人教版九年級下冊數(shù)學(xué)初中幾何大匯編(收藏版)

1、初中幾何大匯編（收藏版）三角形的有關(guān)概念知識考點：理解三角形三邊的關(guān)系及三角形的主要線段（中線、高線、角平分線）和三角形的內(nèi)角和定理。關(guān)鍵是正確理解有關(guān)概念，學(xué)會概念和定理的運用。應(yīng)用方程知識求解幾何題是這部分知識常用的方法。精典例題：【例1】已知一個三角形中兩條邊的長分別是a、b，且a.b，那么這個三角形的周長L的取值范圍是（）A、3aL3bB、2（ab）L2aC、2a6bL2baD、3a-bLa2b分析：涉及構(gòu)成三角形三邊關(guān)系問題時，一定要同時考慮第三邊大于兩邊之差且小于兩邊之和。答案：B變式與思考：在厶ABC中，AC=5，中線AD=7,貝UAB邊的取值范圍是（）A、1vABv29B、4v

2、ABv24C、5vABv19D、9vABv19評注：在解三角形的有關(guān)中線問題時，如果不能直接求解，則常將中線延長一倍，借助全等三角形知識求解，這也是一種常見的作輔助線的方法?！纠?】如圖，已知ABC中，/ABC=45,/ACB=61,延長BC至E,使CE=AC,延長CB至D，使DB=AB，求/DAE的度數(shù)。分析：用三角形內(nèi)角和定理和外角定理，等腰三角形性質(zhì)，求出/D+/E的度數(shù)，即可求得/DAE的度數(shù)。略解：AB=DB,AC=CE1/./D=/ABC,/E=/ACB21/D+/E=(/ABC+/ACB)=532/DAE=180(/D+/E)=127探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，已知點A在直線l夕

3、卜，點B、C在直線丨上。（1）點P是厶ABC內(nèi)任一點，求證：/P/A;（2）試判斷在厶ABC夕卜，又和點A在直線l的同側(cè)，是否存在一點Q,使/BQC/A，并證明你的結(jié)論。問題一圖分析與結(jié)論:連結(jié)AP，易證明/PZA;存在，怎樣的角與/A相等呢？利用同弧上的圓周角相等，可考慮構(gòu)造ABC的外接O0,易知弦BC所對且頂點在弧AmB，和弧AnC上的圓周角都與/A相等，因此點Q應(yīng)在弓形AmB和AnC內(nèi)，利用圓的有關(guān)性質(zhì)易證明(證明略)?！締栴}二】如圖，已知P是等邊ABC的BC邊上任意一點，過P點分別作AB、AC的垂線PE、PD,垂足為E、D。問：AED的周長與四邊形EBCD的周長之間的關(guān)系？分析與結(jié)論：

4、DE是厶AED與四邊形EBCD的公共邊，只須證明AD+AE=BE+BC+CD既有等邊三角形的條件，就有60的角可以利用；又有垂線，可造成含30角的A問題二圖直角三角形，故本題可借助特殊三角形的邊角關(guān)系來證明。略解：在等邊ABC中，/B=ZC=60又PE丄AB于E,PD丄AC于D/BPE=ZCPD=30不妨設(shè)等邊ABC的邊長為1,BE=X,CD=y，那1么：BP=2x,PC=2y,xy，而AE=1-x,AD=1-y23AE+AD=2(xy)：23又BE+CD+BC=(xy)12AD+AE=BE+BC+CD從而AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE即厶AED的周長等于四邊形EBCD的周長。評注：

5、本題若不認真分析三角形的邊角關(guān)系，而想走“全等三角形”的道路是很難奏效的。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：TOC o 1-5 h z1、三角形的三邊為1,1-a,9則a的取值范圍是。2、已知三角形兩邊的長分別為1和2，如果第三邊的長也是整數(shù)，那么第三邊的長為_。3、在厶ABC中，若/C=2(/A+ZB)，則/C=度。4、如果ABC的一個外角等于1500，且/B=ZC,則/A=。5、如果ABC中，/ACB=900,CD是AB邊上的高，則與/A相等的角是。6、如圖，在厶ABC中，/A=800,/ABC和/ACB的外角平分線相交于點D,那么/BDC7、如圖，CE平分/ACB，且CE丄DB,ZDAB=ZDBA,

6、AC=18cm,CBD的周長為28cm，貝UDB=。8、紙片ABC中，/A=650,/B=750,將紙片的一角折疊，使點C落在ABC內(nèi)(如圖)，若/1=200,則/2的度數(shù)為。9、在厶ABC中，/A=500,高BE、CF交于點O,則/BOC=。10、若厶ABC的三邊分別為a、b、c,要使整式(a-bc)(a-b-c)m0,則整數(shù)m應(yīng)為。第7題圖二、選擇題：若厶ABC的三邊之長都是整數(shù)，周長小于A、6個B、7個在厶ABC中，AB=AC,D在AC上，且A、300B、360C、45D、72等腰三角形一腰上的中線分周長為15和12兩部分，則此三角形底邊之長為（）A、7B、11C、7或11D、不能確定在

7、厶ABC中，/B=500,ABAC,則/A的取值范圍是（）B、00ZA800D、800/A13001、2、3、4、A、0ZAv180C、50/A2a HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 222全等三角形知識考點：掌握用三角形全等的判定定理來解決有關(guān)的證明和計算問題，靈活運用三角形全等的三個判定定理來證明三角形全等。精典例題：【例1】如圖，已知AB丄BC,DC丄BC,E在BC上，AE=AD,AB=BC。求證：CE=CD。分析：作AF丄CD的延長線（證明略）評注：尋求全等的條件，在證明兩條線段（或兩個角）相等時，若它們所在的兩個三角形不全等，就必須添

