狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器V1AA

1、第6章 線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合引言 狀態(tài)反饋與輸出反饋反饋控制對能控性與能觀測性的影響閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置狀態(tài)觀測器采用狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)解耦控制跟蹤控制和擾動抑制線性二次型最優(yōu)控制線性控制系統(tǒng)理論的工程應(yīng)用舉例 1編輯ppt6.1 引言 本章重點(diǎn)講述對一個性能不好甚至不穩(wěn)定的被控系統(tǒng)，如何設(shè)計系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且具有優(yōu)良的動態(tài)響應(yīng)。 狀態(tài)反饋包含系統(tǒng)全部狀態(tài)變量信息，是較輸出反饋更全面的反饋，這本是狀態(tài)空間綜合法的優(yōu)點(diǎn)，但并非所有被控系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量都可直接測量，這就提出了狀態(tài)重構(gòu)問題，即能否通過可測量的輸出及輸入重新構(gòu)造在一定指標(biāo)下和系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)等價的狀態(tài)估值？19

2、64年，Luenberger提出的狀態(tài)觀測器理論有效解決了這一問題。狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器設(shè)計是狀態(tài)空間綜合法的主要內(nèi)容，故如何設(shè)計狀態(tài)觀測器重構(gòu)出所需狀態(tài)估值也是本章重點(diǎn)講述內(nèi)容之一。 2編輯ppt62 狀態(tài)反饋與輸出反饋 圖5-1為多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖。設(shè)圖5-1虛線框內(nèi)所示多輸入多輸出線性定常被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 （5-1） 式中， 分別為n維,r維和m維列向量；A,B,C,D分別為 實(shí)數(shù)矩陣。 3編輯ppt圖5-1 多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu) 4編輯ppt 對多數(shù)實(shí)際被控系統(tǒng)，由于輸入與輸出之間總存在慣性，所以傳遞矩陣D=0。若被控系統(tǒng)D=0，可簡記為 ，對應(yīng)的狀

3、態(tài)空間表達(dá)式為 （5-2） 圖5-1采用線性直接狀態(tài)反饋（簡稱靜態(tài)狀態(tài)反饋）構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)以改善原被控系統(tǒng)的性能，即將被控系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋增益值，然后反饋到輸入端與參考輸入v一起組成狀態(tài)反饋控制律，作為被控系統(tǒng)的控制量u。由圖5-1顯見，狀態(tài)反饋控制律（即被控系統(tǒng)的控制量u）為狀態(tài)變量的線性函數(shù) 5編輯ppt（5-3） 式中，v為r維參考輸入列向量；F為 狀態(tài)反饋增益矩陣，且其為實(shí)數(shù)陣。 將式（5-3）代入式（5-1）,可得采用狀態(tài)反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為 （5-4） 若D=0，則式（5-4）可簡化為式（5-5），即 6編輯ppt（5-5） 式（5-5）可簡記為 ，其

4、對應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為 （5-6） 7編輯ppt6. 2. 2 輸出反饋 輸出反饋?zhàn)畛Ｒ姷男问绞怯帽豢叵到y(tǒng)輸出向量的線性反饋構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，即如圖5-2所示，將被控系統(tǒng)的每一個輸出變量乘以相應(yīng)的反饋增益值，然后反饋到輸入端與參考輸入v一起組成式（5-7）所示的線性非動態(tài)輸出反饋（簡稱靜態(tài)輸出反饋）控制律，作為被控系統(tǒng)的控制量u，即 （5-7） 式中，v為r維參考輸入列向量；y為m維輸出列向量；H為 維輸出反饋實(shí)數(shù)增益矩陣。 8編輯ppt圖5-2 多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋至參考輸入結(jié)構(gòu) 9編輯ppt 若D=0，將式（5-7）代入式（5-2）得被控系統(tǒng) 引入輸出反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為 （

5、5-8） 式（5-8）可簡記為 ，其對應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為 （5-9） 10編輯ppt 在被控系統(tǒng)D=0時，比較兩種基本反饋控制律（式（5-3）和式（5-7）所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式（式（5-5）和式（5-8）可見，只要取 的狀態(tài)反饋即可達(dá)到與線性非動態(tài)輸出反饋H相同的控制效果。但狀態(tài)反饋F所能達(dá)到的控制效果，采用線性非動態(tài)輸出反饋H卻不一定能實(shí)現(xiàn)，這是因?yàn)橐话憔€性系統(tǒng)的輸出 只是部分狀態(tài)變量的線性組合，故線性非動態(tài)輸出反饋一般可視為一種部分狀態(tài)反饋，其不能象全狀態(tài)反饋那樣任意配置反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)。 11編輯ppt反饋控制對能控性與能觀測性的影響 定理5-1 狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng) 的能控性

6、，但不一定能保持系統(tǒng)的能觀性。 證明 先從系統(tǒng)能控性的PBH秩判據(jù)出發(fā)證明狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng) 的能控性。 顯然，對復(fù)數(shù)域C上的所有s,下式成立，即 （5-10） 12編輯ppt 由于式（5-10）中的 為非奇異方陣，故有 ， （5-11） 由能控性的PBH秩判據(jù)，式（5-11）表明狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性，即1）當(dāng)且僅當(dāng)被控系統(tǒng) 能控時，狀態(tài)反饋系統(tǒng) 能控；2）若 不能控，其不能控模態(tài) 及相應(yīng)的特征值 也是 的不能控模態(tài)及相應(yīng)的特征值。 13編輯ppt 關(guān)于狀態(tài)反饋有可能改變系統(tǒng)的能觀性，以單輸入單輸出系統(tǒng)為例解釋如下： 被控系統(tǒng) 的傳遞函數(shù) （5-12） 引入狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng) 的傳

7、遞函數(shù)可通過結(jié)構(gòu)圖等效變換求出，即 （5-13） 14編輯ppt 比較式（5-12）和式（5-13）可見，引入狀態(tài)反饋后傳遞函數(shù)的分子多項式 不變，而分母多項式可通過選擇狀態(tài)反饋增益向量F而改變，即狀態(tài)反饋只改變傳遞函數(shù)的極點(diǎn)而保持零點(diǎn)不變，若閉環(huán)系統(tǒng) 的極點(diǎn)被配置到與 的零點(diǎn)相等時，將使 發(fā)生零極點(diǎn)對消而破壞 的能觀性。 15編輯ppt 定理5-2 輸出反饋不改變被控系統(tǒng) 的能控性與能觀性。 16編輯ppt 證明 5.2節(jié)已說明，輸出反饋H可等效為 的狀態(tài)反饋，又由定理5-1知，狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性，故輸出反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性。 可從系統(tǒng)能觀性的PBH秩判據(jù)出發(fā)證明輸出反饋不

