高中數(shù)學古典概型

1、3.2.1 古典概型 我們首先引入的計算概率的數(shù)學模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對象，通常稱為古典概型一、古典概型 假定某個試驗有有限個可能的結(jié)果 假定從該試驗的條件及實施方法上去分析，我們找不到任何理由認為其中某一結(jié)果例如ei，比任一其它結(jié)果，例如ej,更有優(yōu)勢，則我們只好認為所有結(jié)果在試驗中有同等可能的出現(xiàn)機會，即1/N的出現(xiàn)機會.e1, e2, ，eN ,常常把這樣的試驗結(jié)果稱為“等可能的”.e1, e2, ，eN 試驗結(jié)果你認為哪個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？23479108615 例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球. 將球編號為110 .把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取

2、一球. 因為抽取時這些球是完全平等的，我們沒有理由認為10個球中的某一個會比另一個更容易取得 . 也就是說，10個球中的任一個被取出的機會是相等的，均為1/10. 1324567891010個球中的任一個被取出的機會都是1/1023479108615 我們用 i 表示取到 i號球， i =1,2,10 . 稱這樣一類隨機試驗為古典概型.34791086152且每個基本事件(或者說所有可能結(jié)果)出現(xiàn)的可能性相同 .S=1,2,10 ,則該試驗的所有可能結(jié)果如i =2 稱這種試驗為有窮等可能隨機試驗 或古典概型.定義1 若隨機試驗滿足下述兩個條件： (1) 它的所有可能結(jié)果只有有限多個基本事件；

3、(2) 每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同.二、古典概型中事件概率的計算記 A=摸到2號球 P(A)=? P(A)=1/10記 B=摸到紅球 P(B)=? P(B)=6/10 223479108615132456這里實際上是從“比例” 轉(zhuǎn)化為“概率”記 B=摸到紅球 P(B)=6/10靜態(tài)動態(tài) 當我們要求“摸到紅球”的概率時，只要找出它在靜態(tài)時相應(yīng)的比例.23479108615這樣就把求概率問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題 .定義2 設(shè)試驗E是古典概型, 其所有可能結(jié)果S由n個基本事件組成 , 事件A由k個基本事件組成 . 則定義事件A的概率為：稱此概率為古典概率. 這種確定概率的方法稱為古典方法 . A包含的基

4、本事件數(shù) P(A)k/n S中的基本事件總數(shù)排列組合是計算古典概率的重要工具 .提問：1、怎樣的一類隨機試驗稱為古典概型？2、如何計算古典概型中事件的概率？ 為什么這樣計算？三、古典概率計算舉例例1 把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個英文單詞：CISNCEE問：在多大程度上認為這樣的結(jié)果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術(shù)？拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為： 這個概率很小，這里算出的概率有如下的實際意義：如果多次重復(fù)這一抽卡試驗，則我們所關(guān)

5、心的事件在1260次試驗中大約出現(xiàn)1次 .解：七個字母的排列總數(shù)為7！ 這樣小概率的事件在一次抽卡的試驗中就發(fā)生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術(shù). 具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術(shù).解：=0.3024允許重復(fù)的排列問：錯在何處？例2 某城市的電話號碼由5個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由五個不同數(shù)字組成的概率.計算所有可能結(jié)果基本事件總數(shù)和所求事件所含基本事件數(shù)計數(shù)方法不同.從10個不同數(shù)字中取5個的排列例3 設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種無放回抽樣.解：令B=恰有k件次品P(B)=？次品正品

6、M件次品N-M件正品解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法總數(shù)為而出現(xiàn)事件A的分法數(shù)為n!,故例4 n雙相異的鞋共2n只，隨機地分成n堆，每堆2只 . 問:“各堆都自成一雙鞋”(事件A)的概率是多少？ “等可能性”是一種假設(shè)，在實際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)實際情況去判斷是否可以認為各所有可能結(jié)果或基本事件是等可能的.在實際應(yīng)用中，往往只能“近似地”出現(xiàn)等可能，“完全地”等可能是很難見到的1、在應(yīng)用古典概型時必須注意“等可能性”的條件.需要注意的是： 在許多場合，由對稱性和均衡性，我們就可以認為所有可能結(jié)果是等可能的并在此基礎(chǔ)上計算事件的概率.例1:擲兩顆均勻骰子，求出現(xiàn)點數(shù)之和是8的概率答案：P=