8、加輔助線，構(gòu)造全等三角形，常見輔助線有：連結(jié)某兩個已知點；過已知點作某已知直線的平行線；延長某已知線段到某個點，或與已知直線相交；作一角等于已知角。例2圖例1圖問題一圖【例2】如圖，已知在厶分析：采用截長補短法，延長ABC中，/C=2/B,Z1=Z2,AC至E，使AE=AB，連結(jié)求證：AB=AC+CD。DE;也可在AB上截取AE=AC，再證明EB=CD（證明略）。探索與創(chuàng)新：【問題一】閱讀下題：如圖，P是厶ABC中BC邊上一點，E是AP上的一點，若EB=EC,/1=Z2，求證：AP丄BC。證明：在厶ABE和厶ACE中，EB=EC,AE=AE,/1=/2ABEACE（第一步）AB=AC,/3=/

9、4（第二步）AP丄BC（等腰三角形三線合一）上面的證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步的推理依據(jù)；若不正確，請指出關(guān)鍵錯在哪一步，并寫出你認為正確的證明過程。略解：不正確，錯在第一步。正確證法為：/BE=CE/EBC=/ECB又/1=/2/ABC=/ACB,AB=ACABEACE（SAS）/3=/4又AB=ACAP丄BC評注：本題是以考查學(xué)生練習(xí)中常見錯誤為閱讀材料設(shè)計而成的閱讀性試題，其目的是考查學(xué)生閱讀理解能力，證明過程中邏輯推理的嚴密性。閱讀理解題是近幾年各地都有的新題型，應(yīng)引起重視?！締栴}二】眾所周知，只有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，你能想辦法安排和外理這三個條件，使這

10、兩個三角形全等嗎？請同學(xué)們參照下面的方案（1）導(dǎo)出方案（2）（3）（4）。解：設(shè)有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形，方案（1）:若這個角的對邊恰好是這兩邊中的大邊，則這兩個三角形全等。方案（2）:若這個角是直角，則這兩個三角形全等。方案（3）：若此角為已知兩邊的夾角，則這兩個三角形全等。評注：這是一道典型的開放性試題，答案不是唯一的。如方案（4）:若此角為鈍角，則這兩個三角形全等。（5）:若這兩個三角形都是銳解（鈍角）三角形，則這兩個三角形全等。能有效考查學(xué)生對三角形全等概念的掌握情況，這類題目要求學(xué)生依據(jù)問題提供的題設(shè)條件，尋找多種途徑解決問題。本題要求學(xué)生著眼于弱化題設(shè)條件，設(shè)計讓命題在一般

11、情況不成立，而特殊情況下成立的思路。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、若厶ABCEFG,且/B=600,/FGE-/E=560,則/A=2、如圖，AB3、如圖，在度。/EF/DC，/ABC=900,AB=DC,那么圖中有全等三角形ABC則點對。中，/C=900,BC=40,AD是/BAC的平分線交BC于D，且DC:D至UABAADAEEHBBDEo)EECADMODM)BEAPOAFCDBC選擇第1題圖c、互余D、ADCABEAE=ADBCD、互補或相等填空第6題圖B、不相等C、ABMFCNGAB=AC,則下列結(jié)論中正確的是B、ABEACDAD、CE交于點H，請你70AD丄BC,CE丄AB，垂足分別為

12、，使AEHCEB。ABCD沿BD對折，使C點落在E處（不包括AB=CD和AD=ZC,AE=AF。給出下列結(jié)論DN。其中正確的結(jié)論是F.GBC填空第5題圖CD第3題圖NBDC第4題圖C、75D、85那么這兩個三角形的第三邊所2、如圖，AE=AF,AB=AC數(shù)為（）A、600B3、如果兩個三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等對的角（A、相等D.A.EBE與AD相交于點O,BC）。/1=Z2:BE=CF;（填序號）。BFC第2題圖4、如圖，在ABC中，添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：5、如圖，把一張矩形紙片寫出一組相等的線段_6、如圖，/E=ZF=900,/BACNABM:CD=二、選擇題：1、如圖，AD丄

13、AB,EA丄AC,A、ADF也厶AEGA0,zB=250，則/EOB的度EC與BF交于點O,/A=60的距離是o選擇第2題圖選擇第4題圖4、如圖，在ABC中，AD是/A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設(shè)PBDB=3:5,=m,PC=n,AB=c,AC=b，則(mn)與(bc)的大小關(guān)系是(B、mnvbeD、無法確定A、mnbeC、mn=be三、解答題：1如圖，/1=Z2,Z3=Z4,EC=AD。求證：ABE和厶BDC是等腰三角形。解答題第1題圖解答題第2題圖2、如圖，AB=AE，/ABC=ZAED,BC=ED，點F是CD的中點。求證：AF丄CD;在你連結(jié)BE后，還能得出什么新結(jié)論？請

14、再寫出兩個。3、(1)已知，在ABC和厶DEF中，AB=DE,BC=EF,ZBAC=ZEDF=100,求證：ABCDEF;(2)上問中，若將條件改為AB=DE,BC=EF,ZBAC=ZEDF=70,結(jié)論是否還成立，為什么？4、如圖，已知/MON的邊OM上有兩點A、B，邊ON上有兩點C、D，且AB=CD,P為/MON的平分線上一點。問：(ABP與厶PCD是否全等？請說明理由。(2)ABP與厶PCD的面積是否相等？請說明理由。解答題第4題圖5、如圖，已知CE丄AB,DF丄AB，點E、F分別為垂足，且AC/BD。根據(jù)所給條件，指出ACE和厶BDF具有什么關(guān)系？請你對結(jié)論予以證明。若厶ACE和厶BDF