8、改變被控系統(tǒng) 的能觀性。顯然，對復(fù)數(shù)域C上的所有s,下式成立，即 （5-14） 17編輯ppt 由于式（5-14）中的 為非奇異方陣，故有 ， （5-15） 由能觀性的PBH秩判據(jù)，式（5-15）表明 和 的狀態(tài)能觀性是一致的，即輸出反饋不改變被控系統(tǒng)的能觀性。 18編輯ppt6.3 閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置 （單輸入情形） 本節(jié)主要討論兩方面的問題：其一，閉環(huán)極點(diǎn)可任意配置的條件；其二，如何設(shè)計反饋增益陣使閉環(huán)極點(diǎn)配置在期望極點(diǎn)處。為簡單起見，先討論單輸入系統(tǒng)。 6.3.1 采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) 1.采用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分必要條件 定理5-3 采用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)的充分必

9、要條件是被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控。 19編輯ppt 證明 先證必要性。由定理5-1知，若 不能控，則其不能控極點(diǎn)及其對應(yīng)的不能控模態(tài)不能通過狀態(tài)反饋改變。證畢。 再證充分性。以下充分性證明過程實(shí)際上給出了單輸入（單輸出）系統(tǒng)設(shè)計反饋增益矩陣的規(guī)范算法。 (1)若被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控，且設(shè)其特征多項式和傳遞函數(shù)分別為 20編輯ppt 可通過如下變換（設(shè) 為能控標(biāo)準(zhǔn)型變換矩陣） （5-18） 將 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型 ，即 21編輯ppt（5-19） 式中， （5-20） 22編輯ppt (2)針對能控標(biāo)準(zhǔn)型 引入狀態(tài)反饋 （5-21） 式中， ，可求得對 的閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式仍為能控標(biāo)準(zhǔn)型，即

10、 （5-22） 式中， 23編輯ppt（5-23） 則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項式和傳遞函數(shù)分別為 （5-24） 24編輯ppt（5-25） 式（5-24）、（5-25）表明， 的n階特征多項式的n個系數(shù)可通過 即 的特征值可任選。獨(dú)立設(shè)置，故若被控系統(tǒng) 能控，則其狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)可任意配置。 又25編輯ppt (3)事實(shí)上，由給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)組 ，可寫出期望閉環(huán)特征多項式 （5-26） 令式（5-24）與式（5-26）相等，可解出能控標(biāo)準(zhǔn)型 使閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望極點(diǎn)的狀態(tài)反饋增益矩陣為 （5-27） 26編輯ppt(4) 將式（5-18）代入式（5-21）得 （5-28） 則原被控系統(tǒng) 即對應(yīng)于

11、狀態(tài)x引入狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置到期望極點(diǎn)的狀態(tài)反饋增益矩陣為 （5-29） 27編輯ppt2. 采用狀態(tài)反饋配置閉環(huán)極點(diǎn)的方法 方法一 規(guī)范算法 對狀態(tài)完全能控的單輸入單輸出被控系統(tǒng) ,可采用以上狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)充分條件證明過程所給出的規(guī)范算法確定實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)配置目標(biāo)的反饋增益矩陣F，即在根據(jù)式（5-16）、（5-26）分別確定開環(huán)系統(tǒng) 特征多項式和期望閉環(huán)特征多項式系數(shù)的基礎(chǔ)上，先用式（5-27）求出能控標(biāo)準(zhǔn)型 對應(yīng)的 下的狀態(tài)反饋增益矩陣 ；然后再根據(jù)式（5-29）將 變換為原狀態(tài)x下的狀態(tài)反饋增益陣F ，即 28編輯ppt(5-30) 式中, 為按式（5-18）將 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型

12、的變換矩陣 的逆矩陣，即 （5-31） 29編輯ppt 方法二 解聯(lián)立方程 設(shè)狀態(tài)反饋增益陣 ，則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項式為 （5-34） 而由給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)組 ，可確定如式（5-26）所示的期望閉環(huán)特征多項式。為將閉環(huán)極點(diǎn)配置在期望位置，應(yīng)令式（5-34）與式（5-26）相等，即令 ，由兩個n階特征多項式對應(yīng)項系數(shù)相等，可得n個關(guān)于 的聯(lián)立代數(shù)方程，若 能控，解聯(lián)立方程可求出唯一解 。 30編輯ppt 【例5-2】被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 試設(shè)計狀態(tài)反饋增益矩陣F，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為 和 ，并畫出狀態(tài)變量圖。 解 (1)所以被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可通過狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)。

13、31編輯ppt (2) 確定閉環(huán)系統(tǒng)期望特征多項式 閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)為 ，對應(yīng)的期望閉環(huán)特征多項式為 則， ， (3)求滿足期望極點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣 方法一 規(guī)范算法 32編輯ppt 被控系統(tǒng) 的特征多項式為 則 ， 根據(jù)式（5-27），能控標(biāo)準(zhǔn)型 對應(yīng)的 下的狀態(tài)反饋增益陣 為 按式（5-18）將 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型 的變換矩陣 為 33編輯ppt則 根據(jù)式（5-29），原狀態(tài)x下的狀態(tài)反饋增益陣F應(yīng)為 34編輯ppt 方法二 解聯(lián)立方程 對被控系統(tǒng) ，引入 狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng) 特征多項式為 令 ，即 ，比較等式兩邊同次冪項系數(shù)得如下聯(lián)立方程 解之得 ， 35編輯ppt (4) 據(jù)被

14、控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式和所設(shè)計的狀態(tài)反饋增益矩陣F，可畫出狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖如圖5-3所示。 圖5-3 例5-2圖 36編輯ppt3. 采用狀態(tài)反饋進(jìn)行部分極點(diǎn)配置 若被控系統(tǒng) 狀態(tài)不完全能控,采用狀態(tài)反饋只能將其能控子系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到期望位置,而不可能移動其不能控子系統(tǒng)的極點(diǎn)。換言之, 對狀態(tài)不完全能控的n階系統(tǒng) 而言,若期望配置的n個極點(diǎn)中包含了其全部的不能控極點(diǎn),那么這一組閉環(huán)極點(diǎn)是可以采用狀態(tài)反饋進(jìn)行配置的(這時實(shí)質(zhì)上只是配置了被控系統(tǒng)的能控極點(diǎn));否則,就不能采用狀態(tài)反饋配置n個極點(diǎn)。 37編輯ppt6.3.2 采用線性非動態(tài)輸出反饋至參考輸入配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) 定理5-4

15、完全能控的系統(tǒng)不能靠引入式（5-7）所示的線性非動態(tài)輸出反饋控制來任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。 對定理5-4以單輸入單輸出系統(tǒng)為例加以說明。這時,輸出反饋矩陣為反饋放大系數(shù)(標(biāo)量)H,由經(jīng)典控制理論的根軌跡法,改變反饋放大系數(shù)H時的閉環(huán)極點(diǎn)變化的軌跡是起于開環(huán)極點(diǎn),終于開環(huán)零點(diǎn)或無限遠(yuǎn)點(diǎn)的一組根軌跡,即閉環(huán)極點(diǎn)不能配置在復(fù)平面的任意位置。 38編輯ppt 定理5-5 對完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng) ,通過帶動態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條件為: (1) 完全能觀; (2) 動態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為n-1。 6.3.3 鎮(zhèn)定問題 若被控系統(tǒng) 通過狀態(tài)反饋(或輸出反饋)能使其閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部,

