微積分08 微分方程

1、第一節(jié) 微分方程的基本概念一、引例二、微分方程的一般概念例1 一曲線通過(guò)點(diǎn) (1,2),且該曲線上任意點(diǎn)P(x,y)處的切線斜率等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)平方的3倍,求此曲線的方程. 一、引例解例2 設(shè)有一質(zhì)量為m的物體，從空中某處，不計(jì)空氣阻力而只受重力作用由靜止?fàn)顟B(tài)自由降落.試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(即物體在自由降落過(guò)程中，所經(jīng)過(guò)的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系).解 二、微分方程的一般概念1.微分方程及微分方程的階含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程；未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程;未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程；(1)和(5)式均是微分方程. 微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最

2、高階數(shù)，稱為微分方程的階.微分方程(1)是一階的，微分方程(5)是二階的. 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解.2.微分方程的解、通解與特解不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解. 如果微分方程的解中含任意常數(shù),且獨(dú)立的(即不可合并而使個(gè)數(shù)減少的)任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解.3.微分方程的初值條件及其提法 用以確定微分方程解中任意常數(shù)的特定條件，稱為微分方程的初值條件.初值條件的提法： 微分方程的解的圖形稱為微分方程的積分曲線.通解的圖形是一族積分曲線，稱為微分方程的積分曲線族.微分方程的某個(gè)特解的圖形就是積分曲線族中滿足給定初值條件的某一特定的積分曲線

3、.4.微分方程的解的幾何意義例3解第二節(jié)一階微分方程與可降階的 高階微分方程二、齊次型微分方程一、可分離變量的微分方程三、一階線性微分方程四、可降階的高階微分方程如果能解出 ，那么如果一階微分方程(2)的右端則方程(2)可以表示為一、可分離變量的微分方程的形式，則稱此一階微分方程為變量可分離的微分方程.例1解例2解例3解二、齊次型微分方程形如 求解這類方程的方法是：利用適當(dāng)?shù)淖儞Q，化成可分離變量的微分方程.設(shè)則故有的一階微分方程 稱為齊次微分方程.將（2）代入（1）得即分離變量，得兩端積分便可求出通解， 再以代入便可求出原方程的通解.例4 求微分方程的通解.解令代入方程得或分離變量，得 或再把

4、回代，即得原方程的通解為兩端積分，得例5 求下列微分方程的通解解原方程可變形為 令代入方程得分離變量得兩端積分得 即故即得原方程的通解為再把回代形如的方程稱為一階線性微分方程，其中P(x)，Q(x)是連續(xù)函數(shù)，且方程關(guān)于y及 是一次的，Q(x)是自由項(xiàng).為一階線性非齊次方程三、階線性微分方程例如，方程是一階線性微分方程；而右端 ，因此它是一階線性非齊次方程.它對(duì)應(yīng)的齊次方程就是為一階線性齊次方程.一階線性非齊次微分方程的求解步驟如下:1.先求的通解：分離變量后得而方程等，都不是線性方程.2.利用“常數(shù)變易法”求線性非齊次方程(1)的通解：設(shè)是方程(1)的解，其中C(x)為待定常數(shù),將(4)式求

5、其對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，得化簡(jiǎn)后，方程(2)的通解為其中C為任意常數(shù).化簡(jiǎn)后，得將上式積分，得其中C為任意常數(shù).把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解為代入方程(1)中，得這是一階線性非齊次微分方程.例1 通過(guò)把對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線性非齊次方程的通解，這種方法稱為常數(shù)變易法.故得原線性非齊次微分方程的通解為解法2 直接用通解公式(6).代入公式(6),得所求線性非齊次方程的通解為代入公式(6),得所求線性非齊次方程的通解為例2解代入公式(6),得所求線性非齊次方程的通解為例3解對(duì)于未知函數(shù)x(y為自變量)來(lái)說(shuō)，所給方程就是一階線性非齊次方程，對(duì)未知函數(shù)x

6、的一階線性非齊次方程例4對(duì)于未知函數(shù)y，它不是線性方程，但是方程可改寫為解的通解公式為方程(7)中， 代入(9)式，即得所求上述方程的通解為（一）y(n)=f(x)型的微分方程方程可改寫為再積分一次，得依次積分n次，得方程(1)的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.四、可降階的高階微分方程例1解這是關(guān)于變量x和p的一階微分方程，若能求出其通解，設(shè)為 ，即有微分方程代入方程(2)，得兩端積分，得方程(2)的通解這是一階線性非齊次方程，利用通解公式，可得例2解于是有再積分一次，得原方程的通解為這是可分離變量的一階微分方程，分離變量得例3解這是一階微分方程，積分一次，得所求特解為第三節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程一

7、、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法三、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法的方程，稱為二階線性微分方程.當(dāng) 時(shí)，方程(1)成為稱為二階線性齊次微分方程，當(dāng) 時(shí)，方程(1)稱為二階線性非齊次微分方程./形如 當(dāng)系數(shù)P(x)、Q(x)分別為常數(shù)p、q時(shí)，則稱方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，稱方程一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理 設(shè)y1(x)， y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個(gè)解，則 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常數(shù).(一)二階常系數(shù)線性齊次微分方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)證/為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程. 這個(gè)定理表明，二階線性齊次微分方程任