7、5/36 解: 擲一顆骰子，有6個等可能的結(jié)果，擲兩顆骰子，有66=36個等可能結(jié)果，設(shè)X為第一顆骰子擲出的點數(shù)，Y為第二顆骰子擲出的點數(shù)A=X+Y=8,只有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）評分賭金問題 有一天，德梅爾和賭友保羅賭錢，他們事先每人拿出6枚金幣作為賭金，用扔硬幣的方式進行賭博，一局中若擲出正面，則德梅爾勝，否則保羅勝約定誰先勝三局誰就得到所有的12枚金幣已知他們在每局中取勝的可能性是相同的比賽開始后，保羅勝了一局，德梅爾勝了兩局這時一件意外的事情中斷了他們的賭博，后來他們也不想再賭了，于是一起商量如何分12枚金幣你知道怎樣分嗎？至多再賽兩局就可以比出兩局

8、就可比出結(jié)果2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏.例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？ 下面的算法錯在哪里？錯在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.97321456810從5雙中取1雙，從剩下的 8只中取2只例如：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？ 正確的答案是：請思考：還有其它解法嗎？2、在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復(fù)計數(shù)，也不要遺漏.“分球入箱”問題 設(shè)有n個球，每個都以相同的概率1/N(Nn)落入N個箱子中的每一個中根據(jù)以下條件，分別求

9、事件A=某預(yù)先指定的n個箱子中各有一球的概率p.條件：1.球編號，每個箱子容納的球數(shù)不限2.球編號，每個箱子只容納一個球3.球不編號，每個箱子只容納一個球4.球不編號，每個箱子容納的球數(shù)不限以n=3,N=4為例計算“分球入箱”問題1.球編號，每個箱子容納的球數(shù)不限 因為每個箱子容納的球數(shù)不限，所以這是一個可重復(fù)的排列問題“分球入箱”問題2.球編號，每個箱子只容納一個球這是一個選排列問題“分球入箱”問題3.球不編號，每個箱子只容納一個球這是一個組合問題“分球入箱”問題4.球不編號，每個箱子容納的球數(shù)不限總情況數(shù)為： 按占位法作，共有位置4+1+3-2=6（兩端不算）個，三個球在4個箱子中的一種分

10、布就對應(yīng)于三個球在這6個位置上的一種占位法，共有3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型： 有n個人，每個人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在 N 間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型： 有n個人，設(shè)每個人的生日是任一天的概率為1/365. 求這n (n 365)個人的生日互不相同的概率.人任一天3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型： 有n個旅客，乘火車途經(jīng)N個車站，設(shè)每個人在每站下車的概率為1/ N(N n) ，求指定的n個站各有一人下車的概率.旅客車站3、許多表面上提法不同的問題實質(zhì)上屬于同一類型： 某城市每

11、周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同. 求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率.車禍天你還可以舉出其它例子，留作課下練習. 我們介紹了古典概型. 古典概型雖然比較簡單，但它有多方面的應(yīng)用.是常見的幾種模型 .箱中摸球分球入箱隨機取數(shù)分組分配 早在概率論發(fā)展初期，人們就認識到，只考慮有限個等可能基本事件的古典方法是不夠的. 把等可能推廣到無限個基本事件場合,人們引入了幾何概型. 由此形成了確定概率的另一方法幾何方法.幾何方法的要點是：1、設(shè)所有可能結(jié)果S是平面上某個區(qū)域，它的面積記為(S);2、向區(qū)域S上隨機投擲一點，這里“隨機投擲一點”的含義是指該點落入S 內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān).3、設(shè)事件A是S的某個區(qū)域，它的面積為 (A)，