16、即閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)反饋(或輸出反饋)可鎮(zhèn)定的。 39編輯ppt 定理5-6 線性定常系統(tǒng) 采用狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。 定理5-7 線性定常系統(tǒng) 采用輸出反饋可鎮(zhèn)定的充要條件是 結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸出可鎮(zhèn)定的;而能控不能觀、能觀不能控、不能控且不能觀的三個子系統(tǒng)均為漸近穩(wěn)定。 40編輯ppt 【例5-3】被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 試設(shè)計狀態(tài)反饋增益矩陣F，使閉環(huán)系統(tǒng)得到鎮(zhèn)定。該被控系統(tǒng)采用輸出反饋可否鎮(zhèn)定? 解 為能控標(biāo)準(zhǔn)型,顯然能控,故可采用狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。若設(shè)期望極點(diǎn)為 , ,則對應(yīng)的期望閉環(huán)特征多項式為 41編輯ppt

17、由規(guī)范算法可確定滿足期望極點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋增益矩陣 ,對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖如圖5-4(a)所示。但若 采用線性非動態(tài)輸出反饋, 則閉環(huán)系統(tǒng) 的特征多項式為 可見, 引入反饋放大系數(shù)為h的線性非動態(tài)輸出反饋后的閉環(huán)特征多項式仍缺項, 不論如何選擇反饋放大系數(shù)h,均不能使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定,即該系統(tǒng)采用線性非動態(tài)輸出反饋不可鎮(zhèn)定。42編輯ppt 由圖5-4(a)可畫出圖5-4(b)所示的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)等效方塊圖,其等效為在輸出反饋控制回路中嵌入反饋動態(tài)補(bǔ)償器H(s) ,即若采用 的輸出動態(tài)反饋可達(dá)到與引入線性狀態(tài)反饋 一樣的控制效果(將閉環(huán)極點(diǎn)配置在 , ) 。但從H(s)的結(jié)構(gòu)看,其包括比例

18、環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié),在物理上較上述狀態(tài)線性反饋復(fù)雜且難于實(shí)現(xiàn)。 圖5-4 例5-3圖 43編輯ppt6.4 狀態(tài)觀測器 狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)的前提是獲得系統(tǒng)全部狀態(tài)信息,然而,狀態(tài)變量并不一定是系統(tǒng)的物理量, 選擇狀態(tài)變量的這種自由性本是狀態(tài)空間綜合法的優(yōu)點(diǎn)之一,但這也使得系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量不一定都能直接量測;另一方面,有些狀態(tài)變量即使可測,但所需傳感器的價格可能會過高。狀態(tài)觀測或狀態(tài)重構(gòu)問題正為了克服狀態(tài)反饋物理實(shí)現(xiàn)的這些困難而提出的,其核心是通過系統(tǒng)可量測參量(輸出及輸入)重新構(gòu)造在一定指標(biāo)下和系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài) 等價的估計狀態(tài)或重構(gòu)狀態(tài) ,且常采用式(5-35)所示的漸近等價指標(biāo),即 44編輯ppt(

19、5-35) 式中, 為觀測誤差。實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)的系統(tǒng)(或計算機(jī)程序)稱為狀態(tài)觀測器, 式(5-35)也稱觀測器存在條件。當(dāng)觀測器重構(gòu)狀態(tài)向量的維數(shù)等于或小于被控系統(tǒng)狀態(tài)向量維數(shù)時,分別稱為全維狀態(tài)觀測器或降維狀態(tài)觀測器。 45編輯ppt6.4.1 全維觀測器的構(gòu)造思想 設(shè)式(5-2)所示的被控系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀,一條重構(gòu)狀態(tài)向量的可能途徑是對輸出y(t)求導(dǎo) n-1次,即 (5-36) 46編輯ppt 因?yàn)?能觀,則其能觀性判別陣的秩為n,故由式(5-36)一定可選出關(guān)于狀態(tài)變量的n個獨(dú)立方程,進(jìn)而獲得x(t)的唯一解。可見,只要被控系統(tǒng)能觀,理論上可通過輸入、輸出及它們的導(dǎo)數(shù)重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)向量x

20、(t)。但這種方法要對輸入、輸出進(jìn)行微商運(yùn)算,而純微分器難以構(gòu)造;且微分器不合理地放大輸入、輸出測量中混有的高頻干擾,以致狀態(tài)估計值產(chǎn)生很大誤差,故從工程實(shí)際出發(fā),該方法不可取。 47編輯ppt 為避免在狀態(tài)重構(gòu)中采用微分運(yùn)算,一個直觀的想法是構(gòu)造一個與 結(jié)構(gòu)和參數(shù)相同的仿真系統(tǒng) 來觀測系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài)x(t),且讓 與 具有相同的輸入,如圖5-5所示。 圖5-5 開環(huán)觀測器 48編輯ppt 顯然,在假設(shè)矩陣A, B和C在實(shí)際被控對象 中及其計算機(jī)仿真系統(tǒng) 中相同的前提下,只要設(shè)置 的初態(tài)與 的初態(tài)相同,即 ,則可保證重構(gòu)狀態(tài) 與系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài) 始終相同。盡管只要 能觀,根據(jù)輸入和輸出的測量值總能

21、計算出系統(tǒng)的初態(tài) ,但每次應(yīng)用圖5-5所示的開環(huán)觀測器均要計算 并設(shè)置 ,計算量太大。另一方面,開環(huán)觀測器的觀測誤差 所滿足的微分方程為 (5-37) 而由于存在外界擾動和設(shè)置誤差,通常 ,即 ,這時由式(5-37)可得觀測誤差 為 49編輯ppt(5-38) 式(5-38)表明,只有當(dāng) 的系統(tǒng)矩陣A的特征值均具有負(fù)實(shí)部時, 才滿足觀測器存在條件,即當(dāng)時間足夠長時,觀測誤差 趨于零,實(shí)現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu);若 為不穩(wěn)定系統(tǒng),則 將不能復(fù)現(xiàn) 。一般而言, 開環(huán)觀測器也無實(shí)用價值。 50編輯ppt 可應(yīng)用反饋控制原理對圖5-5所示的開環(huán)觀測器方案進(jìn)行改進(jìn),即引入觀測誤差 負(fù)反饋,以不斷修正仿真系統(tǒng),加快觀測

22、誤差趨于零的速度。 但 不可直接量測,而 對應(yīng) ,且系統(tǒng)輸出估計值與實(shí)際值的誤差 可量測,故引入輸出偏差 負(fù)反饋至觀測器的 處,構(gòu)成以u和y為輸入、 為輸出的閉環(huán)漸近狀態(tài)觀測器,如圖5-6所示,其采用了輸出反饋的另一種結(jié)構(gòu),是一種較實(shí)用的觀測器結(jié)構(gòu)。 51編輯ppt圖5-6 閉環(huán)(漸近)狀態(tài)觀測器 圖5-6中, G為 輸出偏差反饋增益矩陣(m為系統(tǒng)輸出變量的個數(shù))，且其為實(shí)數(shù)陣。52編輯ppt 由圖5-6可得閉環(huán)狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為 (5-39) 由式(5-39)及待觀測系統(tǒng) 的狀態(tài)方程,可得閉環(huán)觀測器的觀測誤差 所滿足的微分方程為 (5-40) 53編輯ppt 設(shè)初始時刻 ,式(5-40)

