量子力學復習提綱

1、量子力學復習提綱一、基本假設(shè)1、（1）微觀粒子狀態(tài)的描述（2）波函數(shù)具有什么樣的特性（3）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋2、態(tài)疊加原理（說明了經(jīng)典和量子的區(qū)別）3、波函數(shù)隨時間變化所滿足的方程薛定諤方程4、量子力學中力學量與算符之間的關(guān)系5、自旋的基本假設(shè)二、三個實驗1、康普頓散射（證明了光子具有粒子性）第一章2、戴維遜-革末實驗（證明了電子具有波動性）第三章3、史特恩-蓋拉赫實驗（證明了電子自旋）第七章三、證明1、粒子處于定態(tài)時幾率、幾率流密度為什么不隨時間變化；2、厄密算符的本征值為實數(shù)；3、力學量算符的本征函數(shù)在非簡并情況下正交；4、力學量算符的本征函數(shù)組成完全系；5、量子力學測不準關(guān)系的證明；6、常

2、見力學量算符之間對易的證明；7、泡利算符的形成。四、表象算符在其自身的表象中的矩陣是對角矩陣。五、計算1、力學量、平均值、幾率；2、會解簡單的薛定諤方程。第一章緒論1、德布洛意假設(shè)：德布洛意關(guān)系：戴維孫-革末電子衍射實驗的結(jié)果：2、德布洛意平面波：寸=Ae削p*Et）WIp3、光的波動性和粒子性的實驗證據(jù)：4、光電效應：5、康普頓散射：附：（1）康普頓散射證明了光具有粒子性（2）戴維遜-革末實驗證明了電子具有波動性（3）史特恩-蓋拉赫實驗證明了電子自旋第二章波函數(shù)和薛定諤方程量子力學中用波函數(shù)描寫微觀體系的狀態(tài)。波函數(shù)統(tǒng)計解釋：若粒子的狀態(tài)用W）描寫，W *W dT = lv I2dT表示在t

3、時刻，空間r處體積元&內(nèi)找到粒子的幾率（設(shè)*是歸一化的）。態(tài)疊加原理：W = c W設(shè)W1，W2，A* n A是體系的可能狀態(tài)，那么，這些態(tài)的線性疊加 n n也是體系的一個可能狀態(tài)。也可以說，當體系處于態(tài)*n時，體系部分地處于態(tài)W1，W2，A W n 中。n任何一個波函數(shù)W，t）都可以看做是各種不同動量的平面波的迭加。波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律由薛定諤方程給出： TOC o 1-5 h z .d*甲句i = - V2* + V （r, t ）Wdt2旦當勢場V （冏不顯含時間時，其解是定態(tài)解W n （ r，t ） =W n （冏） f ，W n （冏滿足定態(tài)薛定諤方程 HW n= E* n其中H

4、=-蟲V 2 + V （習t）L 2H_注：定態(tài)薛定諤方程即能量算符的本征方程。 波函數(shù)的歸一化條件：j I* |2dT =1 （對整個空間積分）（全）相對幾率分布：波函數(shù)常數(shù)因子不定性；*（冏c*（乃波函數(shù)相位因子不定性：波函數(shù)的標準條件：波函數(shù)一般應滿足三個基本條件：連續(xù)性，有限性，單值性。 i n （）祁 一 a 八 幾率流密j = 2V* * -* *V* J度與幾率密度P=*叩滿足連續(xù)性方程 矛+ V j =定態(tài)所需的條件：一維無限深方勢阱0，0 x a若V=n -IX3， x ai2 . n冗xJ sin本征值Enn T，2，3 , A 本征函數(shù) W n= j Y a a1，（2）

5、若 y = 0， a則本征值 E =絲墮n8旦 a 2自由粒子波函數(shù)（推導過程）11 n / .、I sin (x + a),本征函數(shù)W n= p1 a2a0，n = 1,2,3,.| x | ar i)12-維諧振子 y =嚴2 x2本征值 En= n J，n = 0,1,2 , , 以,呻本征函數(shù) n= Nne 一心2 Hn廣頃、.，以=f13、可以用分離變量法求解得到（在笛卡爾坐標中）三維各向同性諧振子的能級和波函數(shù)。能級 r 3)E = n + n + n + rp nxnynz I x y Z 2)n , n , n = 0,1,2,A=N N N e-22 2H (a x) H (

