Dy+2*y=5,y(0)=1,Dy(0)=2,x) ans = 11/14*exp(1/2*x)*sin(1/2*7(1/2)*x)*7(1/2)-3/2*exp(1/2*x)*cos(1/2*7(1/2)*x)+5/2案例【放射性廢料的處理問(wèn)題】 某核電站的廢料處理委員會(huì)以往處理濃縮的放射性廢料時(shí)，一直采用把它們裝入密封的圓桶里扔到水深約為91米海底的方法。對(duì)此，科學(xué)家們

11、表示擔(dān)心，怕圓桶下沉到海底時(shí)與海底碰撞發(fā)生破裂而造成核污染。廢料處理委員會(huì)分辯說(shuō)不會(huì)發(fā)生這種情況。為此，工程師們進(jìn)行了碰撞試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓桶下沉速度超過(guò)12.2米/秒與海底碰撞時(shí)，圓桶就可能發(fā)生破裂。這樣，為避免圓桶碰裂，需要計(jì)算一下圓桶下沉到海底時(shí)速度是多少。已知圓桶重量為239.456千克，體積為0.208立方米，海水浮力為1025.94千克/立方米。于是，如果圓桶下沉速度小于12.2米/秒，說(shuō)明原處理放射性廢料的方法是安全可靠的，否則，應(yīng)該禁用原方法處理放射性廢料。大量試驗(yàn)表明圓桶下沉?xí)r的阻力與圓桶的方位大致無(wú)關(guān)，而與下沉的速度成正比，比例系數(shù)為0.12。你能判斷廢料處理委員會(huì)以往處理濃縮

12、的放射性廢料方法是否合理嗎？解 設(shè)w表示 圓桶重量，這里為239.456千克，V表示圓桶體積,這里為0.208立方米，B表示海水浮力，這里為1025.94V=213.396千克，k表示圓桶下沉?xí)r的阻力系數(shù)，這里為0.12，v表示圓桶下沉?xí)r的速度，D表示圓桶下沉?xí)r的阻力，這里為kv，t表示圓桶離開海平面下沉的時(shí)間，單位為秒，y(t)表示圓桶在t時(shí)刻下沉的深度，單位為米。 因?yàn)閳A桶下沉滿足牛頓第二定律:運(yùn)動(dòng)物體受到的力等于該物體的質(zhì)量與其運(yùn)動(dòng)加速度的乘積，既F=ma。在本問(wèn)題中有 ，F(xiàn)=W-B-D=W-B-kv，y(0)=0，v(0)=0，于是可以得到如下微分方程模型：求解出函數(shù)y(t)后，求出圓

13、桶下落到水深為91米海底的時(shí)間，即求滿足y(t)=91的時(shí)間t1，然后求出在時(shí)間t1的速度即可以得到問(wèn)題的解答。這里的速度關(guān)系由直接求函數(shù)y(t)對(duì)t的導(dǎo)數(shù)得到。 用數(shù)學(xué)軟件求解微分方程其中 b=1025.94*0.208 k=0.12 w=239.456 m=w/9.8p=vpa(dsolve(239.456/9.8*D2y+0.12*Dy+1025.94*0.208-239.456=0，Dy(0)=0,y(0)=0)，6) %解微分方程并保留解中的數(shù)值為6位 p=44220.1*exp(-.491113e-2*t)+217.171*t-44220.1 dp=vpa(diff(p),6) %

14、求導(dǎo)數(shù)（速度）并保留數(shù)值為6位 dp =-217.171*exp(-.491113e-2*t)+217.171 fplot(44220.1*exp(-.491113e-2*t)+217.171*t-44220.1- 91,0，0,100) %畫出函數(shù)圖形為找根 從圖形中發(fā)現(xiàn)根在0，20內(nèi)，畫出其在0，20的局部圖形。fplot(44220.1*exp(-.491113e-2*t)+217.171*t-44220.1-91,0，0,20) p=inline(44220.1*exp(-.491113e-2*t)+217.171*t-44220.1-91); %建立內(nèi)聯(lián)函數(shù) fsolve(p,14)