23、的解為 (5-41) 54編輯ppt 式(5-40)及式(5-41)表明,若通過選擇輸出偏差反饋增益矩陣G使A-GC的所有特征值均位于復(fù)平面的左半開平面,盡管初始時刻 時 與 存在差異,觀測器的狀態(tài) 仍將以一定精度和速度漸漸逼近系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài) ,即滿足式(5-35)所示的漸近等價指標(biāo),故閉環(huán)觀測器也稱為漸近觀測器。顯然, 觀測誤差 趨于零的收斂速率由觀測器系統(tǒng)矩陣A-GC的主特征值決定,可證明若 能觀,則閉環(huán)觀測器的極點(diǎn)即A-GC的特征值可通過選擇偏差反饋增益矩陣G而任意配置。 55編輯ppt6.4.2 閉環(huán)觀測器極點(diǎn)配置 1. 閉環(huán)觀測器極點(diǎn)任意配置的充分必要條件 定理5-8 圖5-6中的閉

24、環(huán)狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)可任意配置的充分必要條件是被控系統(tǒng) 能觀測。 系統(tǒng)能觀測,只是其觀測器存在的充分條件,并非必要條件。對系統(tǒng) ,觀測器存在的充分必要條件是 的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。 56編輯ppt2. 輸出偏差反饋增益矩陣G的設(shè)計 全維閉環(huán)狀態(tài)觀測器的設(shè)計就是確定合適的輸出偏差反饋增益矩陣G,使A-GC具有期望的特征值,從而使由式(5-40)描述的觀測誤差動態(tài)方程以足夠快的響應(yīng)速度漸近穩(wěn)定。 狀態(tài)完全能觀測的單輸入單輸出系統(tǒng),閉環(huán)觀測器的極點(diǎn)配置設(shè)計可仿照5.4節(jié)介紹的狀態(tài)完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng)用狀態(tài)反饋進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)配置的設(shè)計方法進(jìn)行;也可基于對偶原理采用在對偶系統(tǒng)中由狀態(tài)反饋配置閉環(huán)極

25、點(diǎn)方法確定狀態(tài)反饋增益陣F,再根據(jù) 確定原系統(tǒng)觀測器偏差反饋增益矩陣G。 57編輯ppt 若單輸入單輸出系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀，其特征多項式為 （5-42） 58編輯ppt 設(shè) 為閉環(huán)狀態(tài)觀測器系統(tǒng)矩陣期望特征值，對應(yīng)的期望特征多項式為 （5-43） 59編輯ppt 若 為能觀標(biāo)準(zhǔn)型,則所需的觀測器偏差反饋增益矩陣為 (5-44) 若 不為能觀標(biāo)準(zhǔn)型,則可采用如下變換（設(shè) 為能觀標(biāo)準(zhǔn)型變換陣） （5-45） 60編輯ppt將系統(tǒng)化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型其中, 61編輯ppt則先用式（5-44）求出能觀標(biāo)準(zhǔn)型 對應(yīng)的 下的觀測器增益矩陣 ,然后再將 下求得的 變換到原狀態(tài)x下,即得重構(gòu)系統(tǒng) 狀態(tài)x所需的觀測器

26、偏差反饋增益矩陣為 (5-46) 式中, (5-47) 62編輯ppt 【例5-4】被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 試設(shè)計全維狀態(tài)觀測器使其極點(diǎn)為-3，-3。 解 (1)所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀，可建立狀態(tài)觀測器, 且觀測器的極點(diǎn)可任意配置。 63編輯ppt(2) 確定閉環(huán)狀態(tài)觀測器系統(tǒng)矩陣的期望特征多項式 觀測器系統(tǒng)矩陣 的期望特征值為 ，對應(yīng)的期望特征多項式為 則 ， ， 64編輯ppt(3) 求所需的觀測器偏差反饋增益矩陣 方法一 規(guī)范算法 在例5-2中已求得系統(tǒng) 的特征多項式為 ,則 ， 根據(jù)式（5-44），能觀標(biāo)準(zhǔn)型 對應(yīng)的 下的狀態(tài)觀測器增益矩陣為65編輯ppt按式（5-47）將 化為

27、能觀標(biāo)準(zhǔn)型 的變換矩陣 為 則根據(jù)式（5-46），重構(gòu)系統(tǒng) 狀態(tài)x所需的觀測器偏差反饋增益矩陣G為 66編輯ppt方法二 解聯(lián)立方程 與狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置的情況類似,若系統(tǒng)是低階的,將觀測器偏差反饋增益矩陣G直接代入所期望的特征多項式往往較為簡便。67編輯ppt觀測器系統(tǒng)矩陣 的特征多項式為 令 ，即 比較等式兩邊同次冪項系數(shù),得如下聯(lián)立方程 68編輯ppt解之，得 ， (4) 由式(5-39),觀測器的狀態(tài)方程為 69編輯ppt圖5-7 例5-4圖 或 70編輯ppt6.4.3 降維觀測器 若多變量系統(tǒng)能觀且輸出矩陣C的秩為m,則系統(tǒng)的m個狀態(tài)變量可用系統(tǒng)的m個輸出變量直接代替或線性表

28、達(dá)而不必重構(gòu),只需建立(n-m) 維的降維觀測器(常稱為Luenberger觀測器)對其余的(n-m)個狀態(tài)變量進(jìn)行重構(gòu)。 設(shè)能觀測被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 (5-51) 71編輯ppt式中， 分別為n維,r維和m維列向量；A,B,C分別為 實(shí)數(shù)矩陣,并設(shè)輸出矩陣C的秩為m,則 (n-m) 維降維觀測器的一般設(shè)計方法如下: 構(gòu)造 非奇異矩陣T為 (5-52) 式中, 是使矩陣T非奇異而任意選擇的(n-m) 個行向量組成的 矩陣。 T的逆矩陣 以分塊矩陣的形式表示為 72編輯ppt(5-53) 式中, 為 矩陣; 為 矩陣。 顯然,有 (5-54) 對式(5-51)進(jìn)行變換 (5-55) 式

29、中, T為式(5-52)所示的非奇異矩陣, 變換矩陣 為T的逆矩陣,則將 變換為按輸出分解形式的 , 即 73編輯ppt（5-56a） 式中,0為 零矩陣， 為 單位矩陣。由式(5-56 a)的輸出方程可見, 中的后m個狀態(tài)分量可用系統(tǒng)的m個輸出變量直接代替,故通過式(5-55)所示線性變換將n維狀態(tài)向量按可檢測性分解為 和 兩部分,其中, 為 中前(n-m)個狀態(tài)分量, 需要重構(gòu); 為 中后m個狀態(tài)分量, 可由輸出y直接檢測取得。按 和 分塊, 的動態(tài)方程式（5-56a）可重新寫成式（5-56b）所示的分塊形式,即 74編輯ppt（5-56b） 式中, 分別為 矩陣; 分別為 矩陣 式(5-

