高中數(shù)學選修第一冊：1.1 空間向量及其運算（精煉）（解析版）

1、空間向量及其運算（精煉）【題組一 概念的辨析】1（2020遼寧沈陽.高二期末）在下列結論中：若向量共線，則向量所在的直線平行；若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；若三個向量兩兩共面，則向量共面；已知空間的三個向量，則對于空間的任意一個向量總存在實數(shù)x，y，z使得.其中正確結論的個數(shù)是()A0B1C2D3【答案】A【解析】平行向量就是共線向量，它們的方向相同或相反，未必在同一條直線上，故錯兩條異面直線的方向向量可通過平移使得它們在同一平面內(nèi)，故錯，三個向量兩兩共面，這三個向量未必共面，如三棱錐中，兩兩共面，但它們不是共面向量，故錯根據(jù)空間向量基本定理，需不共面，故錯綜上，選A2（201

2、9全國高二）下列說法中正確的是（）A若，則，的長度相等，方向相同或相反B若向量是向量的相反向量，則C空間向量的減法滿足結合律D在四邊形中，一定有【答案】B【解析】對于A,向量的模相等指的是向量的長度相等,方向具有不確定性,因而不一定方向相同或相反,所以A錯誤.對于B,相反向量指的是大小相等,方向相反的兩個向量.因而相反向量滿足模長相等,所以B正確.對于C,減法結合律指的是,因而由運算可得空間向量減法不滿足結合律.所以C錯誤.對于D滿足的一定是平行四邊形,一般四邊形是不滿足的,因而D錯誤.綜上可知,正確的為B，故選:B3（2020陜西新城.西安中學高二期末（理）給出下列命題：若空間向量滿足，則；

3、空間任意兩個單位向量必相等；對于非零向量，由，則；在向量的數(shù)量積運算中.其中假命題的個數(shù)是（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】對于，空間向量的方向不一定相同，即不一定成立，故錯誤；對于，單位向量的方向不一定相同，故錯誤；對于，取，滿足，且，但是，故錯誤；對于，因為和都是常數(shù)，所以和表示兩個向量，若和方向不同則和不相等，故錯誤.故選：D.4（2019長寧.上海市延安中學高二期中）給出以下結論：空間任意兩個共起點的向量是共面的；兩個相等向量就是相等長度的兩條有向線段表示的向量；空間向量的加法滿足結合律：； 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量.請將正確的說法題號

4、填在橫線上：_.【答案】【解析】中，兩個向量共起點，與兩向量終點共有個點，則點共面，可知兩向量共面，正確；中，兩個相等向量需大小相等，方向相同，錯誤；中，空間向量加法滿足結合律，正確；中，由向量加法的三角形法則可知正確.故答案為：【題組二 空間向量的線性運算】1（2020遼寧沈陽.高二期末）如圖，在正方體中，點分別是面對角線A1B與B1D1的中點,若=a,=b,=c,則=（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)向量的線性運算 所以選D2（2020全國高二）在四面體中，點在上，且，為中點，則等于（ ）A BC D【答案】B【解析】.故選：B3（2020山東章丘四中高二月考）如圖所示，在空間四邊形中，

5、點在上，且為中點，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由向量的加法和減法運算：.故選：B4（2020山東德州.高二期末）如圖，平行六面體中，與的交點為，設，則下列選項中與向量相等的是（ ）ABCD【答案】B【解析】如圖所示，故選：5（2020陜西王益.高二期末（理）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，M，N分別是邊BC，BD，CD的中點，DE，MN交于F點，則（ ）ABCD【答案】B【解析】是邊的中點，；故選：6（2019江蘇省蘇州實驗中學高二月考）平行六面體中，則實數(shù)x，y，z的值分別為( )ABCD【答案】C【解析】,.故選:C.7（2020湖北黃石.高二期末）如圖，已知空間四邊形，其對角線為

6、，分別是對邊的中點，點在線段上，現(xiàn)用基向量表示向量，設，則的值分別是（ ）ABCD【答案】D【解析】，故選：8（2020全國高二課時練習）在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：()1；()；()；().其中運算的結果為的有_個.【答案】4【解析】根據(jù)空間向量的加法運算以及正方體的性質(zhì)逐一進行判斷：()；()；()；().所以4個式子的運算結果都是.故答案為：4.9（2020江蘇省如東高級中學高一月考）在四面體中，、分別是、的中點，若記，則_.【答案】【解析】在四面體中，、分別是、的中點，則.故答案為：.10（2020全國高二課時練習）已知正方體ABCDA1B1C1D1中，若點F是側