6、anx ny nznxny第三章量子力學中的力學量1.量子力學中的力學量用線性厄米算符表示，并且要求該算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。厄米算符A的定義:Jw *Adr = J( Aw )*9dr此為坐標表像中的表示式厄米算符的本征值是實數(shù)。厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)一定正交。 附：力學量算符的本征函數(shù)系滿足正交、歸一、完備、封閉等條件。力學量的測量值：在力學量F的本征態(tài)中測量F,有確定值，即它的本征值；在非F的本征態(tài)中測量F，可能值是F的本征值。將3）用算符F的正交歸一的本征函數(shù)展開:巾(x) = c V (x) + j c人W人(x)dxn則在（X）態(tài)中測量力學量F得到結(jié)果為為n的幾率為I

7、 CF得到結(jié)果在人小 + d范圍內(nèi)的幾率為CJW。Fw =Xwf n n n=jw * (x) (x)dx ,nFW以W入入c = jw * (x) (x )dx入入力學量的平均值是F = j * (x)F(x)dxF = Ex Inn|2 + jX|c |2dX附：本書中五個基本原理（1）量子力學中態(tài)的表示波函數(shù)WJ）（2）態(tài)疊加原理：（3）定態(tài)薛定諤方程：（4）力學量與算符的關(guān)系：（5）自旋:連續(xù)譜的本征函數(shù)可以歸一化為&函數(shù)。簡并：屬于算符的某一個本征值的線性無關(guān)的本征函數(shù)有若干個，這種現(xiàn)象稱為簡并。簡并度：F算符的屬于本征值Xn的線性無關(guān)的本征函數(shù)有f個，我們稱F的第n個本征值Xn是f

8、度 簡并。w動量算符P的本征函數(shù)（即自由粒子波函數(shù)） W w = （2丸r|）-3/2 eip-r!正交歸一性j W wj（WWw（冏dT=5 （W-W）pp8角動量z分量L = -iZ 伽W （里）=.eim , m = 0 , +1, + 2 , A本征函數(shù)mv2k匕的本征值L，z = mn平面轉(zhuǎn)子（設(shè)繞z軸旋轉(zhuǎn)）課本P101 3.5題L門 2 d 2 z 哈密頓量*21 d2W (里)=,eim , m 0 , +1, + 2 , A能量本征態(tài)mv;2k能量本征值9.(L2 , Lz 共同的本征函數(shù)一球諧函數(shù)Ylm(0 甲)Y (0 ,中)=(-1) mN Pm I(cos0 ) eim

9、中Nlmm(2l +4兀l +m)!lm l,(/ = 0,1,2 ,A ; m = 0, 1, 2 ,A , 土l )=l (l + 1)甲Y (0 & )lm)=秫化(0 ,甲)1勢場V (r=V (r)L, H L，角動量?為守恒量。L2YlmL Y (0 ,平中心力場中10.中心力場中定態(tài)薛定諤方程n2 1 2 L r + 2旦r dr 22旦r 2(H , L , Lz 為體系的守恒量完全集，其共同的本征函數(shù)為w (r,0,甲)=R(r)Y (0,甲)lml = 0,1,2 , A , m = l, l-1, A , -111.氫原子e2 1r e 4 1 E = En 2n2 n2

10、2a n2a =平：日e2 (玻爾半徑)w m (r,0,甲)=R (r)Y (0,甲)nllm能級簡并度軌道磁矩enm=一目 m, 2pc benBohr2日c(、七為玻爾磁子)旋磁比類氫離子Lmn2pcR e 4 Z2 En2叩n 212.守恒力學量的定義：若(即力學dF不=量的平均值不隨時間變化)則稱F為守恒量。dF1 矛=F , H + 力學量F的平均值隨時間的變化滿足dtm所dt6F因而力學量F為守恒量的條件為： 石=13.宇稱算符宇稱算符的定義：PW (P) =w(-r)本征值本征函數(shù)。注：宇稱出現(xiàn)在一維無限深勢阱、自旋中。A , B = AB - BA14.對易式定義:15.對易

11、式滿足的基本恒等式:A , B + C =A , BC = BAB , C = ACBi1111|CBC, ,AAA + BBC , ,AABB =016.一些重要的對易關(guān)系：L , x L 0 ,= 0,X -L , p _=8 i n - A,BAA ABi A,B 簡記為2特別地，&叫頃2第四章態(tài)和力學量的表象i.Q表象是以Q的本征函數(shù)系為基底的表象，在這個表象中，有Qu (x )=2 u(X)nn nv = a(ZX (x)na G )；G)2Aa G )?n*),炊),A , o*(r)n算符尸對應一個矩陣（方陣），選定表象后，算符和量子態(tài)都用矩陣表示。F = J u*Fu dx矩陣