30、56b)表明, 可按狀態(tài)變量是否需要重構(gòu)分解為兩個子系統(tǒng),即不需要重構(gòu)狀態(tài)的m維子系統(tǒng) 和需要重構(gòu)狀態(tài)的(n-m)維子系統(tǒng) 。將式(5-56b)的狀態(tài)方程展開,并根據(jù) ,得 75編輯ppt(5-57) 令 (5-58) 代入式(5-57),得待觀測子系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 (5-59) 因?yàn)槭?5-59)中u為已知及y可檢測得出,故 可看做子系統(tǒng) 中已知的輸入項,而 則可看做子系統(tǒng) 已知的輸出向量, 為 的系統(tǒng)矩陣,而 則相當(dāng)于 的輸出矩陣。 76編輯ppt 由系統(tǒng) 能觀,易證明子系統(tǒng) 能觀,即 為能觀測對,故可仿照全維觀測器設(shè)計方法,對(n-m)維子系統(tǒng) 設(shè)計(n-m)維觀測器重構(gòu) 。參照

31、全維觀測器的狀態(tài)方程式(5-39), 對式(5-59)所示子系統(tǒng) 列寫關(guān)于狀態(tài)估值 的狀態(tài)方程且將子系統(tǒng) 的輸出z用式(5-58)代入,得 (5-60) 式中, 反饋矩陣 為 矩陣,根據(jù)定理5-8,通過適當(dāng)選擇 可任意配置系統(tǒng)矩陣 的特征值。但式(5-60)中含有系統(tǒng)輸出的導(dǎo)數(shù) ,這是不希望的。為了消去式(5-60)中的 , 將變換 77編輯ppt(5-61) 代入式(5-60)并整理,得降維觀測器方程為 (5-62) 結(jié)合 ,整個狀態(tài)向量 的估值可表示為 (5-64) 78編輯ppt由式(5-55),原系統(tǒng) 的狀態(tài)向量x的估值 為 (5-65) 根據(jù)式(5-62)及式(5-65)可得降維觀測

32、器(Luenberger觀測器)結(jié)構(gòu)圖如圖5-8所示。 圖5-8 降維觀測器(Luenberger觀測器)結(jié)構(gòu)圖 79編輯ppt【例5-5】設(shè)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 試設(shè)計極點(diǎn)為-4,-4的降維狀態(tài)觀測器。 解 (1)故系統(tǒng)能觀。又 ,故可構(gòu)造 維 降維觀測器。 80編輯ppt(2) 根據(jù)式(5-52),構(gòu)造 非奇異矩陣T為則, 作變換 ,則將 變換為 ,即 81編輯ppt由于 ,故只需設(shè)計二維觀測器重構(gòu) 。將 分塊,得 (3)求降維觀測器的 反饋矩陣 82編輯ppt 由降維觀測器特征多項式 及期望特征多項式 比較 與 各相應(yīng)項系數(shù),聯(lián)立方程并解之,得 83編輯ppt(4)在變換后狀態(tài)空間中

33、的降維觀測器狀態(tài)方程為 則 所對應(yīng)狀態(tài)向量 的估值為 84編輯ppt(5)將 變換為原系統(tǒng)狀態(tài)空間,得到原系統(tǒng) 的狀態(tài)重構(gòu)為 由降維觀測器狀態(tài)方程可畫出其結(jié)構(gòu)圖如圖5-9所示。 85編輯ppt圖5-9 例5-5圖 86編輯ppt5.6 采用狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖5-10所示。 圖5-10 帶有漸近狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 87編輯ppt 設(shè)能控且能觀的被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 (5-66) 漸近狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為 (5-67) 利用觀測器的狀態(tài)估值 所實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)反饋控制律為 (5-68) 將式（5-68）代入式（5-66）、式（5-67）得整個閉

34、環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 88編輯ppt（5-69） 即 (5-70) 這是一個2n維的復(fù)合系統(tǒng)。為便于研究復(fù)合系統(tǒng)的基本特性，對式(5-70)進(jìn)行線性非奇異變換 89編輯ppt (5-71) 則（5-72） 根據(jù)式（5-72）可得2n維復(fù)合系統(tǒng)的特征多項式為 90編輯ppt (5-73) 式（5-73）表明, 由觀測器構(gòu)成狀態(tài)反饋的2n維復(fù)合系統(tǒng)，其特征多項式等于矩陣A-BF的特征多項式 與矩陣A-GC的特征多項式 的乘積。即2n維復(fù)合系統(tǒng)的2n個特征值由相互獨(dú)立的兩部分組成：一部分為直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A-BF的n個特征值；另一部分為狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣A-GC的n個特征值。復(fù)合系統(tǒng)

35、特征值的這種性質(zhì)稱為分離特性。 91編輯ppt 只要被控系統(tǒng) 能控能觀，則用狀態(tài)觀測器估值形成狀態(tài)反饋時，可對 的狀態(tài)反饋控制器及狀態(tài)觀測器分別按各自的要求進(jìn)行獨(dú)立設(shè)計，即先按閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)要求確定A-BF的特征值，從而設(shè)計出狀態(tài)反饋增益陣F；再按狀態(tài)觀測誤差趨于零的收斂速率要求確定A-GC的特征值，從而設(shè)計出輸出偏差反饋增益矩陣G;最后，將兩部分獨(dú)立設(shè)計的結(jié)果聯(lián)合起來，合并為帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。92編輯ppt【例5-6】被控系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式為 試設(shè)計極點(diǎn)為-3,-3的全維狀態(tài)觀測器，構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)，使閉環(huán)極點(diǎn)配置為 和 。 解 由例5-2及例5-4知，此被控系統(tǒng) 能控能觀

36、，可分別獨(dú)立設(shè)計狀態(tài)反饋增益陣F和觀測器偏差反饋增益矩陣G。 例5-2中已求出此被控系統(tǒng)采用直接狀態(tài)反饋使其即為本題所設(shè)計的狀態(tài)反饋增益陣 閉環(huán)極點(diǎn)配置為-1+j和-1-j所需的，。93編輯ppt 而在例5-4中已求出此被控系統(tǒng)無狀態(tài)反饋時，即為本題所設(shè)計的觀測器偏差反饋增益矩陣G。 使觀測器極點(diǎn)配置為-3,-3所需的，其 故設(shè)計好的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖如圖5-11所示。 94編輯ppt圖5-11 例5-6圖 95編輯ppt 解 因被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對消,且其為單變量系統(tǒng),故其能控能觀。狀態(tài)反饋控制與狀態(tài)觀測器可分別獨(dú)立設(shè)計。 【例5-7】設(shè)被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為且假設(shè)系統(tǒng)輸出量是可以