15、不全等，請你補充一個條件，使得兩個三角形全等，并給予證明。參考答案一、填空題:1、32;2、3;3、15;4、AH=BC或EA=EC或EH=EB等;5、DC=DE或BC=BE或OA=OE等；6、二、選擇題：BBDA三、解答題：1略;2、（1）略；（2）AF丄BE,AF平分BE等；3、（1）略；（2）不成立，舉一反例即能說明；4、（1）不一定全等，因ABP與厶PCD中，只有AB=CD，而其它角和邊都有可能不相等，故兩三角形不一定全等。（2）面積相等，因為0P為/MON平分線上一點，故P到邊AB、CD上的距離相等，即ABP中AB邊上的高與PCD中CD邊上的高相等，又根據(jù)AB=CD（即底邊也相等）從

16、而ABP與厶PCD的面積相等。5、（ACE和厶BDF的對應(yīng)角相等；（2）略等腰三角形知識考點：靈活運用等腰（等邊）三角形的判定定理與性質(zhì)定理，以及底邊上的高、中線、頂角的平分線三線合一的性質(zhì)進行有關(guān)的證明和計算。精典例題：【例1】等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1:2，則等腰三角形的頂角為（）A、30B、60C、150D、30或150分析：如圖所示，在等腰厶ABC中，CD為腰AB上的高，CD:AB=1:2，:AC=AB，二CD:AC=1:2，二在RtABC中有答案D。D例1圖例2圖【例2】如圖，在ABC中，AC=BC,ZACB=90,D是AC上一點，AE丄BD的1延長線于E,又AE=BD，求證

17、：BD是/ABC的角平分線。2分析：/ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故可作輔助線補全圖形，構(gòu)造出全等三角形（證明略）。探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，在等腰直角ABC中，AD為斜邊上的高，以D為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰分別相交于E、F點，連結(jié)EF與AD相交于G,試問：你能確定/AED和/AGF的大小關(guān)系嗎?分析與結(jié)論：依題意有厶ADEFDC,EDF為等腰直角三角形，又AED=ZAEF+ZDEG，/AGF=ZAEF+ZEAG，事實上/EAG與/DEG都等于45，故/AED=/AGF。評注：加強對圖形的分析、發(fā)現(xiàn)、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代數(shù)式表示/AED、/AGF，

18、從而比較其大小是本題的解題關(guān)鍵。問題一圖問題二圖【問題二】在平面上有且只有4個點，這4個點有一個獨特的性質(zhì)每兩個點之間的距離有且只有兩種長度。例如正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA,AC=BD。請你畫出具有這種獨特性質(zhì)的四種不同的圖形，并標注相等的線段。略解：（1）AB=AD=DB=DC=BD,AC(2)AB=AC=AD=BC,BD=DCAB=AC,AO=BO=CO=DO(4)(5)AB=BC=AC,AB=AD=CD,AO=BO=COA(1)(2)AC=BC=BDO(5)評注：本例突破了常規(guī)作圖題的思維形式,是一道很好的開放型試題，要求學(xué)生既要善于動腦，又要善于動手。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題

19、:TOC o 1-5 h z1、等腰三角形的兩外角之比為5:2,則該等腰三角形的底角為。2、在厶ABC中，AB=AC,BD平分/ABC交AC于D,DE垂直平分AB,E為垂足，則ZC=。3、等腰三角形的兩邊長為4和8，則它腰上的高為。4、在厶ABC中，AB=AC，點D在AB邊上，且BD=BC=AD，則ZA的度數(shù)為5、如圖，AB=BC=CD,AD=AE,DE=BE，則ZC的度數(shù)為EB第6題圖第7題圖6、如圖，D為等邊ABC內(nèi)一點，DB=DA,BP=AB,ZDBP=ZDBC,則ZBPD=7、如圖，在ABC中，AD平分ZBAC,EG丄AD分別交AB、AD、AC及BC的延長線于點E、H、F、G,已知下列

20、四個式子：11/1=2(/3-Z2)/1=(/2+/3)21/4=(/3-/2)2其中有兩個式子是正確的，它們是二、選擇題：1、等腰三角形中一內(nèi)角的度數(shù)為5，那么它的底角的度數(shù)為(B、65C、13/4=1/12A、52、如圖，D為等邊ABCA、等腰三角形5或65的AC邊上一點，且/ACE=/ABD,CE=BD，則ADE是()B、直角三角形C、不等邊三角形D、等邊三角形第2題圖第3題圖/ABC=60,/ACB=45,AD、CF都是高,3、如圖，在ABC中，線BE分別交AD、CF于Q、S,那么圖中的等腰三角形的個數(shù)是(相交于P,角平分)A、24、如圖，已知BO平分/CBA,=18,則厶AMN的周長

21、是A、3B、3C、4CO平分/ACB,且MN/BC,)設(shè)AB=12,BC=24,AC33C、36D、39第4題圖C第5題圖5、如圖,在五邊形ABCDE中,/A=/B=120,EA=AB=BC=-DC=-DE，則/D2-=()A、3B、45C、60D、67.5三、解答題：1、如圖，在ABC中，CE，/DEF=/B。求證：AB=AC,D、E、F分別為AB、BC、DEF是等腰三角形。30平方米的草皮鋪設(shè)一塊邊長為形綠地。請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。3、如圖，在銳角厶ABC中，/ABC=2/C,ZABC的平分線與AD垂直，垂足為D,求證：AC=2BD。2、為美化環(huán)境，計劃在某小區(qū)內(nèi)用CA上的