8、何兩個(gè)解y1(x)， y2(x)的線性組合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？例1 對(duì)于二階常系數(shù)線性齊次微分方程容易驗(yàn)證： 都是它的解.由定理11.1 知也是它的解.但這個(gè)解中只含有一個(gè)任意常數(shù)C，顯然它不是所給方程的通解.問(wèn)題：方程(3)的兩個(gè)特解y1(x)， y2(x)滿足什么條件時(shí)，才是方程(3)的通解？ 由例1分析可知，如果方程(3)的兩個(gè)特解y1(x)， y2(x)之間不是常數(shù)倍的關(guān)系，那么它們線性組合得到的解就必定是方程(3)的通解.定義 設(shè)y1(x) 與y2(x)是定義在某區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，如果存在不為零的常數(shù)k (或存在不全為零的常數(shù)k1 , k2)，使得對(duì)于

9、該區(qū)間內(nèi)的一切x ，有成立，則稱函數(shù)y1(x) 與y2(x) 在該區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱y1(x) 與y2(x) 線性無(wú)關(guān).定理 如果函數(shù)y1(x) 與y2(x)是二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則就是方程(3)的通解.例2所給方程為二階常系數(shù)線性齊次微分方程解二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的一般形式它所對(duì)應(yīng)的齊次方程為(二) 二階常系數(shù)線性非齊次微分 方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)定理 設(shè) 是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程(1)的一個(gè)特解， 是方程(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的通解，則是方程(1)的通解.齊次方程(2)的通解，所以有證例1解定理 設(shè)的特解，則 是微分方程的特解，其中

10、p，q是常數(shù).分別是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程證二、二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法把 代入方程(3)，整理后得稱一元二次方程(5)為二階常系數(shù)線性齊次微分方程(3)的特征方程.是方程(3)的解，特征方程(5)的根為于是都是方程(3)的解，且即 線性無(wú)關(guān).因此方程(3)的通解為于是得到方程(3)的一個(gè)特解 ，須找出方程(3)的另一個(gè)特解y2，且取u=x，于是得方程(3)的另一個(gè)特解線性無(wú)關(guān)，方程(3)的通解為是方程(3)的復(fù)數(shù)形式特解.利用歐拉公式再由定理11.1可知，函數(shù)也是方程(3)的解，且即 線性無(wú)關(guān)，故得微分方程(3)的通解為求二階常系數(shù)齊次線性微分方程(3)的通解步驟：1.寫出特征

11、方程，并求出特征方程的兩個(gè)根；2 .根據(jù)兩個(gè)特征根的不同情況，按照公式(6)、(7)或(8)寫出微分方程的通解.可使用下表:兩個(gè)不相等的實(shí)根特征方程:微分方程:兩個(gè)相等的實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根的兩個(gè)根r1,r2的通解例3 求微分方程 解 其特征方程為即 (r+1)(r3)=0,例4解例5解三、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法1. ，其中 是常數(shù)， 是x的一個(gè)m次多項(xiàng)式此時(shí)微分方程(1)成為可設(shè)方程(4)的特解為分三種情形討論此式：(1)設(shè) 不是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的特征方程的 根，即 .設(shè)方程(4)的一個(gè)特解為 將 代入方程(4)，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，得到含有未知系數(shù) 的(m+

12、1)個(gè)方程，由此定出(m+1)個(gè)未知系數(shù) ，從而得到方程(4)的特解 . (2)設(shè) 是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的特征方程的 單根，即 .設(shè)方程(4)的一個(gè)特解為將 代入方程(4)，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，定出(m+1)個(gè)未知系數(shù) 得到方程(4)的特解 . (3)設(shè) 是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的特征方程的重根，即 .設(shè)方程(4)的一個(gè)特解為將 代入方程(4)，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，定出(m+1)個(gè)未知系數(shù) ,得到方程(4)的特解 . 小結(jié)：對(duì)于二階常系數(shù)線性非齊次微分方程(4)設(shè)方程(4)的特解為Qm是與Pm同次的多項(xiàng)式，即k的取法為(1)當(dāng) 不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根時(shí)

13、，取k=0,(3)當(dāng) 是對(duì)應(yīng)齊次方程的重特征根時(shí)，取k=2.(2)當(dāng) 是對(duì)應(yīng)齊次方程的單特征根時(shí)，取k=1,例2 求微分方程解，故得對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為解而 是特征方程的重根，取k=2.因此，設(shè)例3(1)先求所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解Y.(2)再求所給方程的一個(gè)特解y*.解例4此時(shí)，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程(1)成為方程(6)有如下形式的特解其中a，b為待定系數(shù)，k的取法如下： 例5解原方程的一個(gè)特解為(2)再求所給方程的一個(gè)特解y*.(1)先求所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解Y.例6解例7解二、二階微分方程的應(yīng)用 一、一階微分方程的應(yīng)用第四節(jié) 微分方程的應(yīng)用例1解 一、一階微分方程的應(yīng)用舉例例2解例3 把