12、兀是 nm n m平均值公式是F=v+Fv,歸-化條件是W+W =1,本征值方程是gwo附：在自身表象中表示算符的矩陣為對角矩陣。2.幺正變換：在量子力學中，兩個表象之間的變換是幺正變換,滿足s+ = s-i態(tài)的變換是= S+a ；算符的變換是F = S+FS o幺正變換不改變算符的本征值。附：在自身表象中，本征函數(shù)是 函數(shù)。f v：=ie： 切.V)=H V)Hu (x)=E u (x)Ju*(x)u (x)dx=8m mnw (x) = c u (x)c =J u*(x )v (x )dxF =Jv *( x )Fv (x) dxJv *( x )v (x) dx=1Hn = Enmn =

13、8 mn 叩)=乙“|F = ；V| F V；附：證明某個算符勢厄密算符、工 L Jw *Adr = (Av )*9 dr 工坐標表像中用厄密算符的性質(zhì)來證明。任意表象中則用幺正變換(即：表示算符的矩陣的轉(zhuǎn)置共厄等于算符本身)S += S-1來證明。量子態(tài)可用狄拉克符號右矢I人:或左矢人I表示。狄拉克符號的最大好處是它可以不依賴于表象來闡 述量子力學理論，而且使用十分方便?；傅耐陚湫裕篨|n；-.n = I, Jdxx(x = I,n坐標表象狄拉克符號(1) Fw (X, t)=e (x, t)d珥 V (x, t) = Hv (x, t) d t第五章微擾理論定態(tài)微擾理論適用范圍：求分立能

14、級及所屬波函數(shù)的修正。適用條件是：一方面要求丑0的本征值和本征函數(shù)已知或 較易計算，另一方面又要求H0把H的主要部分盡可能包括進去，使剩下的微擾H比較小，以保證微擾計 算收斂較快，即Hnk co-c a=2Zba a+ cj b = 0 x yy xy x a a -CT CT=2ioa a+ b b = 0y zz yXy zz yO b (J b=2心a a+ b y0)z 一 L(J 2 =Q2 =Q2 = 1（單位算符）， ，5 0r5 0-廣5 =Jq ox 2J0y 2J0,z 29 - L人 3S2 =甲4 E nlj=l-1/2。例如3 P/2Na：3 P3/23s(5896

15、A)1/23s(5890 A)1/2還可以解釋反常塞曼效應。附：只有考慮了電子的自旋光譜線的精細結(jié)構(gòu)才能得到解釋。C-G系數(shù)的性質(zhì):13.兩個電子的自旋單態(tài)與三重態(tài)9（S 2 ,七）的共同本征函數(shù)* SMSSMSa (l)a (2)X a p (2) + p (l)a (2) 寸2P P (2)llln0 -lJ (三重態(tài))土 a P -P (l)a (2)00（單態(tài)）14.兩個角動量的耦合9 9999J , J 旦而q*由心 M各汗昌 mil J = J + J 出 目4 尋昌 有l(wèi) 2是兩1獨立的用動量，則l 2也是用動量。J2,J2,J2,J )| jjjrn,(耦合表象基矢)| 12)

16、1 2,(J2, J , J2, J人j m j m / (無耦合表象基矢1 1Z 2 2z1 1 2 2 fjjjm) = jm - mjmVjm - m j m1 212 22 2 22-)j1 j2jm :C - G系數(shù)15.j的取值: 全同粒子j + j , j + j - L j + j - 2,|j - j ,|12121212（1）量子力學中，把內(nèi)稟屬性（靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等）相同的粒子稱為全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可區(qū)分性，使得全同粒子所組成的體系中，二全同粒子相互代換 不引起物理狀態(tài)的改變。全同性原理或表述為交換對稱性：任何可觀測量，特別是Hamilton量，對于任何兩個粒子交換是不變 的。這就給描述全同粒子系的波函數(shù)帶來很強的限制，即要求全同粒子體系的波函數(shù)具有交換對稱性P中=中、，。一 ,、P中=一中ij S S或者交換反對稱性ij A A o（3）全同粒子系的波函數(shù)的交換對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。玻色子：自旋為門整數(shù)倍（=0，1，2, A）的粒子，波函數(shù)對于兩個粒子交換總是對稱的，例如兀介 子（s = 0 ），光子（s = 1）。它們遵守Bose統(tǒng)計，稱為Bose子。費米子：自旋為門半奇數(shù)倍（S = 12,32,A ）的粒子，波函數(shù)對于