22、點，且BD=10米的等腰三角AAA第1題圖A第3題圖4、在等邊ABC的邊BC上任取一點D，作/DAE=60,AE交/C的外角平分線于E,那么ADE是什么三角形？證明你的結(jié)論。參考答案一、填空題：1、30；2、72;3、,15；4、36;5、36;6、30;7、二、選擇題：DDDAC三、解答題：1、證厶DBEECF2、提示：分兩種情況討論。不妨設(shè)AB=1米，作CD丄AB于D,貝UCD=6米。(1)當(dāng)iAB為底邊時，AC=BC=.61米；(2)當(dāng)iAB為腰且三角形為銳角三角形時，AB=AC=1米，BC=21米;(3)當(dāng)iAB為腰且三角形為鈍角三角形時，AB=BC=1米，AC=6、1米;3、提示：延

23、長AD交BC于點M。4、AADE為等邊三角形。直角三角形、勾股定理、面積知識考點：了解直角三角形的判定與性質(zhì)，理解直角三角形的邊角關(guān)系，掌握用勾股定理解某些簡單的實際問題。它的有關(guān)性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線段計算、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系及與面積有關(guān)的問題等方面。精典例題：【例1】如圖，在四邊形ABCD中，/A=6,ZB=ZD=9,BC=2,CD=3,則AB=?分析：通過作輔助線，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決，其關(guān)鍵是對內(nèi)分割還是向外補形。答案：8v33D32BCE例1圖例2圖【例2】如圖，P為厶ABC邊BC上一點，PC=2PB，已知/ABC=45,/APC=60,求/ACB的度數(shù)。分析

24、：本題不能簡單地由角的關(guān)系推出/ACB的度數(shù)，而應(yīng)綜合運用條件PC=2PB及/APC=60來構(gòu)造出含30角的直角三角形。這是解本題的關(guān)鍵。答案：/ACB=75（提示：過C作CQ丄AP于Q,連結(jié)BQ，則AQ=BQ=CQ）探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/QPN=30，點A處有一所中學(xué)，AP=160米，假設(shè)汽車行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么汽車在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲的影響？如果受影響，已知汽車的速度為18千米/小時，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？分析：從學(xué)校（A點）距離公路（MN）的最近距離（AD=80米）入手，在距A點方圓1

25、00米的范圍內(nèi)，利用圖形，根據(jù)勾股定理和垂徑定理解決它。略解：作AD丄MN于D，在RtADP中，易知AD=80。所以這所學(xué)校會受到噪聲的影響。以A為圓心，100米為半徑作圓交MN于E、F，連結(jié)AE、AF，則AE=AF=100，根據(jù)勾股定理和垂徑定理知：ED=FD=60，EF=120,從而學(xué)校受噪聲影響的時間為：1201t（小時）=24（秒）18000150評注：本題是一道存在性探索題，通過給定的條件，判斷所研究的對象是否存在。問題二圖【問題二】臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力如圖12,據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一

26、臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變。若城市所受風(fēng)力達到或超過四級，則稱為受臺風(fēng)影響。（1）該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？請說明理由。（1）該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？請說明理由。（2）若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？解：（1）如圖1,由點A作AD丄BC,垂足為D。/AB=220,/B=30.AD=110（千米）。由題意知，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時，將會受到臺風(fēng)的影響。故該城市會受到這次臺風(fēng)的影響。

27、（2）由題意知，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時，將會受到臺風(fēng)的影響。則AE=AF=160。當(dāng)臺風(fēng)中心從E處移到F處時，該城市都會受到這次臺風(fēng)的影響。由勾股定理得：DE=AE-AD=.160-110=.27050=30：、15。EF=60-.15（千米）。該臺風(fēng)中心以15千米/時的速度移動。.這次臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間為60J54,15（小時）。其最大風(fēng)力為1102015（3）當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市所受這次臺風(fēng)的風(fēng)力最大,=6.5（級）。評注：本題是一道幾何應(yīng)用題，解題時要善于把實際問題抽象成幾何圖形，并領(lǐng)會圖形中的幾何元素代表的意義，由題意可分析出，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時

28、，會受臺風(fēng)影響，若過A作AD丄BC于D，設(shè)E,F分別表示A市受臺風(fēng)影響的最初，最后時臺風(fēng)中心的位置，貝UAE=AF=160;當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市受臺風(fēng)影響的風(fēng)力最大。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、如果直角三角形的邊長分別是6、8、x，則X的取值范圍是。2、如圖，DABC的邊BC上的一點，已知AB=13,AD=12,BD=5,AC=BC,貝HBC=。第2題圖第3題圖第5題圖3、如圖，四邊形ABCD中，已知AB:BC:CD:DA=2:2:3：1,且/B=90,則/DAB4、等腰ABC中，一腰上的高為3cm,這條高與底邊的夾角為30。，則Sabc5、如圖，ABC中，/BAC=900,/B=2/C,

29、D點在BC上，AD平分/BAC，若AB=1,貝UBD的長為o=1,貝UBD的長為o6、已知RtABC中，/C=900,AB邊上的中線長為2,且AC+BC=6,7、如圖，=600,等腰梯形ABCD中，AD/BC,腰長為8cm,AC、BD相交于設(shè)E、F分別為CO、AB的中點，貝U點，且/AODADAEOPFEQ中BCAARSOCBPCB第9題圖C.DC、等于c、銳角三角形=12,CD=4D、不能確定AD=。所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方C、D的面積的和是。CD=AE,AD、BE相交于P點908、如圖，點BQ丄AD。9、如圖所示，形的邊長為二、選擇題：1、如圖，已知ABC中，AQ=PQA