37、準(zhǔn)確測量, 試設(shè)計降維觀測器，構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)，使閉環(huán)極點(diǎn)配置為 。 , 被控系統(tǒng)按能觀標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn),即有 為 96編輯ppt(1)根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)配置要求設(shè)計狀態(tài)反饋增益陣F 令 ,則 特征多項式為 與期望特征多項式 比較得 (2)設(shè)計降維觀測器 97編輯ppt 為能觀標(biāo)準(zhǔn)型,有 ,又輸出量y可準(zhǔn)確測量, 故只需設(shè)計一維觀測器重構(gòu) ,對應(yīng)的降維觀測器狀態(tài)方程為 式中, , 基于通常選擇觀測器的響應(yīng)速度比所考慮的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)快25倍這一經(jīng)驗(yàn)規(guī)則,本例取觀測器期望極點(diǎn)為 98編輯ppt則降維觀測器特征多項式 與期望特征多項式 比較得 則降維觀測器狀態(tài)方程為 又 ,則 所對應(yīng)狀態(tài)向量 的估值為 99

38、編輯ppt(3)將兩部分獨(dú)立設(shè)計的結(jié)果聯(lián)合起來，得帶降維觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu),如圖5-12所示。 圖5-12 例5-7圖 100編輯ppt6.7 MIMO LTI系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置(P.270-278)101編輯ppt6.8 解耦控制 設(shè)多變量線性定常系統(tǒng) 的輸入向量維數(shù)與輸出向量維數(shù)相等,其狀態(tài)空間表達(dá)式為 （5-74） 式中， 均為m維列向量； 為n維列向量;A,B,C分別為 實(shí)數(shù)矩陣,且設(shè) 。與式（5-74）對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣為 102編輯ppt(5-75) 式中, 為m階嚴(yán)格真有理函數(shù)方陣; 為 的第i行第j列元素,表示第i個輸出量與第j個輸入量之間的傳遞函數(shù)。若系統(tǒng)初始為零狀態(tài),

39、則其輸入輸出關(guān)系為 (5-76) 103編輯ppt 由式(5-76)可見, 一般情況下,多變量系統(tǒng)的每一輸入分量對多個(或所有)輸出分量均有控制作用,即每一輸出分量受多個(或所有)輸入分量的控制。這種第j個輸入量控制第i個輸出量( )的關(guān)系稱為輸入輸出間的耦合作用,這種耦合使多變量系統(tǒng)的控制通常十分困難,例如, 就難以找到合適的輸入量,達(dá)到控制某一輸出分量而不影響其它輸出分量的要求。因此,有必要引入合適的控制律,使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦,即實(shí)現(xiàn)每個輸出分量僅受一個對應(yīng)輸入分量控制,每個輸入分量也僅能控制對應(yīng)的一個輸出分量。 104編輯ppt 顯然, 解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣必為對角

40、線形的非奇異矩陣,由此解耦系統(tǒng)的定義出發(fā),使多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)解耦的基本思路是通過引入控制裝置使系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣對角化,而具體實(shí)現(xiàn)方法主要有前饋補(bǔ)償器解耦、輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合解耦等。105編輯ppt6.8.1 前饋補(bǔ)償器解耦 采用前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦的方法如圖5-13所示,在待解耦系統(tǒng)前串聯(lián)一個前饋補(bǔ)償器,使串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)陣成為對角形的有理函數(shù)矩陣。 圖5-13 前饋補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)解耦 圖5-13中,待解耦系統(tǒng)和前饋補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)陣分別為 和 ,則串接補(bǔ)償器后整個系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)陣為 106編輯ppt (5-77) 令 (5-78) 顯然,只要待解耦系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣 滿秩,即 的逆 存在,則可

41、采用如式(5-79)所示的前饋補(bǔ)償器使系統(tǒng)獲得解耦,即 (5-79) 式中, 為串接補(bǔ)償器后解耦系統(tǒng)的對角形傳遞函數(shù)陣,如式(5-78)所示。 串接前饋補(bǔ)償器解耦的原理雖然簡單,但其增加了系統(tǒng)的維數(shù),且其實(shí)現(xiàn)受到 是否存在及 物理上是否可實(shí)現(xiàn)的限制。 107編輯ppt6.8.2 輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合實(shí)現(xiàn)解耦控制 采用輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合方式以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)輸入輸出間解耦控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5-14所示。 圖5-14 采用輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合實(shí)現(xiàn)解耦 圖5-14中, 待解耦系統(tǒng) 狀態(tài)空間表達(dá)式及傳遞函數(shù)陣分別如式(5-74)及式(5-75)所示;狀態(tài)反饋增益陣F為 實(shí)常數(shù)陣;輸入變換陣K為

42、實(shí)常數(shù)非奇異陣;v為m維參考輸入信號列向量。 108編輯ppt 由圖5-14可見,為實(shí)現(xiàn)閉環(huán)解耦控制,對 采用的控制律為 (5-80) 將式(5-80)代入式(5-74),得圖5-14所示閉環(huán)系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達(dá)式及傳遞函數(shù)矩陣,即 (5-81)(5-82)因此,待解耦系統(tǒng) 采用式(5-80)所示控制律實(shí)現(xiàn)閉環(huán)解耦問題在頻域中可簡單描述如下:尋找適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣F和輸入變換陣K,使式(5-82)所示的閉環(huán)系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)陣為對角形矩陣。 109編輯ppt 定義 是0(n-1)之間滿足下式 (5-83)的最小整數(shù)。式中, 為 輸出矩陣C的第i行向量, 故相應(yīng)的 的下標(biāo)i表示行數(shù) 。若對 ,

43、均有 ,則令 。 根據(jù) ,定義 維矩陣 (5-84) 110編輯ppt 定理5-9 系統(tǒng) 采用式(5-80) 所示輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合控制律可解耦的充要條件是式(5-84)所示矩陣 非奇異。 111編輯ppt 定理5-10 當(dāng)系統(tǒng) 可以式(5-80) 所示輸入變換與狀態(tài)反饋相結(jié)合控制律解耦時, 若取輸入變換陣K及狀態(tài)反饋增益陣F為 (5-85) 112編輯ppt則所得閉環(huán)系統(tǒng) (5-86) 是積分型解耦系統(tǒng),其傳遞函數(shù)陣為 (5-87) 113編輯ppt6.9 穩(wěn)態(tài)精度與無靜差跟蹤控制 當(dāng)單輸入單輸出被控系統(tǒng) 僅采用狀態(tài)反饋控制律 時, 閉環(huán)系統(tǒng) 對單位階躍參考輸入信號的跟蹤誤差為 (5-

44、88) 為了提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度, 基于狀態(tài)空間綜合法的一種簡單實(shí)現(xiàn)方法是除了按極點(diǎn)配置法確定狀態(tài)反饋增益陣F外,還引入輸入變換放大器K,如圖5-15所示。 114編輯ppt圖5-15 帶有輸入變換的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 由圖5-15可見, 單輸入單輸出被控系統(tǒng) 采用輸入變換和狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 115編輯ppt(5-89) 對單位階躍參考輸入信號的跟蹤誤差 (5-90) 可通過設(shè)置輸入變換放大系數(shù)K進(jìn)行調(diào)整。由式(5-90)可推出選擇K使系統(tǒng)對階躍參考輸入信號產(chǎn)生零穩(wěn)態(tài)誤差的條件為 (5-91) 116編輯ppt 以上討論未考慮系統(tǒng)的外部擾動。但實(shí)際系統(tǒng)的外部干擾作用是難免的,致使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時