7、面CD1的中心，且則m，n的值分別為()A，B，C，D，【答案】A【解析】由于，所以.故選：A【題組三 空間向量的共面問題】1（2020漣水縣第一中學高二月考）是空間四點，有以下條件：； ； ，能使四點一定共面的條件是_【答案】【解析】對于，由空間向量共面定理可知四點一定共面，不滿足共面定理的條件.故答案為：2（2019江蘇海安高級中學高二期中（理）設空間任意一點和不共線三點，且點滿足向量關系，若四點共面，則_【答案】【解析】因為四點共面，三點不共線，所以因為，因為是任意一點，故可不共面，所以，故.故答案為：13（2020全國高二課時練習）對于空間任意一點和不共線的三點，有如下關系：，則（ ）

8、A四點，必共面B四點，必共面C四點，必共面D五點，必共面【答案】B【解析】因為，所以，即，根據(jù)共面向量基本定理，可得，共面，所以，四點共面故選：B4（2020寧陽縣第四中學高二期末）對于空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，有如下關系：，則（ ）A四點O，A，B，C必共面 B四點P，A，B，C必共面C四點O，P，B，C必共面 D五點O，P，A，B，C必共面【答案】B【解析】由已知得，而，四點、共面故選：5（2020四川閬中中學高二月考（理）為空間任意一點,三點不共線,若=,則四點（ ）A一定不共面B不一定共面C一定共面D無法判斷【答案】C【解析】因為=，且，所以四點共面.6（2019建甌市第

9、二中學高二月考）已知、三點不共線，對平面外的任一點，下列條件中能確定點與點、一定共面的是（ ）ABCD【答案】B【解析】若，故可得即，則，故整理得又因為共面，故可得共面，而其它選項不符合，即可得四點共面.故選：B.7（2020西夏.寧夏育才中學高二期末（理）已知為空間任意一點，若，則四點（ ）A一定不共面B一定共面C不一定共面D無法判斷【答案】B【解析】由若 ，當且僅當 時， 四點共面 ，而 故 四點共面，故選B【題組四 空間向量的數(shù)量積】1（2020山東新泰市第一中學高一期中）如圖，平行六面體中，則（ ）ABCD【答案】D【解析】，,.故選：D2（2020四川遂寧.高三三模（理）如圖，平行六

10、面體中，則的長為_【答案】【解析】平行六面體中， ，故答案為：3（2020全國高二課時練習）如圖，分別是四面體的棱的中點，是的三等分點（1）用向量 ，表示和（2）若四面體的所有棱長都等于1，求的值【答案】（1）,（2）.【解析】（1），（2）四面體的所有棱長都等于1，各面為等邊三角形, ，4.（2020全國高二課時練習）如圖，三棱柱中，底面邊長和側棱長都等于1，（1）設，用向量，表示，并求出的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1），又，同理可得， 則（2）因為，所以，因為，所以則異面直線與所成角的余弦值為5（2020全國高二課時練習）如圖，三棱柱中，底

11、面邊長和側棱長都相等，則異面直線與所成角的余弦值為_【答案】【解析】三棱柱中，底面邊長和側棱長都相等，設棱長為1，則，.又，所以而，所以.故答案為：.6.如圖3122所示，在空間四邊形OABC中，OA，OB，OC兩兩成60角，且OAOBOC2，E為OA的中點，F(xiàn)為BC的中點，試求E，F(xiàn)間的距離圖3122【答案】eq r(2)【解析】eq o(EF,sup7()eq o(EA,sup7()eq o(AF,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(1,2)(eq o(AB,sup7()eq o(AC,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(1,

12、2)(eq o(OB,sup7()eq o(OA,sup7()(eq o(OC,sup7()eq o(OA,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(1,2)eq o(OB,sup7()eq f(1,2)eq o(OC,sup7()，所以eq o(EF2,sup7()eq f(1,4)eq o(OA,sup7()2eq f(1,4)eq o(OB,sup7()2eq f(1,4)eq o(OC,sup7()22eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()2eq blc(rc)(avs4

13、alco1(f(1,2)eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq o(OC,sup7()2eq f(1,2)eq f(1,2)eq o(OB,sup7()eq o(OC,sup7()2.|eq o(EF,sup7()|eq r(2)，即E，F(xiàn)間的距離為eq r(2).7.如圖，已知線段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D與A在的同側，若ABBCCD2，求A，D兩點間的距離【答案】2eq r(2)【解析】eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()，|eq o(AD,sup6()|2(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2|eq o