30、S=AR:QP/AR:厶D、不能確定AD=3,則/ACB的度數(shù)PR=PS,PR丄AB于R,PS丄AC于S,則三個結(jié)論：BRPQSP中（）C、僅正確D、僅和正確2倍，并且有一個角是30，那么這個D、E是等邊ABC的BC、AC上的點，且已知PE=1,PQ=3，貝U所有的四邊形都是正方形，7cm,則正方形A、B、）B、鈍角三角形AD丄CD,AB=13B、小于900BDC第8題圖A、全部正確B、僅和正確2、如果一個三角形的一條邊的長是另一條邊的長的三角形的形狀是（A、直角三角形3、在四邊形ABCD是（）A、大于900BABC第7題圖EF=o第4題圖第1題圖4、如圖，已知ABC中，/B=900,AB=3

31、,BC=”3,OA=OC=6，則/OAB的度數(shù)為（）A、100三、解答題:150C、200D、2501、閱讀下面的解題過程：已知a、b、cABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2-b4，試判斷厶ABC的形狀。22,224,4_解：acbcab”TOC o 1-5 h z2/2、2、/2、2、/2、2、金c(a-b)=(ab)(a-b),ABC是直角三角形。問：(1)上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號錯誤的原因是；本題的正確結(jié)論是。2、已知ABC中，/BAC=75,/C=60,BC=33，求AB、AC的長。3、如圖，ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE,DG丄CE于G。求

32、證：G是CE的中點；/B=2/BCE。第3題圖4、如圖，某校把一塊形狀近似于直角三角形的廢地開辟為生物園，/ACB=90,BC=6米，/A=36。若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，請你在圖中畫出入口E到C點的最短路線，并求最短路線CE的長(保留整數(shù))；若線段CD是一條水渠，并且D點在邊AB上，已知水渠造價為5元/米，水渠路線應(yīng)如何設(shè)計才能使造價最低？請你畫出水渠路線，并求出最低造價。參考數(shù)據(jù)：sin36=.5878,sin54=.895、已知ABC的兩邊AB、AC的長是方程x2-(2k3)xk23k的兩個實數(shù)根，第三邊BC=5。k為何值時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形；k為何值時，AB

33、C是等腰三角形，求出此時其中一個三角形的面積。參考答案一、填空題:1、1或2、7;2、16.9;3、135；4、3.3cm2;5、3-1；6、5;7、48、7；9、49二、選擇題：BDCB三、解答題：1、(1)；(2)略；(3)直角三角形或等腰三角形2、提示：過A作AD丄BC于D，則AB=3、2,AC=233、提示：連結(jié)ED4、（1）51米；（2）若要水渠造價最低，則水渠應(yīng)與AB垂直，造價2427元。5、（1）2;（2）k=4或3，當(dāng)k=4時，面積為12。角平分線、垂直平分線知識考點：了解角平分線、垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)和定理，并能解決一些實際問題。精典例題：【例題】如圖，已知在厶ABC中，AB

34、=AC,/B=30,AB的垂直平分線EF交AB于點E,交BC于點F,求證：CF=2BF。分析一：要證明CF=2BF,由于BF與CF沒有直接聯(lián)系，聯(lián)想題設(shè)中EF是中垂線，根據(jù)其性質(zhì)可連結(jié)AF，則BF=AF。問題轉(zhuǎn)化為證CF=2AF，又/B=/C=30，這就等價于要證/CAF=90，則根據(jù)含30角的直角三角形的性質(zhì)可得CF=2AF=2BF。分析二：要證明CF=2BF，聯(lián)想/B=300,EF是AB的中垂線，可過點A作AG/EF交FC于G后，得到含300角的RtABG，且EF是RtABG的中位線，因此BG=2BF=2AG，再設(shè)法證明AG=GC,即有BF=FG=GC。例題圖1例題圖2分析三：由等腰三角形

35、聯(lián)想到“三線合一”的性質(zhì)，作AD丄BC于D，則BD=CD,考慮到/B=300,不妨設(shè)EF=1,再用勾股定理計算便可得證。以上三種分析的證明略。例題圖3探索與創(chuàng)新：【問題】請閱讀下面材料，并回答所提出的問題:三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例。如圖，ABC中，AD是角平分線。求證:OBDABDCACBDab分析：要證，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所DCAC在三角形相似，現(xiàn)在B、D、C在同一條直線上，ABD與厶ADC不相似，需要考慮用別BDab的方法換比。我們注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項，

36、DCAC所以考慮過C作CE/AD交BA的延長線于E,從而得到BD、CD、AB的第四比例項AE,BDAB這樣，證明就可以轉(zhuǎn)化為證AE=AC。DCAC證明：過C作CE/AD交BA的延長線于ECE/AD-k1匕2=N3匕/E=/3=AE=AC=/EBDCE/ADDCBDABABAEDCAC上述證明過程中，用了哪些定理(寫出兩個定理即可)；在上述分析、證明過程中，主要用到了三種數(shù)學(xué)思想的哪一種？選出一個填入后面的括號內(nèi)()數(shù)形結(jié)合思想答案：轉(zhuǎn)化思想用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：已知線，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的長。35答案：35cm9評注：本題的目的主要在于考查學(xué)生的閱讀

37、理解能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、如圖，/A=52,O是AB、AC的垂直平分線的交點，那么/2、如圖，已知AB=AC,/A=44,AB的垂直平分線轉(zhuǎn)化思想分類討論思想AD是厶ABC中/BAC的角平分OCB=MN交AC于點D，則/DBC=第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖3、如圖，在ABC中，若BD=8,貝UAC=_4、如圖，在厶ABC中，AB=AC,DE是AB的垂直平分線，貝HAB=。5、如圖，EG、FG分別是/MEF和/NFE的角平分線，交點是G,BP、CP分別是/MBC和/NCB的角平分線，交點是P,F、C在AN上,B、E在AM上，若/G=68,那么/P=C=90,/B=15,AB的中垂線