45、不能理想跟蹤參考輸入而產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。由經(jīng)典控制理論知, 單輸入單輸出系統(tǒng)可采用在系統(tǒng)偏差后面串入積分器作為控制器的一部分來抑制與消除穩(wěn)態(tài)誤差,將這一思想應(yīng)用到多輸入多輸出系統(tǒng)中,可讓m維誤差向量e的每一分量后面均串入積分器,構(gòu)造圖5-16所示的狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng)。 117編輯ppt圖5-16狀態(tài)反饋加積分器校正的輸出反饋系統(tǒng) 圖5-16中, n維列向量d為擾動輸入; 分別為n維,r維和m維列向量；A,B,C分別為 實(shí)數(shù)矩陣; , 分別為 , 實(shí)數(shù)矩陣。將m個積分器生成的w作為附加狀態(tài)向量,與原被控系統(tǒng)可構(gòu)成被控系統(tǒng)增廣的動態(tài)方程 118編輯ppt(5-92) 增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋

46、控制律為 (5-93) 式(5-93)中的第一項 為被控系統(tǒng)的普通狀態(tài)負(fù)反饋, 第二項 是為改善穩(wěn)態(tài)性能而引入的誤差的積分信號。只有式(5-92)所描述的n+m維增廣系統(tǒng)狀態(tài)完全能控, 才可采用式(5-93)所示的狀態(tài)反饋改善系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。 119編輯ppt 容易證明,增廣系統(tǒng)能控的充要條件為原被控系統(tǒng) 能控,且 (5-94) 顯然, 式(5-94)成立的必要條件為系統(tǒng)的控制維數(shù)不得少于誤差的維數(shù) ( )且 120編輯ppt 將式(5-93)代入式(5-92)可得由式(5-92)和式(5-93)組成的狀態(tài)反饋增廣系統(tǒng)(見圖5-16)的動態(tài)方程為 (5-95) 式中, 和 由期望的閉環(huán)極

47、點(diǎn)配置決定,而且,只要式(5-92)所示增廣系統(tǒng)能控,則能實(shí)現(xiàn)式(5-95) 所示閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣特征值的任意配置?？梢宰C明,只要 和 選得使式(5-95)的特征值均具有負(fù)實(shí)部,則圖5-16所示閉環(huán)系統(tǒng)可消除階躍擾動及階躍參考輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 121編輯ppt6.10 線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器 如果系統(tǒng)是線性的,性能泛函是狀態(tài)變量和(或)控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這樣的最優(yōu)控制問題稱為線性二次型最優(yōu)控制問題。122編輯ppt 6.10.1 線性二次型最優(yōu)控制問題的提法 設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 , (6-108) 式中, ， ， ，A(t)、B(t)和C(t)分別是 、 和 維矩陣。

48、 123編輯ppt 定義二次型性能指標(biāo)為 (6-109) 式中, 和 均為 半正定(或正定)對稱矩陣，R(t)是 維正定對稱矩陣。 124編輯ppt 二次型指標(biāo)式（6-109）最小的物理意義是：在整個時間區(qū)間 內(nèi),綜合考慮過程中偏差、控制消耗的能量和終值誤差三個方面總的結(jié)果要最小。 二次型最優(yōu)控制問題就是:對于系統(tǒng)式(6-108),確定最優(yōu)控制規(guī)律 ，使二次型指標(biāo)式 (6-109) 為最小。 125編輯ppt 6.10.2 有限時間的線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式 (6-108), 目標(biāo)函數(shù)為 (6-112) 式中, , , 126編輯ppt 有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題:在滿足狀態(tài)方程 (6

49、-108) 約束條件下，在限定時間 內(nèi)，使系統(tǒng)由初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài) （在平衡狀態(tài) 附近），設(shè)u(t)無限制,求最優(yōu)控制 使二次型指標(biāo)式 (6-112) 取極小?？梢娺@是一個 、 、 固定，終端狀態(tài) 自由的條件泛函極值問題。變分法、極小值原理和動態(tài)規(guī)劃均可求解該最優(yōu)控制問題,這里應(yīng)用極小值原理求解。 127編輯ppt (1)列寫哈密頓函數(shù) (6-113) (2)建立極值條件 由于控制量u(t)不受限制，故滿足控制方程 (6-114) 由于R(t)0,保證了 的存在，從而可得 (6-115) 128編輯ppt (3)建立正則方程 (6-116) (6-117) 設(shè) (6-118) 式中,P(

50、t)為 實(shí)對稱半正定矩陣,待定。 將式(6-118)代入式（6-115）,得 129編輯ppt(6-119) 式中, (6-120) 將式 (6-118) 兩端對t求導(dǎo),得 (6-121) 將式 (6-118) 、(6-121)代入正則方程組，消去 及 ，得 (6-122) (6-123) 將式(6-123)代入式(6-122),并整理后,得 130編輯ppt(教材P.321,6-272)(6-124) 式(6-124)稱為黎卡提（Riccati）矩陣微分方程。 (4) 邊界條件 據(jù)式(6-53),終端橫截條件為 (6-125) 131編輯ppt 而當(dāng) 時,式 (6-118)為 (6-126)

51、 由式(6-125)、式(6-126)得 時P(t)的邊界條件為 (6-127) 當(dāng)矩陣A(t)、B(t)、Q(t)和R(t)的各元素在時間區(qū)間 上都是t的連續(xù)函數(shù)時，黎卡提矩陣微分方程在 上滿足邊界條件的解是存在且惟一的。在解得P(t)后，即可按式(6-119)構(gòu)成狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制。結(jié)構(gòu)圖如圖6-5所示。 132編輯ppt圖6-5 有限時間時變最優(yōu)反饋系統(tǒng) (5)求最優(yōu)軌跡 因?yàn)?(6-128) 將式(6-119)代入式(6-128),得 解式(6-129)并由始點(diǎn)邊界條件 ,求解得最優(yōu)軌跡 。 (6-129) 133編輯ppt 6.10.3 定常線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器 設(shè)線性定常系統(tǒng) (6-13

52、3) 能控，性能指標(biāo)為 (6-134) 134編輯ppt式中, ; ,無限制 ; A、B分別是 、 常值矩陣; Q , R為常值對稱矩陣，并且 ， 。則存在唯一最優(yōu)控制 (6-135)式中,P是 維正定對稱常數(shù)矩陣，滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程 (6-136) 135編輯ppt 將式 (6-135) 代入式 (6-133)，可得閉環(huán)最優(yōu)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 (6-137) 解線性定常齊次方程式 (6-137)，可得最優(yōu)軌線 。 性能泛函的最小值為 (6-138) 136編輯ppt 【例 6-7】已知被控系統(tǒng)及二次型指標(biāo)為 求使泛函J達(dá)極小值的最優(yōu)控制 。系統(tǒng)能控， 存在。 解 137編輯ppt 已知

