實變函數(shù)與泛函分析第三章測度論分析課件

1、第一節(jié) 外測度 I.知識銜接（先整體把握）第三章 測度論I. 知識銜接（先整體把握）II.引言其中積分與分割、介點集的取法無關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1 xi1.(1) Riemann積分回顧（分割定義域）(2.)新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1用 mEi 表示 Ei 的“長度”問題：如何把長度,面積,體積概念推廣? 2.”內(nèi)填外包”法（1.）圓的面積內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接外切外切正n邊形的面積（外包）（2.）達(dá)布上和與下和 Riemann積分xi-1 xi達(dá)布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1 xi達(dá)布上和的極限上積分（外包）II

2、I. Lebesgue外測度(外包)為E的Lebesgue外測度。定義： ，稱非負(fù)廣義實數(shù)與Jordan外測度比較： 下確界：即：用一開區(qū)間列 “近似”替換集合EIII. 2.例與思考：例1. 設(shè)E是0,1中的全體有理數(shù)，試證明E的外測度為0 證明：由于E為可數(shù)集，再由的任意性知( ) 2.平面上的x軸的外測度為0思考： . 設(shè)E是平面上的有理點全體，則E的外測度為0思考：3.我們知道有理數(shù)與無理數(shù)在0,1上都稠密，問證明中的開區(qū)間列是否覆蓋了區(qū)間0,1由無理數(shù)集在0,1上稠密可知上面敘述的錯誤出在取，因為i的取定依賴于( ) IV. Lebesgue外測度的性質(zhì)(b)的證明:能覆蓋B的開區(qū)間

3、列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開區(qū)間列比能覆蓋A的開區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界反而大。（b）單調(diào)性：（a）非負(fù)性： ， 當(dāng)E為空集時，（C）次可數(shù)可加性證明：對任意的0,由外測度的定義知，對每個An都有一列開區(qū)間（即用一開區(qū)間I nm列近似替換An）注：一般證明都是從大的一邊開始，因為外測度的定義用的是下確界由的任意性，即得注1：外測度的次可數(shù)可加性的等號即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可測集），但有:當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時候，區(qū)間Ii不可能同時含有A，B中的點從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點，一部分含有B中的點。若d(A,B) 0,則例3.證明參見教材p-56思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測度某種程度是區(qū)間長度概念的推廣對任意區(qū)間 ，有例4.：Cantor集的外測度為