38、DE交BC于D點，E為垂足,BCE的周長為24,BC=10,NNCPABE填空第5題圖選擇第2題圖選擇第1題圖二、選擇題：如圖，ABC的角平分線A、800B、1、A=60,則/BFC等于(C、120D、140CD、BE相交于點F,且/1000如圖，ABC中，/1=72,73=74，若/D=360,則/C的度數(shù)為（）A、820B、720C、620D、52。某三角形有一個外角平分線平行于三角形的一邊，而這三角形另一邊上的中線分周長為2:3兩部分，若這個三角形的周長為30cm，則此三角形三邊長分別是（A、8cm、8cm、14cmC、8cm、8cm、14cm或12cm、12cm、6cm4、如圖，RtA

39、BC中，7C=900,CD是AB邊上的高，7ACB的平分線，圖中相等的銳角為一組，則共有（A、0組B、2組C、3組D、4組5、如果三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那么這個三角形是（）A、銳角三角形三、解答題：1、如圖,MD。2、3、B、直角三角形RtABC的/A第1題圖B、12cm、12cm、6cm選擇第4題圖C、鈍角三角形的平分線與過斜邊中點M的垂線交于點不能確定求證：MA=第2題圖AB工AC,D、E在BC上，且AE平分/BAC。2、在厶ABC中，點F,DF=AC，求證：3、如圖，在ABC中，/B=22.50,/C=60,DE=EC,過D作DF/BA交AE于AB的垂直平分線交BC于點

40、D,BD=62,AE丄BC于點E,求EC的長。4、如圖，在RtABC中，7ACB=900,AC=BC,D為BC的中點，CE丄AD，垂足為E,BF/AC交CE的延長線于點F,求證AB垂直平分DF。CCB參考答案一、填空題：1、38；2、24;3、4;4、14;5、68二、選擇題：CBCDB三、解答題:1、過A作AN丄BC于N，證/D=ZDAM;2、延長FE到G,使EG=EF,連結(jié)CG,證厶DEFCEG3、連結(jié)AD,DF為AB的垂直平分線，AD=BD=62，/B=ZDAB=22.5alv2小匚ZADE=45,AE=AD=6.2=622又/C=6AE6廠-EC=234、證厶ACDCBF平行四邊形知識

41、考點：理解并掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)精典例題：【例1】已知如圖：在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,點E、F分別在BC和AD邊上，AF=CE,EF和對角線BD相交于點O,求證：點O是BD的中點。分析：構(gòu)造全等三角形或利用平行四邊形的性質(zhì)來證明BO=DO略證：連結(jié)BF、DE例1圖在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC四邊形ABCD是平行四邊形AD/BC,AD=BC又AF=CEFD/BE,FD=BE四邊形BEDF是平行四邊形AHDEF例2圖CBO=DO，即點O是BD的中點?！纠?】已知如圖：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形EFGH

42、是平行四邊形。分析：欲證四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)條件需從邊上著手分析，由E、F、G、H分別是各邊上的中點，可聯(lián)想到三角形的中位線定理，連結(jié)AC后，EF和GH的關(guān)系就明確了，此題也便得證。（證明略）變式1順次連結(jié)矩形四邊中點所得的四邊形是菱形。變式2:順次連結(jié)菱形四邊中點所得的四邊形是矩形。變式3:順次連結(jié)正方形四邊中點所得的四邊形是正方形。變式4:順次連結(jié)等腰梯形四邊中點所得的四邊形是菱形。變式5:若AC=BD,AC丄BD，則四邊形EFGH是正方形。變式6:在四邊形ABCD中，若AB=CD,E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點，求證：EFGH是菱形。孌式6圖孌式7圖變式7:

43、如圖：在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點，ADE和厶BCE都是等邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形PQMN是菱形。探索與創(chuàng)新：【問題】已知如圖，在ABC中，/C=90，點M在BC上，且BM=AC，點N在AC上，且AN=MC,AM和BN相交于P,求/BPM的度數(shù)。分析：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求的卻是角的度數(shù)，為此，我們由條件中的直角及相等的線段，可聯(lián)想到構(gòu)造等腰直角三角形，從而應(yīng)該平移AN。略證：過M作ME/AN，且ME=AN，連結(jié)NE、BE,則四邊形AMEN是平行四邊形，得NE=AM,ME/AN,AC丄BCME丄BCA在厶BEM和厶AMC中，

44、ME=CM，/EMB=ZMCA=90。，BM=ACBEMAMCBE=AM=NE，/1=Z2,Z3=Z4,Z1+Z3=90/2+Z4=90,且BE=NEBEN是等腰直角三角形/BNE=450/AM/NE/BPM=ZBNE=450跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、一個平行四邊形的兩條對角線的長度分別為5和7,則它的一條邊長a的取值范圍2、ABCD的周長是30,AC、BD相交于點O,OAB的周長比厶OBC的周長大3,則AB=。3、已知口ABCD中，4、如圖：在口ABCDBOC的周長為AB=2AD，對角線中,AE丄BD于E,BD丄AD，則/BCD的度數(shù)是/EAD=600,OAE=2,AC+BD=16,則厶EC

45、ABDDAOOEAB5和口E、BDCDCDCEEB11cmABCD)A、DEBFDE=BFD、DE=FE=BFA、2、如圖的是C、DEvBF如圖：口ABCD的對角線30/2=45,OD=22，貝UAC的長為O,且EF丄BC于F,/1AC、BD相交于O,EF過點17cm，則AC的長為（）C、4cmD、3cmF、B在同一條直線上，則下列關(guān)系中正確ED第6、7題圖則AB=。7、如圖所示，口ABCD的周長為30,AE丄BC于點E,AF丄CD于點F,且AE:AF=2:3,/C=120，則平行四邊形ABCD的面積為。二、選擇題：1、若口6、如圖：過口ABCD的頂點B作高BE、BF,已知BF=-BE,BC=