53、設(shè) , 則Q正定。 最優(yōu)控制為 138編輯ppt即 式中,P是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程的正定對稱解矩陣 139編輯ppt得代數(shù)方程組 聯(lián)立求解，得 140編輯ppt 最優(yōu)控制 即實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制 的狀態(tài)反饋增益矩陣 最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6-6所示。 圖6-6 例6-7的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 141編輯ppt 6.10.4 輸出調(diào)節(jié)器 輸出調(diào)節(jié)器主要研究當(dāng)系統(tǒng)受到外部干擾時，在不消耗過多控制能量前提下，維持系統(tǒng)的輸出向量接近輸出平衡狀態(tài)。由于輸出調(diào)節(jié)器問題可以轉(zhuǎn)化為等效的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，故可根據(jù)前述狀態(tài)調(diào)節(jié)器，應(yīng)用類比的方法，建立輸出調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制規(guī)律。 142編輯ppt 設(shè)能觀的時變系統(tǒng)為 (6-13

54、9) 式中, , ， ，A(t)、B(t)和C(t)分別是 、 和 維矩陣，控制u(t)不受限制。 (6-140) 1. 有限時間時變輸出調(diào)節(jié)器目標(biāo)函數(shù)為143編輯ppt式中, 和Q(t)均為 維半正定對稱矩陣，R(t)是 維正定對稱矩陣。要求在有限時間區(qū)間 內(nèi)，在式 (6-139) 約束下，尋求 最優(yōu)控制 ，使泛函J 最小。 首先將這類問題轉(zhuǎn)化為等效的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，然后利用前述狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結(jié)論求最優(yōu)控制規(guī)律。為此根據(jù)輸出方程,用y=C(t)x(t)代入式（6-140）中，得 144編輯ppt(6-141) 比較式（6-141）和式（6-112），可見其差別僅是泛函中的權(quán)函數(shù)發(fā)生了變換，即由

55、 和 分別替代式(6-112)中的Q和 。 145編輯ppt 若 和 為半正定矩陣，且系統(tǒng)式（6-139）能觀測，則可證明 和 也為半正定矩陣。因此，可以用狀態(tài)調(diào)節(jié)器式(6-119)確定式(6-139)、式(6-140)所定義輸出調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制 (6-142) 式中,P(t)是下列黎卡提矩陣微分方程 在邊界條件下的惟一非負(fù)定解。 146編輯ppt 最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制律仍然是狀態(tài)反饋而不是輸出反饋，表明構(gòu)成最優(yōu)控制系統(tǒng)需要利用全部狀態(tài)信息。 147編輯ppt 設(shè)能控且能觀的定常系統(tǒng) (6-145) 式中, ,無限制 。目標(biāo)函數(shù)為 (6-146) 式中, ， 。 求最優(yōu)控制 使泛函式(

56、6-146)取極小。 2. 無限時間定常輸出調(diào)節(jié)器148編輯ppt 這一問題等價于一個定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,于是可用定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器式(6-135)確定式(6-145)、式(6-146)所定義無限時間定常輸出調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制為 (6-147) 式中,P是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程的正定對稱解 (6-148) 149編輯ppt 6.10.5 非零給定點(diǎn)調(diào)節(jié)器 設(shè)能控且能觀的系統(tǒng) (6-149) 式中, ; ; ,無限制; A、B、C分別是 、 、 常值矩陣。被控量為輸出向量y,希望使其保持在非零給定點(diǎn) 。 本節(jié)討論非零給定點(diǎn)的定常輸出調(diào)節(jié)器設(shè)計問題。 150編輯ppt x、y、u的穩(wěn)態(tài)值 、 、 應(yīng)

57、滿足 (6-150) 設(shè)動態(tài)過程中,x、y、u偏離各自(期望)穩(wěn)態(tài)值的偏差量分別為 、 、 ,即 ， ， (6-151) 將上式變形代入狀態(tài)空間表達(dá)式(6-149)，并根據(jù)式(6-150),得 151編輯ppt(6-152) 對式(6-152)所示偏差量的系統(tǒng)，取目標(biāo)函數(shù) (6-153) 式中,Q、R為常值對稱矩陣，并且Q0，R0。 偏差量的系統(tǒng)式(6-152)的期望點(diǎn)為零點(diǎn),故根據(jù)給定點(diǎn)為零的輸出調(diào)節(jié)器設(shè)計原理，可求出使目標(biāo)泛函式(6-153)最小的最優(yōu)控制 152編輯ppt(6-154) 式中, ,其中實(shí)對稱陣P是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程 (6-155) 的惟一正定解,并保證閉環(huán)系統(tǒng) (6-

58、156) 在 漸近穩(wěn)定。 153編輯ppt 將式（6-151）代入控制律式（6-154）中，整理可得原系統(tǒng)式(6-149)希望輸出向量維持在非零給定點(diǎn)上的最優(yōu)控制 (6-157) 式中 (6-158) 154編輯ppt 將最優(yōu)控制律式（6-157）代入原被控系統(tǒng)狀態(tài)方程式(6-149),得 (6-160) 155編輯ppt又狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為 (6-163) 顯然有 (6-164) 故當(dāng) 時,若 的逆存在，只要取 (6-165) 即可實(shí)現(xiàn)非零給定點(diǎn)的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié),即 。 采用式(6-165)最優(yōu)控制律的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6-7所示。 156編輯ppt圖6-7 非零給定點(diǎn)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

59、圖 157編輯ppt 6.10.6 最優(yōu)跟蹤問題 最優(yōu)跟蹤問題:設(shè)能觀測系統(tǒng) (6-166) 式中, ， ， ，A(t)、B(t)和C(t)分別是 、 和 維時變矩陣，控制量u(t)不受約束，終端時刻 固定。設(shè) ,為系統(tǒng)輸出y(t)的期望向量,即為所跟蹤目標(biāo)的運(yùn)動規(guī)律，定義誤差函數(shù)向量為 158編輯ppt(6-167) 尋找最優(yōu)控制 ,使被控系統(tǒng)式(6-166)的輸出y(t)跟蹤z(t),且使泛函 (6-168) 最小。式中, 為半正定對稱矩陣，R(t)為正定對稱矩陣。 159編輯ppt 應(yīng)用極小值原理求解最優(yōu)控制。首先建立上述最優(yōu)跟蹤問題的哈密頓函數(shù) (6-169) 由控制方程建立極值條件

60、(6-170) 則 (6-171) 160編輯ppt則得正則方程 (6-172) (6-173) 其邊界條件和橫截條件為 (6-174) 考慮到構(gòu)成 的兩項,設(shè)(6-175) 161編輯ppt 將式(6-175)代入式(6-171),得 (6-176) 對式 (6-175) 求導(dǎo)得 (6-177) 將式 (6-175) 代人式 (6-173)，得 (6-178) 162編輯ppt 將式 (6-175) 代入式(6-172)，得 (6-180) 比較式(6-180)和式(6-179)得P(t)應(yīng)滿足如下矩陣微分方程 (6-181) (6-179)將式(6-178)代人式(6-177),得163編