15、 %求解在初始值t0=14附近的根 ans = 13.2039 %t=13.2039落到海底dp=inline(-217.171*exp(-.491113e-2*t)+217.171) ；%建立導(dǎo)數(shù)的內(nèi)聯(lián)函數(shù) dp(13.2039) %求t=13.2039時(shí)的速度（落到海底） ans = 13.6358 計(jì)算結(jié)果表明圓桶下沉到水深約為91米海底時(shí)的速度約為13.6358米/秒，這個(gè)速度大于12.2米/秒的速度，因此，計(jì)算結(jié)果說(shuō)明該核電站的廢料處理委員會(huì)以往處理濃縮的放射性廢料方法是不安全的?！鹃喿x材料】數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一特定對(duì)象，為了某特定目的，做出一些重要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用

16、適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用它來(lái)解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀況，提供處理對(duì)象的優(yōu)化決策和控制，設(shè)計(jì)滿足某種需要的產(chǎn)品等。一般來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)建模過(guò)程可用如下框圖來(lái)表明。模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ颓蠼饽Ｐ蛻?yīng)用 數(shù)學(xué)是在實(shí)際應(yīng)用的需求中產(chǎn)生的，要解決實(shí)際問(wèn)題就必需建立數(shù)學(xué)模型，從此意義上講數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)一樣有古老歷史。例如，歐幾里德幾何就是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)模型，牛頓萬(wàn)有引力定律也是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)光輝典范。今天，數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域滲透，過(guò)去很少應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域現(xiàn)在迅速走向定量化，數(shù)量化，需建立大量的數(shù)學(xué)模型。特別是新技術(shù)、新工藝蓬勃興起，計(jì)算機(jī)的普及和廣

17、泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)在許多高新技術(shù)上起著十分關(guān)鍵的作用。因此數(shù)學(xué)建模被時(shí)代賦予更為重要的意義。 在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，微分方程模型是最常見的一種。在自然科學(xué)以及工程、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、體育、生物、社會(huì)等學(xué)科中的許多系統(tǒng)，有時(shí)很難找到該系統(tǒng)有關(guān)變量之間的直接關(guān)系函數(shù)表達(dá)式，但卻容易找到這些變量和它們的微小增量或變化率之間的關(guān)系式，這時(shí)往往采用微分關(guān)系式來(lái)。描述該系統(tǒng)即建立微分方程模型。我們以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明建立微分方程模型的基本步驟。案例【體重規(guī)律】 某人的食量是10467(焦/天)，其中5038(焦/天)用于基本的新陳代謝(即自動(dòng)消耗)。在健身訓(xùn)練中，他所消耗的熱量大約是69(焦/公斤天)乘以他的體重(公斤).假

18、設(shè)以脂肪形式貯藏的熱量100%地有效，而1公斤脂肪含熱量41868(焦)。試研究此人的體重隨時(shí)間變化的規(guī)律。模型分析 在問(wèn)題中并未出現(xiàn)“變化率”。“導(dǎo)數(shù)”這樣的關(guān)鍵詞，但要尋找的是體重(記為W )關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。如果我們把體重W看作是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)，我們就能找到一個(gè)含有 的微分方程。模型假設(shè) 1. 以W(t)表示t時(shí)刻某人的體重，并設(shè)一天開始時(shí)人的體重為W0。 2.體重的變化是一個(gè)漸變的過(guò)程，因此可認(rèn)為W(t)是關(guān)于t連續(xù)而且充分光滑的。 3.體重的變化等于輸入與輸出之差，其中輸入是指扣除了基本新陳代謝之后的凈食量吸收；輸出就是進(jìn)行健身訓(xùn)練時(shí)的消耗。模型建立 問(wèn)題中所涉及的時(shí)間僅僅是“每天”，由此，對(duì)于“每天”體重的變化=輸入-輸出由于考慮的是體重隨時(shí)間的變化情況，因此，可得體重的變化/天=輸入/天輸出/天代入具體的數(shù)值，得輸入/天 = 10467(焦/天)5038(焦/天)=5429(焦/天)輸出/天 = 69(焦