46、16,/EBF=304C第4題圖AM第3題圖ABCD的周長為28,AABC的周長為B、5.5cmEAFC的頂點DA第2題圖BBFC第5題圖EFA第4題圖B于E,則圖中陰影部分的面積與交CMBD的AB邊的中點,）143、如圖，已知M是口ABCDABCD的面積之比是（1A、64、如圖，口ABCD中，BD=CD,/C=70。,00A、20B、255、在給定的條件中，能作出平行四邊形的是（13AE丄BD于E,則/DAE=（C、300）C、_512)350A、B、C、D、以以以以60cm為對角線，20cm、34cm為兩條鄰邊20cm、36cm為對角線，22cm為一條邊6cm為一條對角線，3cm、10cm

47、為兩條鄰邊6cm、10cm為對角線，8cm為一條邊6、如圖，口ABCD中，E、F分別是AD、BC邊上的中點，直線CE交BA的延長線于G點，直線DF交AB的延長線于H點，CG、DH交于點O,若口ABCD的面積為4，則SOGH=()A、3.5C、4.5第6題圖第7題圖E7、在口ABCD中，AB=6,AD=8，/B是銳角，將在厶ABC所在平面內(nèi)的點E處，如果AE過BC的中點ACD沿對角線AC折疊，點D落0,則口ABCD的面積等于()A、48B、106C、12一7242三、解答題：1、如圖，在口ABCD中，=1，連結(jié)DE交AF于點P,求AE丄BC于EP的長。E,AF丄DC于F,ZADC=600,BE=

48、2,CFABCD中，E、第2題圖DG2、在四邊形G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點,且FCBEBFGCAH,=IDGHD如上圖，連結(jié),AE_AHBEHDEH/BD,FG/BD連結(jié)AC，則EF與GH是否當(dāng)k值為時，在的情形下，對角線在的情形下，對角線3、已知，在四邊形ABCD中，從AB/DC:AB=DC:AD/BC:AD=BC;/A=ZC;/B=ZD中取出兩個條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有哪幾種情形？請你具體寫出這些組合。4、如圖，在ABC中，/ACB=900,D、F分別為AC、AB的中點，點E在BC的延長線上，/CDE=ZA。(1)求證：四邊形DECF是平行四邊形；B

49、DFC，BF閱讀下列材料，然后回答下面的問題:GCDG定平行，答：四邊形EFGH是平行四邊形;AC和BD只需滿足AC和BD只需滿足條件時,條件時,EFGHEFGH為矩形;為菱形;(2)若sinA二3，四邊形EBFD的周長為22，求DE的長。5跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題：64廠1、1vaV6;2、9;3、60；4、12;5、8;6、或12.8;7、27.3cm2;5二、選擇題：DBCABCC三、解答題：1、提示：由/B=ZADC=60,BE=2,AE丄BC可得AB=4，再證DF=DCCF=3,二AD=6,EC=BCBE=4=DC,又/BCD=120,ZEDC=30,求得/APE=ZEAP=600

50、,AEP為等邊三角形，EP=AE=23。2、是；任意正數(shù)；BD丄AC;AC=BD3、和；和；和；和；和；和；和；和；和4、(1)證EC/DF,ED/CF;(2)DE=5矩形、菱形知識考點：理解并掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能利用所學(xué)知識解決有關(guān)問題。精典例題：【例1】如圖，已知矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,AE丄BD,垂足為E,/DAE:/BAE=3：1，求/EAC的度數(shù)。分析：本題充分利用矩形對角線把矩形分成四個等腰三角形的基本圖形進行求解。解略，答案450。例1圖例2圖【例2】如圖，已知菱形ABCD的邊長為3,延長AB到點E，使BE=2AB，連結(jié)EC并延長交AD的延長線于點F,求

51、AF的長。分析：本題利用菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線分線段成比例的性質(zhì)定理，可使問題得解。解略，答案AF=4.5?！纠?】如圖，在矩形ABCD中，M是BC上的一動點，DE丄AM，垂足為E,3AB=2BC，并且AB、BC的長是方程x2-(k-2)x-2k=0的兩根。求k的值；當(dāng)點M離開點B多少時，ADE的面積是厶DEM面積的3倍？請說明理由。分析：用韋達定理建立線段AB、AC與一元二次方程系數(shù)的關(guān)系，求出k。略解：（1）由韋達定理可得AB+BC=k2,ABBC=2k，又由BC=AB可消221去AB，得出一個關(guān)于k的一元二次方程3k2_37k2=0，解得k1=12,k2=，因1231AB+BC=k-20

52、,.k2,故k2=應(yīng)舍去。3（2）當(dāng)k=12時，AB+BC=10,ABBC=2k=24,由于ABVBC,所以AB=4,3AEADBC=6，由SAED=3Sm可得AE=3EM=AM。易證AEDMBA得=,占w4MBAM設(shè)AE=3a,AM=4a，則MB=2a2，而AB2+BM2=AM2,故424a4=16a2,解得a22=2,MB=2a=4。即當(dāng)MB=4時，Saed=3SqEM。評注：本題將幾何問題從“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化，這類綜合題既有幾何證明中的分析和推理，又有代數(shù)式的靈活變換、計算，其解題過程層次較多，步驟較復(fù)雜，書寫過程也要加強訓(xùn)練。探索與創(chuàng)新：【問題一】如圖，四邊形ABCD中，AB=,6,B

53、C=5-3,CD=6,且/ABC=1350,/BCD=1200，你知道AD的長嗎?分析：這個四邊形是一個不規(guī)則四邊形，應(yīng)將它補割為規(guī)則四邊形才便于求解。略解：作AE丄CB的延長線于E,DF丄BC的延長線于F，再作AG丄DF于G/ABC=1350,/ABE=450ABE是等腰直角三角形又TAB=$6,AE=BE=3/ZBCD=1200,FCD=60DCF是含300的直角三角形/CD=6,CF=3,DF=3.3EF=3（5-一3）3=8由作圖知四邊形AGFE是矩形AG=EF=8,FG=AE=3從而DG=DFFG=23在厶ADG中，ZAGD=900AD=.AG2DG2=6412=【問題二】把矩形AB

54、CD沿BD折疊至如上圖所示的情形，請你猜想四邊形ABDE是什么圖形，并證明你的猜想。分析與結(jié)論：本題根據(jù)題設(shè)并結(jié)合圖形猜想該四邊形是等腰梯形，利用對稱及全等三角形的有關(guān)知識易證。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1若矩形的對稱中心到兩邊的距離差為4,周長為56,則這個矩形的面積為。2、已知菱形的銳角是600,邊長是20cm，則較短的對角線長是cm。3、如圖，矩形ABCD中，0是對角線的交點，若AE丄BD于E,且0E:OD=1:2,AE=3cm，貝UDE=cm。4、如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點,5、如圖，在菱形ABCD中,PA=3,PD=4,PC=5，貝UPB=/B=ZEAF=60,/BAE=20，則/CE

55、F=二、選擇題：6、在矩形ABCD的各邊則這樣的矩形（）A、僅能作一個B、可以作四個C、一般情況下不可作D、可以作無窮多個7、如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=12cm,P點在AD邊上以每秒1cm的速度從A向D運動，點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從C點出發(fā)，在點同時出發(fā)，待P點到達D點為止，在這段時間內(nèi)，線段AB、BC、CD、DA上分別取點E、F、G、H,使EFGH為矩形,C、PQ有（3CB間往返運動，二）次平行于AB。D、4AEDBCFG第8題圖第7題圖8、如圖，已知矩形紙片ABCD中，AD=9cm,AB=3cm，將其折疊，使點D與點B重合,那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別

56、是（A、4cm、10cmB、D、C、4cm、23cm9、給出下面四個命題：對角線相等的四邊形是矩形；有一個角是直角且對角線互相平分的四邊形是矩形；平方的4倍。其中正確的命題有（）A、B、10、平行四邊形四個內(nèi)角的平分線，A、矩形B、菱形三、解答題：）5cm、.10cm5cm、2.3cm對角線互相垂直的四邊形是菱形；菱形的對角線的平方和等于邊長C、D、如果能圍成一個四邊形，那么這個四邊形一定是（C、正方形D、等腰梯形11、如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點，AF的延長線交DC的延長線于點G,DE丄AG于E,且DE=DC,根據(jù)上述條件，請在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論。C12、如圖

57、，在ABCCD于F,EG丄AB于G,13、如圖，以ABCBCE、ACF。請回答下列問題(不要求證明)：(1)四邊形ADEF是什么四邊形？中，求證：四邊形GECF是菱形。的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個等邊三角形，即ABD、當(dāng)厶ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？當(dāng)厶ABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在?跟蹤訓(xùn)練參考答案一、填空題:1、180;2、20cm;3、3;4、32;5、20提示：4題過點P作矩形任一邊的垂線，利用勾股定理求解；5題連結(jié)人。，證厶ABEACF得AE=AF，從而AEF是等邊三角形。二、DDBBA三、解答題：11、可證DEAABF12、略證：A

58、E平分/BAC,且EG丄AB,EC丄AC,故EG=EC,易得/AEC=ZCEF,/CF=EC,EG=CF,又因EG丄AB,CD丄AB,故EG/CF。四邊形GECF是平行四邊形，又因EG=FG,故GECF是菱形。13、(1)平行四邊形；(2)ZBAC=150；(3)當(dāng)/BAC=60時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在。8.正方形知識考點：理解正方形的性質(zhì)和判定，并能利用它進行有關(guān)的證明和計算。精典例題：【例1】如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且EF/AC,在DA的延長線上取一點G,使AG=AD,EG與DF相交于點H。求證：AH=AD。分析：因為A是DG的中點，故在DGH

59、中，若AH=AD，當(dāng)且僅當(dāng)DGH為直角三角形，所以只須證明厶DGH為直角三角形(證明略)。評注：正方形除了具備平行四邊形的一般性質(zhì)外，還特別注意其直角的條件。本例中直角三角形的中線性質(zhì)使本題證明簡單。【例2】如圖，在正方形ABCD中，P、求證：PB+DQ=PQ。分析：利用正方形的性質(zhì)，通過構(gòu)造全等三角形來證明。變式：若條件改為探索與創(chuàng)新：PQ=PB+DQ，那么/PAQ=?你還能得到哪些結(jié)論?OGCBF問題一圖2【問題一】如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,E是AC上一點,過A作AG丄EB于G,AG交BD于點F,貝UOE=OF,對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG丄EB,交

60、EB的延長線于點G,AG的延長線交DB的延長線于點F,其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。分析：對于圖1通過全等三角形證明OE=OF，這種證法是否能應(yīng)用到圖2的情境中去，從而作出正確的判斷。結(jié)論：(2)的結(jié)論“OE=OF”仍然成立。提示：只須證明厶AOFBOE即可。評注：本題以正方形為背景，突破了單純的計算與證明，著重考查了學(xué)生觀察、分析、判斷等多種能力?！締栴}二】操作，將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑行，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與射線DC相交于點Q。探究：設(shè)A、P兩點間的距離為X。當(dāng)點Q在